Portmanteau-Test

2024-06-18T20:33:37Z

193.136.145.232: Definition klar von Beispielen getrennt

'''Portmanteau-Tests''' (frz.: Mantel-tragend) sind [[Statistischer Test|statistische Tests]], die ''reine'' Signifikanztests darstellen. Sie testen gegen eine lose formulierte [[Gegenhypothese]], sozusagen wird gegen mehrere Gegenhypothesen unter einem Mantel getestet.

In der [[Zeitreihenanalyse]] versteht man als Portmanteau-Tests Tests, mit deren Hilfe im Rahmen der Diagnosephase für mehrere [[Autokorrelation]]skoeffizienten getestet werden kann, ob sie sich [[Statistische Signifikanz|signifikant]] von null unterscheiden.

Diese Tests stellen streng genommen nur ein Beispiel von Portmanteau-Tests dar.

== Box-Pierce-Test ==
Die ursprüngliche Version des Tests stammt von Box/Pierce<ref>{{Literatur |Autor=G. E. P. Box, David A. Pierce |Titel=Distribution of Residual Autocorrelations in Autoregressive-Integrated Moving Average Time Series Models |Sammelwerk=Journal of the American Statistical Association |Band=65 |Nummer=332 |Datum=1970-12 |ISSN=0162-1459 |DOI=10.1080/01621459.1970.10481180 |Seiten=1509–1526 |Online=https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/01621459.1970.10481180 |Abruf=2021-11-02}}</ref>.

Die [[Hypothese (Statistik)|Hypothese]]n für diesen Test lauten:

:<math>H_0\colon \rho_1(\hat{Z_t})= \dots =\rho_K(\hat{Z_t})=0\,</math> und
:<math>H_1\colon \rho_l(\hat{Z_t})\neq0\,</math> gilt für mindestens ein ''l''.

Dabei ist <math>\rho_l(\hat{Z_t})</math> die (empirische) Autokorrelation der Reihe <math>(\hat{Z_t})</math> zum Lag (der zeitlichen Verschiebung) <math>l</math> und <math>K</math> die Anzahl der zu testenden Autokorrelationen.

Die [[Teststatistik]] wird ''Q-Statistik'' genannt:
:<math>Q_{BP}=T\sum_{l=1}^K \rho^2_l(\hat{Z_t})\,,</math>
wobei <math>T</math> der Umfang des Datensatzes ist.

Diese Prüfgröße ist unter der Nullhypothese [[Chi-Quadrat-Verteilung|χ<sup>2</sup>-verteilt]] mit <math>\nu = K - p - q</math> [[Anzahl der Freiheitsgrade (Statistik)|Freiheitsgraden]]; <math>H_0</math> kann also verworfen werden, falls

:<math>Q_{BP}>\chi^2_{\nu;1-\alpha}\,.</math>

Die Auswahl eines geeigneten Wertes für <math>K</math> ist problematisch. Ist <math>K</math> zu niedrig, greift die Asymptotik der <math>\chi^2</math>-Approximation nicht. Auch ein zu großes <math>K</math> hat nicht gewünschte Effekte. Für die Bestimmung von <math>K</math> kann folgende [[Faustregel]] verwendet werden:

:<math>K\approx{2}\sqrt{T}\,.</math>

== Ljung-Box-Test ==
Da der Box-Pierce-Test nur bei langen Zeitreihen mit mehr als 100 Zeitreihenwerten zufriedenstellend arbeitet, wird von Ljung/Box<ref>{{Literatur |Autor=G. M. LJUNG, G. E. P. BOX |Titel=On a measure of lack of fit in time series models |Sammelwerk=Biometrika |Band=65 |Nummer=2 |Datum=1978-08-01 |ISSN=0006-3444 |DOI=10.1093/biomet/65.2.297 |Seiten=297–303}}</ref> eine abgewandelte Teststatistik herangezogen. Dabei wird ''T'' durch ''T(T+2)/(T-K)'' ersetzt. Als Teststatistik ergibt sich:

<math>Q_{LB}=T(T+2)\sum_{l=1}^K\frac{1}{T-l}\rho^2_l(\hat{Z_t}) .</math>

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Parametrischer Test]]
[[Kategorie:Zeitreihenanalyse]]
[[Kategorie:Ökonometrie]]

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