Proximum

Das Proximum (oder auch Bestapproximation) ist ein vor allem in der numerischen Mathematik verwendeter Begriff aus der Theorie der metrischen Räume. Das Proximum zu einem Punkt <math>x</math> innerhalb einer <math>x</math> nicht enthaltenden Menge <math>Y</math> ist derjenige Punkt aus <math>Y</math>, der zu <math>x</math> den geringsten Abstand hat.

Definition

Sei <math>(X,d)</math> ein metrischer Raum, <math>Y\subset X</math> eine Teilmenge und <math>x\in X</math> beliebig. Der Abstand des Elements <math>x</math> zur Teilmenge <math>Y</math> wird mittels der Distanzfunktion <math>\operatorname{dist}</math> definiert durch

<math>\operatorname{dist}(x,Y):=\inf_{y\in Y} d(x,y)\,.</math>

Existiert nun ein <math>p\in Y</math> mit:

<math>d(x,p)=\operatorname{dist}(x,Y)\,</math>

so nennt man <math>p</math> Proximum oder Bestapproximation zu <math>x</math> in <math>Y</math>.

Wenn ein Proximum existiert, so muss es nicht eindeutig sein.

Üblicherweise hat man es in der Approximationstheorie mit einem normierten Raum <math>(X,\lVert\cdot\rVert)</math> zu tun. Ein Proximum <math>p</math> zu <math>x\in X</math> in <math>Y\subset X</math> ist dann – falls existent – charakterisiert durch die Gleichung

<math>\lVert x-p\rVert=\inf_{y\in Y} \lVert x-y\rVert</math>

Zur Existenz eines Proximums

• Sei <math>(X,d)\,</math> ein metrischer Raum. <math>A\subset X</math> sei eine kompakte Teilmenge. Dann hat jedes <math>x\in X</math> ein Proximum in <math>A</math>.

• Sei <math>(X,\lVert\cdot\rVert)</math> ein normierter Raum. <math>V\subset X</math> sei ein endlichdimensionaler Teilraum und <math>Y\subset V</math> eine abgeschlossene Teilmenge. Dann hat jedes <math>x\in X</math> ein Proximum in <math>Y</math>.

Eindeutigkeit des Proximums in Tschebyschow-Systemen

Sei <math>f\in C[a, b], U\subset C[a, b]</math> ein Tschebyschow-System. Dann ist das Proximum für <math>f</math> aus <math>U</math> eindeutig bestimmt.

Sei <math>U</math> ein endlichdimensionaler Unterraum von <math>C[a, b]</math>. Ist für jedes <math>f\in C[a, b]</math> das Proximum aus <math>U</math> eindeutig bestimmt, dann ist <math>U</math> ein Tschebyschow-System.

Alternanten-Kriterium in Tschebyschow-Systemen

Sei <math>f\in C[a, b], U\subset C[a, b]</math> ein <math>n</math>-dimensionales Tschebyschow-System. <math>u_0\in U</math> ist genau dann ein Proximum für <math>f</math> aus <math>U</math>, wenn es <math>n+1</math> Stellen <math>x_i</math> mit <math>a\leq x_0<x_1<\cdots<x_n\leq b</math> gibt, so dass

• <math>|f(x_i)-u_0(x_i)|=\max_{x\in[a,\, b]}|f(x)-u_0(x)|</math>, <math>i=0,\ldots, n</math> (Extremalpunkt)
• <math>\operatorname{sign}\left(f(x_{i-1})-u_0(x_{i-1})\right)=-\operatorname{sign}(f(x_{i})-u_0(x_{i}))</math>, <math>i=1,\ldots, n</math> (alternierend)

Dies folgt aus dem Kolmogorow-Kriterium aus der Approximationstheorie. Auf diesem Kriterium basiert der Remez-Algorithmus zur numerischen Bestimmung des Proximums in Tschebyschow-Systemen.

Proximum im Hilbertraum

Ist <math> X </math> ein Hilbertraum und <math>Y \subset X</math> eine abgeschlossene konvexe nichtleere Teilmenge, dann ist das Proximum eindeutig, das heißt, es existiert zu jedem <math>x \in X</math> genau ein <math> p \in Y</math> mit

<math>\lVert x-p\rVert \le \lVert x-y\rVert\, \, \forall \, y \in Y</math>.

Ist <math>Y</math> ein abgeschlossener Untervektorraum, so erhält man das Proximum <math>p</math> als Orthogonalprojektion von <math>x</math> auf <math>Y</math>.

Siehe auch

• Alternantensatz
• Minimallösung

Literatur

• Arnold Schönhage: Approximationstheorie. de Gruyter, Berlin 1971, ISBN 3-11-001982-5 ({{#if: XENFGizjTkUC

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