Càdlàg-Funktion
Eine Càdlàg-Funktion (auch Cadlag) ist eine spezielle reellwertige Funktion, die beispielsweise in der Stochastik angewendet wird. Dabei ist Càdlàg ein französisches Akronym ({{#invoke:Vorlage:lang|full|CODE=fr|SCRIPTING=Latn|SERVICE=französisch}} „rechtsseitig stetig, mit Grenzwerten von links“). Teils findet sich auch die aus dem englischen abgeleitete RCLL ({{#invoke:Vorlage:lang|flat}}). Analog spricht man auch von Càglàd-Funktionen (oder Làdcàg-Funktionen) (continue à gauche, limite à droite).
Definition
Sei <math> E </math> ein polnischer Raum wie beispielsweise <math> \R^n </math>. Eine Funktion
- <math> f\colon [0, \infty) \to E </math>
heißt
- Càdlàg-Funktion, wenn für alle <math> x \in [0, \infty) </math> die Funktion <math> f </math> in <math> x </math> rechtsseitig stetig ist und der linksseitige Grenzwert in <math> x </math> existiert und endlich ist.
- Càglàd-Funktion, wenn für alle <math> x \in [0, \infty) </math> die Funktion <math> f </math> in <math> x </math> linksseitig stetig ist und der rechtsseitige Grenzwert in <math> x </math> existiert und endlich ist.
Der Raum aller Càdlàg-Funktionen <math>f\colon I \to \mathbb{R}^d</math> auf einem Intervall <math>I = [a,b]</math> wird oft mit <math>D([a,b])</math> bezeichnet.
Raum der Càdlàg-Funktionen
{{#invoke:Vorlage:Anker|f |errCat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Anker |errHide=1}}Der Raum der Càdlàg-Funktionen lässt sich mit verschiedenen Metriken oder Topologien ausstatten:
- mit der primitiv durch die Supremumsnorm induzierten Metrik erhält man einen nicht-separablen Banachraum.
- mit bestimmt gewählten Metriken lassen sich die Skorochod-Topologien <math>J_1</math>, <math>J_2</math>, <math>M_1</math> oder <math>M_2</math> induzieren, wobei der Raum dann Skorochodraum genannt wird.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
- mit der durch die stochastische Mechanik nach Edward Nelson motivierte Meyer-Zheng-Topologie.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
- mit der <math>S</math>-Topologie nach Adam Jakubowski.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Anwendungen in der Stochastik
Die Verteilungsfunktion <math>F(x) = P(X \leq x)</math> einer reellen Zufallsvariablen <math>X</math> ist stets eine Càdlàg-Funktion.
Ein stochastischer Prozess <math>X=(X_t)_{t\geq0}</math> wird càdlàg genannt, wenn fast sicher jeder Pfad <math>t\rightarrow X_t</math> an jeder Stelle <math>t</math> rechtsseitig stetig ist und dort die linksseitigen Grenzwerte existieren. Ein Beispiel dafür sind Poisson-Prozesse.
Literatur
- {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}
Weblinks
- {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Cadlag Function. In: MathWorld (englisch). {{#if: CadlagFunction | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | CadlagFunction | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
- Eintrag zum Skorokhod-Raum (archiviert) und zur Skorochod-Topologie (archiviert) in der Encyclopaedia of Mathematics
- Eintrag zur Skorochod-Topologie im Lexikon der Mathematik
Einzelnachweise
<references />