Physikalisches Pendel

2023-04-19T12:13:56Z

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Bei einem '''physikalischen Pendel''' (auch '''physisches Pendel''' oder '''Trägheitspendel''' genannt) handelt es sich um ein theoretisches Modell zur Beschreibung der Schwingung eines realen Pendels. Im Gegensatz zum [[Mathematisches Pendel|mathematischen Pendel]] werden hierbei Form und Größe des Körpers berücksichtigt, wodurch das Verhalten physikalischer Pendel eher dem realen [[Pendel]] entspricht.

Das physikalische Pendel besteht aus einem ausgedehnten, [[starrer Körper|starren Körper]], welcher nicht in seinem [[Massenmittelpunkt|Schwerpunkt]] aufgehängt ist. Lenkt man es aus seiner Gleichgewichtslage aus, so beginnt es unter dem Einfluss der [[Schwerkraft]] zu schwingen. Reibungskräfte werden zugunsten der mathematischen Lösbarkeit nicht berücksichtigt.

Die Schwingungsdauer des physikalischen Pendels ergibt sich für kleine [[Amplitude]]n zu
:<math>T = \frac {2 \pi} {\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac {I} {mgd}}</math>

wobei <math> {\omega} </math> die [[Kreisfrequenz]], <math> I </math> das [[Trägheitsmoment]] bzgl. des Aufhängepunktes, <math> m </math> die Masse des Körpers, <math> g </math> die [[Schwerebeschleunigung]] und <math> d </math> der Abstand vom Aufhängungspunkt zum Massenmittelpunkt ist.

Eine Anwendung des physikalischen Pendels ist die experimentelle Bestimmung des Trägheitsmoments.

== Reduzierte Pendellänge ==
{{Siehe auch|1=Stoßmittelpunkt|titel1=Stoß- und Schwingungsmittelpunkt}}
Unter der ''reduzierten Pendellänge'' versteht man die [[Länge (Physik)|Länge]]:
:<math> l_\mathrm{r} = \frac {I} {md} </math>
Sie ist äquivalent zu der Länge <math> l </math> in der Schwingungsgleichung des mathematischen Pendels gleicher Schwingungsdauer. Gleichzeitig wird über diese Größe der ''Schwingungs-'' oder ''Stoßmittelpunkt'' ''C'' festgelegt. Dieser nicht mit dem Schwerpunkt ''S'' des Pendels zu verwechselnde Ort hat die Eigenschaft, dass ein dorthin gerichteter [[Stoß (Physik)|Stoß]] keinerlei [[Lagerreaktion]] im Aufhängungspunkt des Pendels erzeugt. Des Weiteren ändert sich die Schwingungsdauer eines physikalischen Pendels nicht, wenn Aufhängepunkt und Schwingungsmittelpunkt vertauscht werden (siehe auch [[Reversionspendel]]).
[[Datei:CoO 3 Illustration an einer Stange.png|mini|500px|Abb. 1: Beispiel eines physikalischen Pendels – eine Stange mit Schwerpunkt S und Schwingungsmittelpunkt C, die um den Aufhängungspunkt O schwingt]]

'''Beispiel''' (siehe auch Abb. 1): Ein Stab der Länge ''l'' hat seinen Schwerpunkt bei <math> d = \frac{l}{2} </math>. Sein Trägheitsmoment ist <math> I = \frac{1}{3}ml^2 </math>. Daraus folgt die reduzierte Pendellänge einer Stange
<math> l_\mathrm{r} = \frac {2} {3}l </math>.

== Mathematische Beschreibung ==
Zur Berechnung der Schwingungsdauer <math> T </math> für kleine Pendelauslenkungen (d. h. für etwa <math> \varphi </math> < 10°) bedient man sich zweier unterschiedlicher Ansätze für das auf das physikalische Pendel wirkende Drehmoment,
<math> \vec M = \vec r \times \vec F </math> und <math> M = I \ddot {\varphi} </math>, die sich auch beim mathematischen Pendel anwenden lassen.

Angenommen, der Pendelkörper ist im Ursprung aufgehängt und kann in der [[xy-Ebene]] schwingen, wobei die Schwerkraft in negative y–Richtung wirkt. Dann lässt sich die Lage des Schwerpunkts des Körpers im Ruhezustand durch
:<math> \vec r_s = d \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>,
im um <math>\varphi</math> ausgelenkten Zustand durch
:<math> \vec r_{s}(\varphi) = d \begin{pmatrix} \sin \varphi \\ -\cos \varphi \\ 0 \end{pmatrix} </math>
beschreiben. Nun lässt sich das auf das physikalische Pendel wirkende Drehmoment wie für eine im Schwerpunkt des Pendels liegende Punktmasse gleicher Masse berechnen:
:<math>\vec M = \vec r_{s}(\varphi) \times \vec F =
\begin{pmatrix} d \sin \varphi \\ -d \cos \varphi \\ 0 \end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}0 \\ -m g\\ 0 \end{pmatrix}=
-m g d \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ \sin {\varphi} \end{pmatrix}</math>

Das auf das Pendel wirkende Drehmoment besitzt nur eine Komponente <math> M_z = -m g d \cdot \sin \varphi </math> in z-Richtung, es steht also senkrecht auf der Schwingungsebene.

Durch Gleichsetzen mit dem Ansatz <math> M_z = I \ddot \varphi </math> (Drehmoment eines ausgedehnten Körpers) und anschließendes Umformen erhält man die Gleichung
:<math> \ddot \varphi + \frac {m g d} {I} \sin \varphi = 0 </math>,
wobei sich der Sinus für kleine Winkel mit
<math> \sin \varphi \approx \varphi </math> [[Approximation|annähern]] lässt. Die Gleichung
:<math> \ddot \varphi + \frac {m g d} {I} \varphi = 0 </math>
beschreibt eine [[harmonische Schwingung]] mit
:<math>\omega^2 = \frac {m g d} {I} </math>,
die Schwingungsdauer des Pendels beträgt
:<math>T = \frac {2 \pi} {\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac {I} {m g d}}</math>.

[[Kategorie:Pendel]]
[[Kategorie:Schwingungslehre]]

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