Derivation (Mathematik)

In verschiedenen Teilgebieten der Mathematik, insbesondere im Bereich der abstrakten Algebra, bezeichnet man Abbildungen als Derivationen, wenn sie eine bestimmte Funktionalgleichung erfüllen. Diese Gleichung wird als Leibniz-Regel bezeichnet und erinnert an die Produktregel aus der Differentialrechnung. Tatsächlich ist der Begriff der Derivation eine Abstraktion der Ableitung in den Kontext der Algebra. Eine Algebra über einem kommutativen Ring zusammen mit einer Derivation wird auch Differentialalgebra genannt.<ref name="Berger2013">Robert Berger: Differentiale höherer Ordnung und Körpererweiterungen bei Primzahlcharakteristik. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-642-99905-5, S. 4. (books.google.com)</ref>

Definition

Es sei <math>R</math> ein kommutativer Ring mit Eins (beispielsweise ein Körper wie <math>\mathbb R</math> oder <math>\mathbb C</math>) und <math>A</math> eine <math>R</math>-Algebra.

Eine <math>R</math>-Derivation oder kurz Derivation von <math>A</math> ist eine <math>R</math>-lineare Abbildung <math>D\colon A\to A</math>, die die Leibnizregel erfüllt, das heißt

für alle <math>a_1,a_2\in A.</math>

Die Eigenschaft <math>R</math>-linear besagt, dass für alle <math>a_1 , a_2 \in A</math> und <math>r \in R</math> die Gleichungen

und

gelten. Eine Algebra zusammen mit einer Derivation wird Differentialalgebra genannt.<ref name="Vialar2016">Thierry Vialar. Handbook of Mathematics. BoD - Books on Demand, 2016, ISBN 978-2-9551990-0-8, S. 714. (books.google.com)</ref> Die Definition schließt Ringe <math>A</math> ein, indem man sie als <math>\Z</math>-Algebren auffasst.

Bildet <math>D \colon A \to M</math> von einer Algebra <math>A</math> in einen Modul oder Bimodul <math>M</math> ab, so wird der Derivation analog definiert: für <math>a_1,a_2\in A</math> muss dann die Leibniz-Regel

erfüllt sein.<ref name="HunekeSwanson2006">Integral Closure of Ideals, Rings, and Modules. Cambridge University Press, 2006, ISBN 0-521-68860-4, S. 147. (books.google.com)</ref><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Eigenschaften

Im Folgenden sei weiterhin <math>D \colon A \to A</math> eine Derivation.

Ist <math>A</math> eine Algebra mit Einselement <math>1_A</math>, so gilt <math>D(1_A)=0</math>. Damit gilt auch <math>D(r)=0</math> für alle <math>r\in R</math>.
Der Kern einer Derivation ist eine Unteralgebra.
Die Menge der Derivationen von <math>A</math> mit Werten in <math>A</math> bildet mit dem Kommutator eine Lie-Algebra: Sind <math>D_1</math> und <math>D_2</math> Derivationen, so auch

Die Verkettung einer Derivation mit sich selbst ist keine Derivation. Die Abbildung

<math>D^n := \underbrace{D \circ \ldots \circ D}_{n-\mathrm{mal}}</math>

ist also keine Derivation, es gilt aber die Leibniz-Regel höherer Ordnung

<math>D^n(ab) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cdot D^{n-k}(a)\cdot D^{k}(b)</math>

für diese Abbildung mit <math>a ,b \in A</math>.<ref name="Jacobson1979">Nathan Jacobson: Lie Algebras. Courier Corporation, 1979, ISBN 0-486-63832-4, S. 8. (books.google.com)</ref>

Für ein Element <math>b\in A</math> ist <math>D_b\colon A\to A</math>, <math>D_b(a)=ba-ab</math>, eine Derivation. Derivationen dieses Typs heißen innere Derivationen. Die Hochschild-Kohomologie <math>H^1(A,A)</math> ist der Quotient des Moduls der Derivationen nach dem Untermodul der inneren Derivationen.
In einer kommutativen Algebra <math>A</math> gilt <math>D(a^n) = n a^{n-1} D(a)</math> für alle <math>a\in A</math> und alle nichtnegativen ganzen Zahlen <math>n</math>.

Beispiele

Die Ableitung reeller Funktionen <math>f\colon D \subseteq \R \to \R</math> ist eine Derivation. Dies besagt die Produktregel. Aus der Definition der Derivation und aus dem Abschnitt über die Eigenschaften von Derivationen sieht man, dass sich auch die Faktorregel, die Summenregel, die Potenzregel und die Produktregel für höhere Ableitungen einer Funktion auf Derivationen übertragen.
Sei <math>A=R[X]</math> die Algebra der formalen Potenzreihen. Dann ist die formale Ableitung

<math>\sum a_i X^i \mapsto \sum i a_i X^{i-1}</math>

eine <math>R</math>-lineare Derivation von <math>A</math> mit Werten in <math>A</math>.

Sei <math>X</math> eine Mannigfaltigkeit. Dann ist die Cartan-Ableitung eine <math>\mathbb R</math>-lineare Derivation von <math>C^\infty(X)</math> mit Werten im Raum <math>A^1(X)</math> der 1-Formen auf <math>X</math>.
Eine der Umformulierungen der Jacobi-Identität für Lie-Algebren besagt, dass die adjungierte Darstellung durch Derivationen operiert:

Derivationen und Kähler-Differentiale

Per definitionem werden <math>R</math>-lineare Derivationen einer kommutativen Algebra <math>A</math> durch den Modul <math>\Omega_{A/R}</math> der Kähler-Differentiale klassifiziert, d. h., es gibt eine natürliche Bijektion zwischen den <math>R</math>-linearen Derivationen von <math>A</math> mit Werten in einem <math>A</math>-Modul <math>M</math> und den <math>A</math>-linearen Abbildungen <math>\Omega_{A/R}\to M</math>. Jede Derivation <math>D\colon A\to M</math> entsteht als Verkettung der universellen Derivation <math>\mathrm d\colon A\to\Omega_{A/R}</math> mit einer <math>A</math>-linearen Abbildung <math>\Omega_{A/R}\to M</math>.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Antiderivationen

Definition

Ist <math>A</math> eine <math>\mathbb Z</math>- oder <math>\mathbb Z/2\mathbb Z</math>-graduierte <math>R</math>-Algebra, so heißt eine <math>R</math>-lineare graduierte Abbildung <math>D\colon A\to A</math> eine Antiderivation, wenn

für alle homogenen Elemente <math>a_1,a_2\in A</math> gilt; dabei bezeichnet <math>|a_1|</math> den Grad von <math>a_1</math>.

Beispiele

Die äußere Ableitung von Differentialformen ist eine Antiderivation:

<math>\mathrm d(\omega\wedge\eta)=\mathrm d\omega\wedge\eta+(-1)^{|\omega|}\cdot\omega\wedge\mathrm d\eta.</math>

Literatur

Siegfried Bosch: Algebra. 7. Auflage. Springer-Verlag, 2009, ISBN 978-3-540-40388-3, doi:10.1007/978-3-540-92812-6.

Einzelnachweise