Koerzitive Funktion

2021-08-19T07:20:21Z

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In der [[Mathematik]] wird eine [[reellwertige Funktion]] als '''koerzitiv''' (oder '''koerziv''') bezeichnet, falls die Funktionswerte gegen positiv unendlich streben, wenn die Norm der Eingabewerte gegen unendlich strebt.

== Definition ==
Sei <math>\left(X, \| \cdot \|\right)</math> ein [[normierter Raum]] und <math>f\colon X \rightarrow \mathbb{R}</math> eine reellwertige Funktion auf <math>X</math>.
Die Funktion <math>f</math> heißt koerzitiv, falls für alle Folgen <math>\left(x_n\right)_{n \in \mathbb{N}} \subset X</math> mit <math>\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left\|x_n\right\| = +\infty</math> gilt:
:<math>\lim\limits_{n \rightarrow \infty} f(x_n) = +\infty</math>.

== Motivation ==
Im Allgemeinen nehmen [[Stetige Funktion|stetige]] Funktionen auf nicht-[[Kompakter Raum|kompakten]] Mengen kein [[Extremwert|Minimum]] oder [[Extremwert|Maximum]] an, z. B. realisiert <math>f\colon\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto x^3</math> das Maximum und das Minimum nicht. Diese Funktion ist nach unten und nach oben unbeschränkt und nicht koerzitiv.
<math>g\colon\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto x^2</math> ist hingegen koerzitiv und nimmt das Minimum (<math>0 = g(0)</math>) an.

Folgender Satz macht klar, unter welchen Bedingungen eine koerzitive Funktion ihr Minimum tatsächlich annimmt:

Sei <math>X</math> ein [[Banachraum#Dualer Raum|reflexiver]] [[Banachraum]] und <math>f\colon X \rightarrow \mathbb{R}</math> erfülle wenigstens eine der folgenden Bedingungen:
* <math>f</math> ist schwach [[halbstetig]] von unten und koerzitiv
* <math>f</math> ist [[stetig]], konvex und koerzitiv
Dann nimmt <math>f</math> das Minimum an.

== Erweiterung auf Sesquilinearformen ==
Eine komplexwertige [[Sesquilinearform]] <math>B\colon X \times X \rightarrow \mathbb{C}</math> wird als koerzitiv bezeichnet, falls die Funktion <math>x \mapsto B(x,x)</math> reellwertig und koerzitiv ist. Diese Eigenschaft findet z. B. im [[Lemma von Lax-Milgram]] Anwendung.

Der Begriff darf nicht mit der [[Koerzitivfeldstärke]] verwechselt werden.

== Literatur ==
* [[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis''. Springer Verlag, 2005. ISBN 3-540-43586-7


[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

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