Bernoullische Annahmen

Die Bernoullischen Annahmen sind Vereinfachungen der physikalischen Balkentheorie, die sich als Teilgebiet der Technischen Mechanik mit dem Verhalten belasteter Balken beschäftigt. Sie werden auch als Bernoulli-Hypothese<ref name="Uni-Siegen">Script, Kapitel 3.2 Grundgleichungen der geraden Biegung, Lehrstuhl für Baustatik, Universität Siegen. In: Bau.Uni-Siegen.de. Abgerufen im Juni 2021</ref> oder Bernoullische Hypothese<ref>Bernoullische Hypothese, Beuth Verlag GmbH. In: Baulexikon.Beuth.de. Abgerufen im Juni 2021</ref> oder Normalenhypothese von Bernoulli<ref>Baustatik 1 - Normalenhypothese von Bernoulli. examio GmbH. In: Ingenieurkurse.de. Abgerufen im Juni 2021</ref> bezeichnet und sind benannt nach Jakob I Bernoulli, von dem sie aufgestellt und dann in die Theorie übertragen wurden.

Inhalt der Annahmen

Vorausgesetzt wird, dass der Balken schlank ist. Seine Länge ist wesentlich größer als seine Querschnitts abmessungen.

Bernoulli geht von einem schubstarren Balken <math>G\cdot\tilde A=\infty</math> aus. Dabei steht <math>G</math> für das Schubmodul, <math>\tilde A</math> für die Querschnittsfläche. Es tritt also ausschließlich Biegung auf und die Schubverformung hat keinen weiteren Einfluss.<ref name="Spura">Christian Spura: Herleitung der Euler-Bernoulli-Balkentheorie. In: Einführung in die Balkentheorie nach Timoshenko und Euler-Bernoulli. essentials. Seiten 17–18. 23. Februar 2019. doi:10.1007/978-3-658-25216-8_3, Herausgeber Springer Vieweg, Wiesbaden. Print ISBN 978-3-658-25215-1, Online ISBN 978-3-658-25216-8. In: Link.Springer.com</ref>

1. Bernoulli’sche Hypothese: Senkrechtbleiben der Querschnitte

Balkenquerschnitte, die vor der Verbiegung senkrecht auf der Balkenachse standen, stehen auch nach der Verbiegung senkrecht auf der deformierten Balkenachse.<ref name="Spura" /> (Aus dem Winkelerhalt folgt, dass Schubstarrheit <math>G\cdot\tilde A=\infty</math> gefordert wird.)

2. Bernoulli’sche Hypothese: Ebenbleiben der Querschnitte

Die Querschnitte bleiben auch nach der Verbiegung in sich eben und verwölben sich nicht.<ref name="Spura" /> (Unter Berücksichtigung von Gleichgewicht folgt die Forderung nach Schubstarrheit <math>G\cdot\tilde A=\infty</math>.)

Anwendung

In der schubstarren Balkentheorie 1. Ordnung gibt es unter den Bernoullischen Annahmen folgende Differentialgleichungen für die Queranteile:

<math> \frac{\mathrm{d}V(x)}{\mathrm{d}x} = -q(x)</math><ref name="pichler2016baustatik">Pichler, Bernhard. Eberhardsteiner, Josef: Baustatik VO LVA-Nr 202.065. Hrsg.: TU Verlag. SS2016 Auflage. TU Verlag, Wien 2016, ISBN 978-3-903024-17-5, Lineare Stabtheorie ebener Stabtragwerke (520 Seiten, Grafisches Zentrum an der Technischen Universität Wien [abgerufen am 8. September 2016]). <templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />Grafisches Zentrum an der Technischen Universität Wien (Memento des Vorlage:IconExternal vom 13. März 2016 im Internet Archive) Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2</ref>

<math> \frac{\mathrm{d}M(x)}{\mathrm{d}x} = V(x)+m(x)</math><ref name="pichler2016baustatik" />

<math> \frac{\mathrm{d}\varphi(x)}{\mathrm{d}x} = -\left[\frac{M(x)}{E \cdot I(x)}+\kappa^e(x)\right]</math><ref name="pichler2016baustatik" />

<math> \frac{\mathrm{d}w(x)}{\mathrm{d}x} = \varphi(x)</math>

mit

der Laufkoordinate x entlang der Balkenachse
dem Elastizitätsmodul E
dem Flächenträgheitsmoment I(x)
V(x) der Querkraft
q(x) der Gleichlast (Querbelastung pro Längeneinheit<ref name="pichler2016baustatik" />)
M(x) dem Biegemoment

m(x) dem Streckenmoment (Biegebelastung pro Längeneinheit<ref name="pichler2016baustatik" />)
φ(x) der Verdrehung
κ^e(x) der eingeprägten Krümmung
w(x) der Durchbiegung.

Einzelnachweise