Abelisierung

2017-10-13T11:46:50Z

129.13.187.254: Das gebräuchliche deutsche Wort für Abelisierung war lange "Faktorkommutatorgruppe" (vgl. diverse Algebra Bücher z.B. Jantzen, Schwermer - Algebra, Springer oder Schulze-Pillot - Elementare Algebra und Zahlentheorie, Springer).

Die '''Abelisierung''' (auch '''Abelianisierung''' oder '''Faktorkommutatorgruppe''') ist eine Konstruktion aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Gruppentheorie]]. Die Abelisierung einer [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] ist in gewisser Hinsicht die beste Approximation durch eine [[abelsche Gruppe]].

== Definition ==

Die [[Faktorgruppe]]
:<math>G^\mathrm{ab} = G/K(G)</math>
einer Gruppe <math>G</math> nach ihrer [[Kommutatoruntergruppe]] <math>K(G)</math> wird Abelisierung von <math>G</math> genannt. Der Begriff Abelisierung wird ebenfalls für die kanonische [[Surjektion]]
:<math>G\to G^\mathrm{ab}</math>
verwendet.

== Eigenschaften ==

* Die Abelisierung ist eine abelsche Gruppe; die Abelisierung einer abelschen Gruppe ist die Gruppe selbst.
* Ist <math>G_1\to G_2</math> ein Gruppenhomomorphismus, so induziert die Verkettung <math>G_1\to G_2\to G_2^\mathrm{ab}</math> einen kanonischen [[Homomorphismus]] <math>G_1^\mathrm{ab}\to G_2^\mathrm{ab}</math>; die Abelisierung ist funktoriell.
* Die Abelisierung ist [[Adjungierter Funktor|linksadjungiert]] zum [[Vergissfunktor]] von der [[Kategorientheorie|Kategorie]] der abelschen Gruppen in die Kategorie aller Gruppen, d. h. ist <math>G</math> eine beliebige Gruppe und <math>A</math> eine abelsche Gruppe, so induziert die kanonische Abbildung <math>G\to G^\mathrm{ab}</math> eine Bijektion
:: <math>\operatorname{Hom}(G^\mathrm{ab},A)\cong\operatorname{Hom}(G,A).</math>
: Anders gesagt: Jeder Homomorphismus in eine abelsche Gruppe faktorisiert über die Abelisierung.
* Insbesondere haben <math>G</math> und <math>G^\mathrm{ab}</math> dieselben [[Charakter (Mathematik)|Charaktere]].
* Die Abelisierung einer Gruppe <math>G</math> ist kanonisch [[Pontrjagin-Dualität|dual]] zur [[Gruppenkohomologie]]
:: <math>H^2(G,\mathbb Z)\cong H^1(G,\mathbb Q/\mathbb Z)\cong\operatorname{Hom}(G,\mathbb Q/\mathbb Z).</math>

== Beispiele ==

* Ist eine [[Einfache Gruppe (Mathematik)|einfache Gruppe]] nicht abelsch, so ist ihre Abelisierung die [[triviale Gruppe]].
* Für einen [[punktierter topologischer Raum|wohlpunktierten]] [[Zusammenhängender Raum|wegzusammenhängenden]] [[topologischer Raum|topologischen Raum]] <math>X</math> ist die erste [[Homologiegruppe]] <math>H_1(X,\mathbb Z)</math> die Abelisierung der [[Fundamentalgruppe]].<ref>J. P. May: ''A Concise Course in Algebraic Topology''. University of Chicago Press, Chicago 1999. ISBN 0-226-51183-9: Abschnitte 14.4 und 15.1</ref>
* Die [[Klassenkörpertheorie]] beschäftigt sich mit der Beschreibung der Abelisierung der absoluten [[Galoisgruppe]] <math>\mathrm{Gal}(\bar K/K)</math> eines [[Zahlkörper]]s <math>K</math>.

== Verlagerung ==

Ist <math>H</math> eine Untergruppe einer endlichen Gruppe <math>G</math>, so gibt es einen kanonischen Homomorphismus
: <math>\operatorname{Ver}\colon G^\mathrm{ab}\to H^\mathrm{ab},</math>
der ''Verlagerung'' genannt wird. Sie ist dual zur [[Korestriktion]]
: <math>\operatorname{cor}\colon H^2(H,\mathbb Z)\to H^2(G,\mathbb Z),</math>
lässt sich aber auch explizit beschreiben: Es sei <math>s\colon H\backslash G\to G</math> ein Schnitt der kanonischen Projektion (kein Homomorphismus, lediglich eine Abbildung). Dann ist die Verlagerung gegeben durch
: <math>\operatorname{Ver}(gK(G))=\prod_{c\in H\backslash G}s(c)gs(cg)^{-1}K(H) \qquad(g\in G).</math><ref>J. Neukirch, A. Schmidt, K. Wingberg: ''Cohomology of number fields''. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1999, ISBN 3-540-66671-0: Abschnitt I.5, S. 52f.</ref>

== Quellen ==

<references />

[[Kategorie:Gruppentheorie]]

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