Schranken-Lemma

2019-11-23T00:06:15Z

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Das '''Schranken-Lemma'''<ref name="Koecher23">Max Koecher: ''Lineare Algebra und analytische Geometrie'', Springer, Berlin, 4. Auflage, 1997, §4.4 (Seite 23)</ref> ist ein [[mathematischer Satz]] aus der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]], mit dem eine obere Schranke für die Anzahl [[Linear unabhängig|linear unabhängiger]] Elemente in einem [[Vektorraum]] angegeben werden kann. Mit Hilfe des Schranken-Lemmas kann unter anderem bewiesen werden, dass ein endlich [[Erzeuger (Algebra)|erzeugter]] Vektorraum eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] besitzt und dass je zwei Basen in einem solchen Vektorraum die gleiche Anzahl von Elementen besitzen.

== Aussage ==

Das Schranken-Lemma kann wie folgt formuliert werden:<ref name="Koecher23" />

:''Besitzt ein [[Vektorraum]] <math>V</math> ein [[Erzeugendensystem]] bestehend aus <math>n</math> Elementen, dann sind je <math>n+1</math> Vektoren in <math>V</math> [[linear abhängig]].''

== Beweis ==

Sind <math>u_1, \ldots , u_n \in V</math> die Elemente des Erzeugendensystems und <math>v_1, \ldots , v_{n+1} \in V</math> beliebige Vektoren des Vektorraums, dann lässt sich jeder dieser Vektoren als [[Linearkombination]]

:<math>v_j = \sum_{i=1}^n a_{ij} u_i</math>

mit Skalaren <math>a_{ij}</math> darstellen. Eine Linearkombination der Vektoren <math>v_1, \ldots , v_{n+1}</math> hat dann die Form

:<math>\sum_{j=1}^{n+1} c_j v_j = \sum_{j=1}^{n+1} c_j \sum_{i=1}^n a_{ij} u_i = \sum_{i=1}^n \left( \sum_{j=1}^{n+1} a_{ij} c_j \right) u_i</math>.

Das [[Lineares Gleichungssystem|lineare Gleichungssystem]] <math>A c = 0</math> mit <math>A = (a_{ij})_{i=1, \ldots , n, j=1, \ldots , n+1}</math> besitzt nun mehr Unbekannte als Gleichungen und damit insbesondere eine nichttriviale Lösung <math>c = (c_j)_{j=1, \ldots , n+1}</math> (siehe [[reduzierte Stufenform]]). Daraus folgt dann

:<math>\sum_{j=1}^{n+1} c_j v_j = \sum_{i=1}^n 0 \cdot u_i = 0</math>

und damit die lineare Abhängigkeit der Vektoren <math>v_1, \ldots , v_{n+1}</math>.

== Verwendung ==

Mit Hilfe des Schranken-Lemmas kann eine Reihe weiterer grundlegender Sätze der linearen Algebra bewiesen werden. Eine direkte Konsequenz ist beispielsweise, dass ein endlich erzeugter Vektorraum eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] besitzt und dass je zwei Basen in einem solchen Vektorraum die gleiche Anzahl von Elementen besitzen (welche die [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] des Vektorraumes genannt wird). Weiterhin kann in einem endlich erzeugten Vektorraum jede linear unabhängige Menge von Vektoren zu einer endlichen Basis ergänzt werden ([[Basisergänzungssatz]]).

== Literatur ==
* Max Koecher: ''Lineare Algebra und analytische Geometrie'', Springer, Berlin, 4. Auflage, 1997, ISBN 3-540-62903-3

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Lineare Algebra]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)]]

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