Erdquadrant

Datei:Longitudinaler Erdquadrant.svg

Der Erdquadrant, auf den für die Definition des Meters zwischen 1793 und 1799 ursprünglich Bezug genommen wurde. Auf einem Sphäroid, hier konkret dem Erdellipsoid, existieren unendlich viele longitudinale Quadranten, die aber alle die gleiche Länge besitzen

Ein longitudinaler Erdquadrant<ref group="Anm">Diese Bezeichnung ist dem Terminus „Erdmeridianquadrant“ vorzuziehen, da der Terminus „Meridian“ selbst widersprüchlich verwendet wird. Logischerweise legt die Etymologie des Wortes Meridian – einfach nur „Mittag“ bedeutend – nahe, dass es sich nur um halbe Großkreise handelt. Ein falscher Usus setzt aber Meridian und den vollen Längenkreis nicht selten gleich.</ref> ist die sphäroidisch idealisierte Entfernung auf dem Niveau des Meeresspiegels vom Nordpol bis zum Äquator.

Bestimmung zur Zeit der Meterdefinition(en)

Der französische Nationalkonvent von 1793 legte das Längenmaß Meter als den zehnmillionsten Teil der Streckenlänge Nordpol—Paris—Äquator fest. Ein Erdquadrant maß demnach die halbe Länge des Meridians von Paris, bzw. ein Viertel des Längenkreises von Paris. Die französische Erdmessung erbrachte Mitte des 18. Jahrhunderts einen empirischen Beweis für die polwärtige Abplattung der Erde. Etwa zeitgleiche Messungen von de Lacaille und Cassini III. bestätigten diese Funde. Die Ergebnisse beider Messungen wurden für eine prototypische, physische Realisierung der Meterdefinition des Konvents in Form eines Messingstabs verwendet.

Vor der Einführung des Meters wurde für Arbeiten, die Längenbestimmungen von und an Meridianen zum Inhalt hatten, das Längenmaß Toise verwendet.

Weitere Gradmessungen noch vor Beginn des 19. Jahrhunderts bestimmten den Erdquadranten neu, womit nach der ursprünglichen Definition auch die Länge des Meters variierte. Der Messingstab war daraufhin zu lang. Um zu vermeiden, dass Neubestimmungen des Erdquadrants mittels verbesserter Messinstrumente und mathematischer Verfahren immer wieder die Länge der zu definierenden Einheit Meter änderten, wandelte sich die Definitionsgeschichte des Meters grundlegend. Der zehnmillionste Teil des Erdquadranten nach Rechnung von 1799 wurde als Platinstab gegossen und der Meter fortan als die Länge dieses Gegenstands definiert.

Dieser Platinstab wird auch als definitives Urmeter bezeichnet. Er markiert eine historische Wende wegen der Änderung des Bezugssystems der Meterdefinition, vom zuvor angestrebten Erdquadranten hin (bzw. zurück) zur Länge eines bestimmten Gegenstands. Zuvor waren Pariser Linie und Toise ebenso definiert worden.

Bestimmung in Metern nach 1800

Die Neubestimmung der Parameter des Erdellipsoids mit dem Ziel einer höheren Genauigkeit wurde im 19. und 20. Jahrhundert fortgesetzt. Der Meter war definiert und konnte stückweise die Toise als Längenmaß ablösen. Die Umrechnung der Längenangaben gestaltete sich schwierig, denn für die Toise existierten verschieden lange Referenzgegenstände, das Symbol der Maßeinheit unterschied diese jedoch nicht.

1837 bestimmte Bessel den Erdquadranten auf eine Länge von 10.000.565,278 m, wozu ihm Daten zehn verschiedener Gradmessungen vorlagen.<ref name="Bessel-1837">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Deren Ergebnisse wurden in Toise notiert, gaben aber mitunter nicht an, auf welche Toise sie konkret Bezug nahmen.

Bessel korrigierte den Wert 1841 auf 10.000.855,76 m und gab einen mittleren Fehler als Maß der Ungenauigkeit von ± 498,23 m an.<ref name="Bessel-1841">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Auch die Korrekturrechnung beruht auf der Annahme, alle Messwerte bezögen sich auf ein und denselben Toise-Referenzstab. Das bei seiner Ausgleichsrechnung zwischen den Gradmessungsdaten entstandene Referenzellipsoid ist heute als Bessel-Ellipsoid bekannt.<ref group="Anm">Das Bessel-Ellipsoid als idealisierter Erdkörper nähert die von F.W. Bessel verwendeten, zuvor empirisch aufgenommenen Messdaten mittels der Methode der kleinsten Quadrate bestmöglich an, so dass der gewichtete mittlere Abstand aller Messpunkte zur Oberfläche des Ellipsoiden minimal wird. Das Ellipsoid ist Ergebnis der Ausgleichsrechnung.</ref>

Für das mit GPS verwendete Ellipsoid des World Geodetic System 1984 (WGS84) beträgt die Länge des longitudinalen Erdquadranten ca. 10.001.966 m.<ref><templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />{{#if:20110414141929

      | {{#ifeq: 20110414141929 | *
    | Vorlage:Webarchiv/Wartung/Stern{{#if: The Earth according to WGS 84; calculated by Sigurd Humerfelt. | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|The Earth according to WGS 84; calculated by Sigurd Humerfelt.}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://home.online.no/~sigurdhu/Grid_1deg.htm}} }} (Archivversionen)
    | {{#iferror: {{#time: j. F Y|20110414141929}}
         | {{#if:  || }}Vorlage:Webarchiv/Wartung/DatumDer Wert des Parameters {{#if: wayback | wayback | Datum }} muss ein gültiger Zeitstempel der Form YYYYMMDDHHMMSS sein!
         | {{#if: The Earth according to WGS 84; calculated by Sigurd Humerfelt. | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|The Earth according to WGS 84; calculated by Sigurd Humerfelt.}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://home.online.no/~sigurdhu/Grid_1deg.htm}} }} {{#ifeq:  | [] | [ | ( }}Memento{{#if: {{#if:  | {{{archiv-bot}}} |  }} |  des Vorlage:Referrer }} vom {{#time: j. F Y|20110414141929}} im Internet Archive{{#if:  | ;  }}{{#ifeq:  | [] | ] | ) }}
      }}
  }}
      | {{#if:
          | {{#iferror: {{#time: j. F Y|{{{webciteID}}}}}
    | {{#switch: {{#invoke:Str|len|{{{webciteID}}}}}
       | 16= {{#if: The Earth according to WGS 84; calculated by Sigurd Humerfelt. | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|The Earth according to WGS 84; calculated by Sigurd Humerfelt.}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://home.online.no/~sigurdhu/Grid_1deg.htm}} }} {{#ifeq:  | [] | [ | ( }}Memento{{#if: {{#if:  | {{{archiv-bot}}} |  }} |  des Vorlage:Referrer }} vom {{#time: j. F Y| 19700101000000 + {{#expr: floor {{#expr: {{#invoke:Str|sub|{{{webciteID}}}|1|10}}/86400}} }} days}} auf WebCite{{#if:  | ;  }}{{#ifeq:  | [] | ] | ) }}
       | 9 = {{#if: The Earth according to WGS 84; calculated by Sigurd Humerfelt. | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|The Earth according to WGS 84; calculated by Sigurd Humerfelt.}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://home.online.no/~sigurdhu/Grid_1deg.htm}} }} {{#ifeq:  | [] | [ | ( }}Memento{{#if: {{#if:  | {{{archiv-bot}}} |  }} |  des Vorlage:Referrer}} vom {{#time: j. F Y| 19700101000000 + {{#expr: floor {{#expr: {{#invoke:Str|sub|{{#invoke:Expr|base62|{{{webciteID}}}}}|1|10}}/86400}} }} days}} auf WebCite{{#if:  | ;  }}{{#ifeq:  | [] | ] | ) }}
       | #default= Der Wert des Parameters {{#if: webciteID | webciteID | ID }} muss entweder ein Zeitstempel der Form YYYYMMDDHHMMSS oder ein Schüsselwert mit 9 Zeichen oder eine 16-stellige Zahl sein!Vorlage:Webarchiv/Wartung/webcitation{{#if:  || }}
      }}
    | c|{{{webciteID}}}}} {{#if: The Earth according to WGS 84; calculated by Sigurd Humerfelt. | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|The Earth according to WGS 84; calculated by Sigurd Humerfelt.}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://home.online.no/~sigurdhu/Grid_1deg.htm}} }} (Memento{{#if: {{#if:  | {{{archiv-bot}}} |  }} |  des Vorlage:Referrer}} vom {{#time: j. F Y|{{{webciteID}}}}} auf WebCite{{#if:  | ;  }}{{#ifeq:  | [] | ] | ) }}
  }}
          | {{#if: 
              | Vorlage:Webarchiv/Today
              | {{#if:
                      | Vorlage:Webarchiv/Generisch
                      | {{#if: The Earth according to WGS 84; calculated by Sigurd Humerfelt. | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|The Earth according to WGS 84; calculated by Sigurd Humerfelt.}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://home.online.no/~sigurdhu/Grid_1deg.htm}} }}  
                 }}}}}}}}{{#if:
    | Vorlage:Webarchiv/archiv-bot
  }}{{#invoke:TemplatePar|check
     |all      = url=
     |opt      = text= wayback= webciteID= archive-is= archive-today= archiv-url= archiv-datum= ()= archiv-bot= format= original=
     |cat      = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Webarchiv
     |errNS    = 0
     |template = Vorlage:Webarchiv
     |format   = *
     |preview  = 1
  }}{{#ifexpr: {{#if:20110414141929|1|0}}{{#if:|+1}}{{#if:|+1}}{{#if:|+1}}{{#if:|+1}} <> 1
    | {{#if:  || }}Vorlage:Webarchiv/Wartung/Parameter{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Genau einer der Parameter 'wayback', 'webciteID', 'archive-today', 'archive-is' oder 'archiv-url' muss angegeben werden.|1}}
  }}{{#if: 
    | {{#switch: {{#invoke:Webarchiv|getdomain|{{{archiv-url}}}}}
        | web.archive.org = 
          {{#if:  || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Im Parameter 'archiv-url' wurde URL von Internet Archive erkannt, bitte Parameter 'wayback' benutzen.|1}} 
        | webcitation.org = 
          {{#if:  || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Im Parameter 'archiv-url' wurde URL von WebCite erkannt, bitte Parameter 'webciteID' benutzen.|1}} 
        | archive.today |archive.is |archive.ph |archive.fo |archive.li |archive.md |archive.vn = 
          {{#if:  || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Im Parameter 'archiv-url' wurde URL von archive.today erkannt, bitte Parameter 'archive-today' benutzen.|1}}
      }}{{#if: 
         | {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}
             | {{#if:  || }}Vorlage:Webarchiv/Wartung/Parameter{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Der Wert des Parameter 'archiv-datum' ist ungültig oder hat ein ungültiges Format.|1}}
          |  }} 
         | {{#if:  || }}Vorlage:Webarchiv/Wartung/Parameter{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Der Pflichtparameter 'archiv-datum' wurde nicht angegeben.|1}}
      }}
    | {{#if: 
         | {{#if:  || }}Vorlage:Webarchiv/Wartung/Parameter{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Der Parameter 'archiv-datum' ist nur in Verbindung mit 'archiv-url' angebbar.|1}}
      }}
  }}{{#if:{{#invoke:URLutil|isHostPathResource|http://home.online.no/~sigurdhu/Grid_1deg.htm}}
    || {{#if:  || }} URL/Pfad ungültig.
  }}{{#if: The Earth according to WGS 84; calculated by Sigurd Humerfelt.
    | {{#if: {{#invoke:WLink|isBracketedLink|The Earth according to WGS 84; calculated by Sigurd Humerfelt.}}
        | {{#if:  || }} Linktext ungültig.
      }}
    | {{#if:  || }}Vorlage:Webarchiv/Wartung/Linktext_fehlt Linktext fehlt.
  }}{{#switch: 
    |addlarchives|addlpages= {{#if:  || }}{{#if: 1 |Vorlage:Webarchiv/Wartung/Parameter}}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: enWP-Wert im Parameter 'format'.|1}}
  }}{{#ifeq: {{#invoke:Str|find|http://home.online.no/~sigurdhu/Grid_1deg.htm%7Carchiv}} |-1
    || {{#ifeq: {{#invoke:Str|find|{{#invoke:Str|cropleft|http://home.online.no/~sigurdhu/Grid_1deg.htm%7C4}}%7Chttp}} |-1
         || {{#switch: {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://home.online.no/~sigurdhu/Grid_1deg.htm }}
              | abendblatt.de | daserste.ndr.de | inarchive.com | webcitation.org = 
              | #default = {{#if:  || }}{{#if: 1 |Vorlage:Webarchiv/Wartung/URL}}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Archiv-URL im Parameter 'url' anstatt URL der Originalquelle. Entferne den vor der Original-URL stehenden Mementobestandteil und setze den Archivierungszeitstempel in den Parameter 'wayback', 'webciteID', 'archive.today' oder 'archive-is' ein, sofern nicht bereits befüllt.|1}}
            }} 
       }}
  }}</ref>

Formel zur Bestimmung

{{#invoke:Vorlage:Siehe auch|f}} Ist ein Sphäroid gegeben, lässt sich die Länge des longitudinalen Quadranten wie folgt bestimmen.

\begin{align}

            f &= \tfrac{1}{n} \\
            b &= a \, (1-f) \\
  \varepsilon &= \sqrt{1 - \tfrac{b^2}{a^2}} \\

E(\varepsilon) &= \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} {\sqrt {1 - \varepsilon^2 (\sin t)^2}} \ \mathrm dt \\

      Q_{lon} &= a \, E(\varepsilon)

\end{align} </math>

Am Beispiel des für WGS84 definierten Referenzellipsoiden wird Sage benutzt, um <math style="padding-bottom:0.5em;">Q_{lon}</math> zu ermitteln:

<syntaxhighlight lang="matlab"> sage: a=6378137 sage: n=298.257223563 sage: f=1/n sage: b=a*(1-f) sage: e=sqrt(1-b^2/a^2) sage: qlon=a*elliptic_ec(e^2) </syntaxhighlight> <math style="padding-top:0.5em;">Q_{lon} = 10\,001\,965{,}729\,3127</math>

<math>a\,..</math> große Halbachse
<math>b\,..</math> kleine Halbachse
<math>f\,..</math> Abplattung
<math>n\,..</math> inverse Abplattung
<math>\varepsilon\,..</math> Numerische Exzentrizität
<math>E(\varepsilon)=E(\tfrac{\pi}{2};k=\varepsilon)\,..</math> Vollständiges elliptisches Integral der II. Art in Legendre-Form

Historische Werte

Auswahl von Längenbestimmungen des longitudinalen Erdquadranten
Jahr	Bezug	Länge in Meter	Länge in Toise<ref group="Anm">1 Toise = {{#if:\|864000 ⁴⁴³²⁹⁶⁄_{{{3}}}\|{{#if:443296\|⁸⁶⁴⁰⁰⁰⁄₄₄₃₂₉₆\|{{#if:864000\|¹⁄₈₆₄₀₀₀\|⁄}}}}}} m = {{#if:\|27000 ¹³⁸⁵³⁄_{{{3}}}\|{{#if:13853\|²⁷⁰⁰⁰⁄₁₃₈₅₃\|{{#if:27000\|¹⁄₂₇₀₀₀\|⁄}}}}}} m ≈ 1,949 036 Meter (per Definition von 1799, siehe Toise#Toise du Pérou)</ref>	Länge in Pariser Linien<ref group="Anm">1 Toise = 864 Pariser Linien</ref>	rel. Abweichung zu WGS84 in ‰
1793	de Lacaille Cassini III.	10.003.248,394<ref group="Anm">10.003.248,3938 m nach heutiger Definition des Meters; 10.000.000 m nach der Definition des provisorischen Urmeters von 1793</ref>	5.132.407,407	4.434.400.000	0,128
1799	Delambre Méchain	10.000.000	5.130.740,740	4.432.960.000	−0,197
1837	Bessel	10.000.565,278<ref name="Bessel-1837" />	5.131.030,77<ref name="Bessel-1837" />	4.433.210.585	−0,140
1841	Bessel	10.000.855,762<ref name="Bessel-1841" /> ± 498,23	5.131.179,81<ref name="Bessel-1841" /> ± 255,63	4.433.339.356 ± 220.863	−0,111
~1980	WGS84	10.001.965,729	5.131.749,305	4.433.831.400	0

Siehe auch

Anmerkungen

Einzelnachweise