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Abelsche Integralgleichung – Wikipedia Zum Inhalt springen

Abelsche Integralgleichung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
(Weitergeleitet von Abel-Transformation)

Die abelsche Integralgleichung ist eine spezielle volterrasche Integralgleichung 1. Art. Sie hat die Form:

<math> f(h) = \int _0 ^{h} \frac{u (y)}{ \sqrt{h-y} }\, \mathrm dy </math>.

wobei <math>f</math> vorgegeben und <math>u</math> die gesuchte Funktion ist. Die volterrasche Integralgleichung 1. Art ist allgemeiner als

<math> f(h) = \int _0 ^{h} u (y) K (h,y) \mathrm dy </math>

definiert mit einer Kernfunktion <math>K</math>. Speziell für Kernfunktionen <math>K</math> der Form

<math>K(h,y) =\frac {1}{{(h-y)}^a}</math>

mit <math>0 < a < 1</math> gibt es eine allgemeine Lösungsmethode durch Rückführung auf die Formel für die Eulersche Betafunktion. Es ergibt sich:

<math> u(y) =\frac {\sin (\pi a)}{\pi} \frac {\mathrm d}{\mathrm dy} \int_0^{y} {(y-x)}^{(a-1)} f(x) \mathrm dx</math>

Bei der abelschen Integralgleichung ist <math>a =\tfrac {1}{2}</math>.

Der durch die Verallgemeinerung der abelschen Integralgleichung für <math>0 < a < 1</math> ausgedrückte Zusammenhang zwischen den Funktionen <math>f</math> und <math>u</math> wird auch als Abel-Transformation bezeichnet, das heißt <math>f</math> ist die Abel-Transformierte von <math>u</math>. Die durch die erwähnte Lösungsmethode für <math>0 < a < 1</math> gelieferte Formel für <math>u</math> ergibt die Umkehrformel der Abeltransformation.

Anwendung und Geschichte

Niels Henrik Abel untersuchte 1823 als einer der ersten Integralgleichungen, und zwar in Zusammenhang mit einem mechanischen Problem. Bis dahin war die Mechanik vorwiegend von Differentialgleichungen bestimmt. Abel betrachtete einen Körper, der sich unter dem Einfluss der Schwerkraft entlang einer in einer vertikalen Ebene gelegenen Kurve von <math> P1(x_0,y_0) </math> nach (0,0) bewegt.

Ausgehend von der klassischen Formel für Geschwindigkeit<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Francesco Mainardi|Francesco Mainardi: }}{{#if:|{{#if:Abel Integral Equations|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Abel Integral Equations}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://appliedmath.brown.edu/sites/default/files/fractional/19%20Abel%20Integral%20Equations.pdf%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Abel Integral Equations}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://appliedmath.brown.edu/sites/default/files/fractional/19%20Abel%20Integral%20Equations.pdf}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Abel Integral Equations}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:Lecture Notes on Mathematical PhysicsDepartment of Physics, University of Bologna2012-0212{{#if: 2023-12-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}} 

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<math> v = \frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}= -\sqrt{2g(y_0- y)} </math>

kommt man durch Integration über die Strecke auf die Fallzeit

<math> T(y_0) = \int _0 ^l \frac {\mathrm ds}{\sqrt{2g(y_0-y)}} </math>.

Durch die Substitution <math> s=f(y) \, \Rightarrow \, f'(y) = \mathrm ds/ \mathrm dy \, \Rightarrow \, \mathrm ds = f'(y) \cdot \mathrm dy </math> zu der endgültigen Form:

<math> T(y_0) = \frac{1} { \sqrt{2g} } \int _0 ^{y_0} \frac{f'(y)}{ \sqrt{y_0-y} }\, \mathrm dy </math>.

Kennt man die Kurve <math>f(y)</math>, erhält man so die Fallzeit. Abel betrachtete auch das umgekehrte Problem: ist die Fallzeit vorgegeben, erhält man eine abelsche Integralgleichung für die unbekannte Funktion <math>f'(y)</math>.

Weitere Anwendungen der abelschen Integralgleichung bzw. der Abel-Transformation gibt es in der Astrophysik, in der Geophysik (Herglotz-Wiechert-Methode der Bestimmung der Geschwindigkeitsverteilung aus Ankunftszeiten von seismischen Wellen) und beispielsweise in der Bestimmung der Atmosphären-Daten von Planeten durch Radio-Okkultation. Wie in der ursprünglichen Anwendung sind das typische inverse Probleme.

Literatur

  • Rudolf Gorenflo, Sergio Vessella Abel Integral Equations – Analysis and Applications, Springer, Lecture Notes in Mathematics, Bd. 1461, 1991
  • Flügge Methoden der mathematischen Physik, Bd. 1, Springer Verlag, S. 130
  • Tricomi Integral Equations, Interscience, 1957, S. 39f
  • Rudolf Rothe Zur Abelschen Integralgleichung, Mathematische Zeitschrift, Band 33, 1931, Online

Weblinks

  • {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Abel Transform. In: MathWorld (englisch). {{#if: AbelTransform | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | AbelTransform | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}

Einzelnachweise

<references />

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