Multilinearform

Eine <math>p</math>-Multilinearform <math>\omega</math> ist in der Mathematik eine Funktion, die <math>p</math> Argumenten <math>v_i \in V_i,\; i\in\{1,\ldots,p\}</math> aus <math>K</math>-Vektorräumen <math>V_1, \ldots, V_p</math> einen Wert <math>\omega(v_1,\ldots,v_p) \in K</math> zuordnet und in jeder Komponente linear ist. Im allgemeineren Fall, dass der Bildraum selbst ein Vektorraum ist, oder Bild- und Zielräume Moduln sind, spricht man von einer multilinearen Abbildung.

Definition

Eine Abbildung

<math>

\begin{align}

 \omega:\  V_1\times \cdots \times V_p & \rightarrow K \\
                    (v_1,\ldots,v_p) \ & \mapsto \omega\left(v_1,\dots,v_p\right)

\end{align} </math> heißt Multilinearform, wenn für alle <math>v_j \in V_j, j \in \{1, \ldots, p\}</math> und alle <math>i \in \{1, \ldots, p\}</math> folgende zwei Bedingungen erfüllt sind:

Für alle <math>\lambda \in K</math> gilt

<math>\omega\left(v_1,\ldots,\lambda \;v_i,\ldots,v_p\right) = \lambda \;\omega\left(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_p\right)</math>

und für alle <math>w \in V_i</math>

<math>\omega\left(v_1,\ldots,v_i+w,\ldots,v_p\right) = \omega\left(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_p\right)+\omega\left(v_1,\ldots,w,\ldots,v_p\right)</math>.

Die Menge aller multilinearen Abbildungen <math>\mathcal{J}^p(V_1, \ldots, V_p)</math> bildet einen <math>K</math>-Vektorraum. Im Fall <math>V_1 = \cdots = V_p =: V</math> schreibt man <math>\mathcal{J}^p(V) := \mathcal{J}^p(V, \ldots, V)</math>.

Alternierende Multilinearformen

Eine Multilinearform <math>\omega \in \mathcal{J}^p(V)</math> heißt alternierend, falls sie null ergibt, wenn zweimal derselbe Vektor eingesetzt wird, d. h.

<math>\omega\left(\dots,v,\dots,v,\dots\right)= 0</math>

für alle <math>v \in V</math>.<ref name="eom">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}{{#if:|Vorlage:EoM/id}}</ref>

In diesem Fall folgt auch, dass die Form schiefsymmetrisch ist, das heißt, dass sie bei Vertauschung von zwei beliebigen Argumenten ihr Vorzeichen wechselt, also

<math>\omega\left(v_1,\dots,v_i,\dots,v_j,\dots,v_p\right)= -\omega\left(v_1,\dots,v_j,\dots,v_i,\dots,v_p\right)</math>

für alle <math>v_k \in V,\; k \in \{1,\ldots,p\}</math> und <math>i,j \in \{1,\ldots,p\},\; i \neq j</math>. Die umgekehrte Implikation – dass alle schiefsymmetrischen Multilinearformen alternierend sind – gilt aber nur, wenn die Charakteristik von <math>K</math> nicht 2 ist, also zum Beispiel für <math>K = \mathbb{R}</math>.<ref name="eom" />

Ist allgemeiner <math>\pi \in S_p</math> eine beliebige Permutation der Indizes, dann gilt

<math>\omega\left(v_{\pi(1)}, \dotsc, v_{\pi(p)}\right) = \operatorname{sign}(\pi) \cdot \omega\left(v_{1}, \dotsc, v_{p}\right)</math>,

wobei <math>\operatorname{sign}(\pi)</math> das Signum der Permutation bezeichnet.

Die Menge aller alternierenden Multilinearformen <math>\Omega^p(V)</math> ist ein Untervektorraum von <math>\mathcal{J}^p(V)</math>. Wichtig ist der Spezialfall <math>\ p = \dim V</math>. Dann ist <math>\Omega^p(V)</math> ein eindimensionaler Unterraum von <math>\mathcal{J}^p(V)</math>, und seine Elemente heißen Determinantenfunktionen.

Auf dem durch alle <math>\Omega^p(V), p=0,1,2,\ldots</math> erzeugten Vektorraum lässt sich die Struktur einer Algebra definieren. Diese Algebra heißt Graßmann-Algebra.

Beispiele

1. Linearformen sind genau die 1-Multilinearformen.
2. Bilinearformen sind genau die 2-Multilinearformen. Antisymmetrische Bilinearformen sind alternierende Multilinearformen (wenn die Charakteristik von <math>K</math> nicht 2 ist).
3. Bildet man aus <math>n</math> Vektoren durch Zusammenfassen eine quadratische Matrix, so ist die Determinante dieser Matrix eine alternierende, normierte Multilinearform. Im dreidimensionalen Fall ist also <math>\omega </math> definiert durch
   <math>\omega\left(v_1,v_2,v_3\right):=

\det\begin{pmatrix} v_{1x} & v_{2x} & v_{3x} \\ v_{1y} & v_{2y} & v_{3y} \\ v_{1z} & v_{2z} & v_{3z} \end{pmatrix}

</math>
eine alternierende 3-Multilinearform. Dabei sind die Vektoren <math>v_1,v_2,v_3</math> folgendermaßen in Koordinaten dargestellt:
<math>

v_1=\begin{pmatrix} v_{1x} \\ v_{1y} \\ v_{1z} \end{pmatrix} ,\quad\quad

v_2=\begin{pmatrix} v_{2x} \\ v_{2y} \\ v_{2z} \end{pmatrix} ,\quad\quad

v_3=\begin{pmatrix} v_{3x} \\ v_{3y} \\ v_{3z} \end{pmatrix}</math>.

1. Kovariante Tensoren sind Multilinearformen: In dem Fall, dass alle Vektorräume <math>V_i</math> identisch sind (also <math>V_i=V</math>), ist die <math>p</math>-Multilinearform auch ein kovarianter Tensor <math>p</math>-ter Stufe. Im selben Fall sind die alternierenden <math>p</math>-Multilinearformen auch total antisymmetrische Tensoren <math>p</math>-ter Stufe.
2. Eine Differentialform ordnet einem Punkt einer Mannigfaltigkeit eine alternierende Multilinearform auf dem zugehörigen Tangentialraum zu.

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-03217-0.
• Hans-Joachim Kowalsky, Gerhard O. Michler: Lineare Algebra. De Gruyter, Berlin 2003, ISBN 978-3-11-017963-7.

Einzelnachweise

<references />