Rankine-Hugoniot-Bedingung

2023-10-14T13:19:55Z

2.210.5.234: max. Dichterelation rho_L / rho_R <= k+1/k-1 muss umgekehrt sein, also rho_R / rho_L <= k+1/k-1 (Dichte rechte Seite = Dichte nach Stoss muss grösser sein als vor Stoss)

Die '''Rankine-Hugoniot-Bedingung''' oder auch '''Rankine-Hugoniot-Gleichung''' (nach [[William John Macquorn Rankine]] und [[Pierre-Henri Hugoniot]]) beschreibt das Verhalten von [[Stoßwelle]]n durch eine [[eindimensional]]e [[Hyperbolische partielle Differentialgleichung|hyperbolische]] [[Erhaltungsgleichung]]:

:<math>u_t + f(u)_x = 0</math>

mit
* der [[Geschwindigkeit]] <math>u</math>.
Gegeben zwei Zustände <math>u_L</math> und <math>u_R</math> links und rechts eines [[Stoß (Physik)|Stoßes]], besagt die Bedingung, dass die Stoßgeschwindigkeit <math>s</math> die Gleichung

:<math>f(u_L) - f(u_R) = s \cdot (u_L - u_R)</math>

erfüllt. Im Falle einer [[Skalar (Mathematik)|skalaren]] Gleichung <math>\left( u \in \mathbb{R}^1 \right)</math> liefert dies direkt die Stoßgeschwindigkeit

:<math>\Leftrightarrow s = \frac{f(u_L) - f(u_R)}{u_L - u_R}</math>.

Bei Systemen mit <math>u \in \mathbb{R}^n; \, n \geq 2</math> ist die Situation schwieriger.
* Im Falle einer [[lineare Gleichung|linearen Gleichung]] <math>u_t + A\cdot u_x = 0</math> ergibt sich die Bedingung, dass die Stoßgeschwindigkeit ein [[Eigenwert]] der [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>A</math> sein muss und die Differenz <math>u_L - u_R</math> der Zustände ein [[Eigenvektor]] von <math>A</math>. Dies ist nicht immer möglich, was dann bedeutet, dass diese Zustände durch eine Sequenz von [[Unstetigkeit]]en verbunden sind.
* Dies kann auch auf [[Gleichung #Nichtlineare Gleichungen|nichtlineare Gleichungen]] angewandt werden, wobei dann zu beachten ist, dass sich hier die Stoßgeschwindigkeiten mit der Zeit ändern.

Umgekehrt bezeichnet man bei Systemen die Menge der Zustände, die mit einem gegebenen festen Zustand durch einen einzigen Stoß verbunden werden können, als '''Hugoniot-Lokus'''.

== Beispiele ==

=== Advektionsgleichung in 1D ===
Eine sehr einfache Erhaltungsgleichung ist gegeben durch den skalaren Fluss:
:<math>
f \colon \R \to \R , x \mapsto ax \quad \textrm{mit} \; a \in \R.
</math>
Die Sprungbedingung ergibt somit sofort: <math>s=a</math>.

=== Burgersgleichung in 1D ===
Die [[Burgersgleichung]] ist definiert über den folgenden Fluss:
:<math>
f \colon \R \to \R , x \mapsto \frac{1}{2}x^2.
</math>
Die Sprungbedingung ergibt somit: <math>s = \frac{u_L+u_R}{2}</math>.

=== Euler-Gleichungen ===
Im Falle der [[Eulersche Gleichungen (Strömungsmechanik)|Euler-Gleichungen]] ergeben sich spezielle Beziehungen. Elimination der Geschwindigkeit führt auf:

:<math>2 \cdot \left( h_R - h_L \right) = \left( p_R - p_L \right) \cdot \left( \frac{1}{\rho_L} + \frac{1}{\rho_R} \right)</math>

mit
* dem [[Druck (Physik)|Druck]] <math>p</math>
* der [[Dichte]] <math>\rho</math>
* der spezifischen [[Enthalpie]] <math>h = \frac{p}{\rho} + e</math>. Das wird als ''hugoniotsche [[Adiabate]]'' bezeichnet (s. u.)
** der [[innere Energie|inneren Energie]] pro Masse ([[spezifische Größe]]) <math>e</math>

Wird nun die [[Zustandsgleichung]] für das [[ideales Gas|ideale Gas]] verwendet:

::<math>p = \rho \cdot (\kappa - 1) \cdot e</math>

mit
* dem [[Adiabatenexponent]]en <math>\kappa</math>,

so ergibt sich

:<math>\Rightarrow
\frac{p_L}{p_R} = \frac{(\kappa + 1) - (\kappa - 1) \cdot \frac{\rho_R}{\rho_L}} {(\kappa + 1) \cdot \frac{\rho_R}{\rho_L} - (\kappa-1)}
\quad \Leftrightarrow \quad
\frac{\rho_L}{\rho_R} = \frac{p_L \cdot (\kappa + 1) + p_R \cdot (\kappa - 1)} {p_L \cdot (\kappa - 1) + p_R \cdot (\kappa + 1)}
</math>.

Da die Drücke stets positiv sind, folgt daraus für das Dichteverhältnis:

:<math>\Rightarrow \frac{\rho_R}{\rho_L} \leq \frac{\kappa + 1}{\kappa - 1}</math>

Für [[Luft]] mit <math>\kappa \approx 1{,}4</math> beträgt das maximale Dichteverhältnis ungefähr 6. Dieses Ergebnis ist anschaulich nachvollziehbar, da eine Zunahme des Drucks auch zu einer Temperaturzunahme führt, die der Dichtezunahme teilweise entgegenwirkt. Während die Stoßstärke (der [[Überdruck]]) beliebig groß werden kann, erreicht das Dichteverhältnis also einen endlichen Grenzwert.

Allerdings kann hohe Temperatur bei starken Stößen zur [[Dissoziation (Chemie)|Dissoziation]] oder sogar zur [[Ionisation]] und damit zur Zunahme der [[Freiheitsgrad #Freiheitsgrade der Zustandsgrößen|thermodynamischen Freiheitsgrade]] und damit wiederum zu einem kleineren Wert von <math>\kappa</math> führen. Daher kann in [[reales Gas|realen Gasen]] die Obergrenze für das Dichteverhältnis wesentlich höher sein als in idealem Gas.

Die ersten beiden Erhaltungssätze folgen aus den Eulergleichungen bzw. führen zu diesen. Mit ihnen können die Sprungbedingungen für die Geschwindigkeit und die Dichte (bzw. den Druck) an der [[Stoßfront]] dargestellt werden. Die zentrale Idee von Rankine und Hugoniot war nun die Nutzung des dritten Erhaltungssatzes (der [[Energieerhaltung]]), um damit eine Sprungbedingung für die [[Entropie]] zu formulieren. Diese ist an der Stoßfront unstetig:

:<math>S_1 - S_0 > 0</math>.

Daraus folgt, dass eine Stoßwelle kein adiabatischer (oder [[isentrop]]er) Prozess mehr ist, sondern die Enthalpieänderung auch eine Entropiekomponente enthält (hugoniotsche Adiabate, auch als [[Stoßadiabate]] bekannt):

:<math>{\rm d}H = \int^{2}_{1} \frac{{\rm d}p}{\rho} + T \cdot {\rm d}S</math>

im Gegensatz zu

:<math>{\rm d}H = \int^{2}_{1}\frac{{\rm d}p}{\rho}</math>

für eine rein adiabatische Verdichtung.

== Literatur ==
* H. Hugoniot: ''On the Propagation of Motion in Bodies and in Perfect Bodies in Particular'', 1887, I. Journal de l'Ecole Polytechnique, Band 57, Seiten 3–97.
* M. A. Meyers: ''Dynamic Behaviour of Materials'', 1994, John Wiley & Sons, New York, ISBN 0-471-58262-X.
* Randall J. LeVeque: ''Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems'', 2002, Cambridge Texts in Applied Mathematics, ISBN 0-521-00924-3.
* W. J. M. Rankine: ''On the Thermodynamic Theory of Waves of Finite Longitudinal Disturbance'', 1870, Philosophical Transactions, London/Edinburgh, Band 160, Seiten 270–288.

== Weblinks ==
* Stanley P. Marsh: [https://sgp.fas.org/othergov/doe/lanl/docs1/shd.pdf ''LASL Shock Hugoniot Data''.] In: ''Los Alamos Series on Dynamic Material Properties.'' University of California Press, Berkeley and Los Angeles, California, 1980, ISBN 0-520-04008-2 (PDF-Datei; 25 MB).

[[Kategorie:Theorie partieller Differentialgleichungen]]
[[Kategorie:Strömungsmechanik]]

Wikipedia (Deutsch) – Lokale Kopie - Benutzerbeiträge [de]

Rankine-Hugoniot-Bedingung