Karo (Mengenlehre)

<math> \Diamond</math> (Karo) ist ein „kombinatorisches“ Prinzip in der Mengenlehre.

Definition

Für jede unendliche Kardinalzahl <math>\kappa</math> ist <math>\Diamond_\kappa</math> eine Abkürzung für die folgenden Aussage:

• es gibt eine Folge <math>\langle A_\alpha: \alpha \in \kappa \rangle </math> mit folgenden Eigenschaften:

• für alle <math>\alpha</math> gilt <math> A_\alpha \subseteq \alpha </math>
• für alle <math> A \subseteq \kappa</math> ist die Menge <math> \{\alpha \in \kappa : A \cap \alpha = A_\alpha\} </math> eine stationäre Teilmenge von <math>\kappa</math>.

Oft spricht man vereinfachend davon, dass das Prinzip <math>\Diamond_\kappa</math> es ermöglicht, Teilmengen von <math>\kappa</math> zu „erraten“. Während die Anzahl der Teilmengen von <math>\kappa</math> (also die Kardinalität der Potenzmenge von <math>\kappa</math>) zwar nach dem Satz von Cantor größer als <math>\kappa</math> ist, postuliert <math>\Diamond_\kappa</math>, dass es eine transfinite Folge der Länge <math>\kappa</math> gibt, die alle Teilmengen von <math>\kappa</math> „errät“ (genauer: stationär oft besser und besser approximiert).

Statt <math>\Diamond_{\omega_1}</math> schreibt man oft nur <math>\Diamond</math>.

Zusammenhang mit CH und GCH

Die Aussage ◊ ist in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZFC) weder beweisbar noch widerlegbar.

Man zeigt leicht, dass aus ◊ die Kontinuumshypothese CH folgt. Allgemeiner folgt aus <math>\Diamond_{\kappa^+}</math> die Gleichung <math>2^\kappa=\kappa^+</math>. Aus CH kann man ◊ nicht folgern, aber aus <math>2^\kappa=\kappa^+</math> zusammen mit <math>\kappa^\omega = \kappa</math> kann man <math>\Diamond_{\kappa^+}</math> schließen. Aus der verallgemeinerten Kontinuumshypothese GCH folgt also <math>\Diamond_{\kappa^+}</math> für alle <math>\kappa</math> mit überabzählbarer Konfinalität.

Anwendungen

◊ impliziert, dass die Suslin-Hypothese falsch ist; mit anderen Worten: dass es eine Suslin-Gerade gibt, also eine nicht-separable lineare Ordnung, in der dennoch jede Familie von disjunkten Intervallen höchstens abzählbar ist.