CAR-Algebra

Die CAR-Algebra ist eine im mathematischen Gebiet der Funktionalanalysis betrachtete Algebra. Es handelt sich um eine C*-Algebra, die eng mit den in der Quantenmechanik untersuchten kanonischen Antivertauschungsrelationen (engl. canonical anticommutation relation, daher der Name CAR) verbunden ist und daher auch Fermionenalgebra genannt wird.

Konstruktion

Bezeichnet <math>M_n</math> die C*-Algebra der komplexen <math>n\times n</math>-Matrizen, so kann man <math>M_{2^n}</math> vermöge des isometrischen *-Homomorphismus

Vorlage:Center, \quad X \mapsto \begin{pmatrix} X & 0 \\ 0 & X \end{pmatrix}</math>}}

als Unteralgebra von <math>M_{2^{n+1}}</math> auffassen. Auf der Vereinigung aller so ineinander liegenden Matrizenalgebren hat man dann eine Norm, die jede der C*-Normen auf <math>M_{2^n}</math> fortsetzt und daher bis auf die Vollständigkeit alle Eigenschaften einer C*-Norm hat. Die Vervollständigung ist dann eine C*-Algebra, die man die CAR-Algebra nennt.

Kanonische Antivertauschungsrelationen

Es seien <math>H</math> ein separabler Hilbertraum und <math>\alpha:H\rightarrow L(H)</math> eine lineare Abbildung in die C*-Algebra <math>L(H)</math> der stetigen, linearen Operatoren auf <math>H</math> mit folgenden Eigenschaften:

für alle Vektoren <math>x,y\in H</math>.

Man sagt, <math>\alpha</math> erfülle die kanonischen Antivertauschungsrelationen; diese werden von den in der Quantenmechanik betrachteten Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Fermionen erfüllt. Solche Abbildungen <math>\alpha</math> lassen sich beispielsweise auf dem Fockraum realisieren. Die Isomorphieklasse der von den Operatoren <math>\alpha(x)</math> erzeugten C*-Algebra erweist sich als unabhängig von der speziellen Auswahl der Abbildung <math>\alpha</math>, denn es gilt:<ref>K. R. Davidson: C*-Algebras by Example. American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-8218-0599-1, Example III.5.4.</ref>

• Die von allen Operatoren <math>\alpha(x),\, x\in H</math> erzeugte C*-Algebra ist isomorph zur CAR-Algebra.

Ist <math>(x_n)_{n\in \N}</math> eine Orthonormalbasis von <math>H</math>, so kann die Einbettung <math>C^*(\alpha(x_1),\ldots,\alpha(x_n)) \subset C^*(\alpha(x_1),\ldots,\alpha(x_{n+1}))</math> mit obiger Einbettung <math>M_{2^n} \rightarrow M_{2^{n+1}}</math> identifiziert werden (<math>C^*(\ldots)</math> steht hier für die von in den Klammern aufgelisteten Operatoren erzeugte C*-Algebra).

Als UHF-Algebra und AF-Algebra

Ihrer Konstruktion nach ist die CAR-Algebra eine UHF-Algebra, und zwar diejenige zur übernatürlichen Zahl <math>2^\infty</math> (siehe dazu den Artikel UHF-Algebra). Als UHF-Algebra ist sie auch eine AF-C*-Algebra und daher unter allen AF-C*-Algebren durch ihre geordnete skalierte <math>K_0</math>-Gruppe ausgezeichnet. Diese ist <math>\Z\left[\frac{1}{2}\right]</math> mit der durch [0,1] gegebenen Skala<ref>K. R. Davidson: C*-Algebras by Example. American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-8218-0599-1, Example IV.3.4.</ref>. <math>\Z\left[\frac{1}{2}\right]</math> steht dabei für die Menge aller rationalen Zahlen, deren Nenner eine Zweierpotenz ist.

Produktzustände und Typ III-Faktoren

Zu jedem <math>\lambda\in [0,1]</math> kann man rekursiv Zustände <math>\varphi_\lambda^{(n)}:M_{2^n}\rightarrow \Complex</math> definieren, wobei

• <math>\varphi_\lambda^{(0)}:M_{2^0}\cong \Complex \rightarrow \Complex</math> die identische Abbildung sei und
• <math>\varphi_\lambda^{(n)}(x) = \lambda \varphi_\lambda^{(n-1)}(x_{1,1})+(1-\lambda) \varphi_\lambda^{(n-1)}(x_{2,2})</math> für jedes <math>n>0</math>, wobei <math>x=(x_{i,j})</math> als <math>2\times 2</math>-Matrix mit Elementen aus <math>M_{2^{n-1}}</math> geschrieben ist.

Dann ist die Einschränkung von <math>\varphi_\lambda^{(n)}</math> auf <math>M_{2^{n-1}}</math> gleich <math>\varphi_\lambda^{(n-1)}</math>, denn gemäß der hier betrachteten Einbettung von <math>M_{2^{n-1}}</math> nach <math>M_{2^n}</math> ist

<math>(\varphi_\lambda^{(n)}|_{M_{2^{n-1}}})(x) = \varphi_\lambda^{(n)}\left(\begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & x \end{pmatrix}\right) = \lambda \varphi_\lambda^{(n-1)}(x)+(1-\lambda) \varphi_\lambda^{(n-1)}(x) = \varphi_\lambda^{(n-1)}(x) </math>.

Daher gibt es auf der CAR-Algebra einen eindeutigen Zustand <math>\varphi_\lambda</math>, der auf allen <math>M_{2^n}</math> mit <math>\varphi_\lambda^{(n)}</math> übereinstimmt. Dieser heißt der zu <math>\lambda</math> gehörige Produktzustand. Die Bezeichnung Produktzustand rührt daher, dass man ihn auch über Tensorprodukt-Konstruktionen gewinnen kann, was hier aber nicht ausgeführt wird. Nach J. Glimm lassen sich mittels dieser Zustände wie folgt Faktoren vom Typ III konstruieren.

Zum Zustand <math>\varphi_\lambda</math> gehört mittels GNS-Konstruktion eine Hilbertraum-Darstellung <math>\pi_\lambda:A \rightarrow L(H_\lambda)</math> auf einem Hilbertraum <math>H_\lambda</math>. Für <math>0 < \lambda < \frac{1}{2}</math> ist das Bild <math>\pi_\lambda(A)\subset L(H_\lambda)</math> eine C*-Algebra, deren Abschluss in der schwachen Operatortopologie ein Faktor vom Typ III ist.<ref>Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups. Academic Press Inc., 1979, ISBN 0-12-549450-5, Theorem 6.5.15.</ref> Je zwei solche Faktoren zu verschiedenen Zahlen aus dem offenen Intervall <math>\left(0,\frac{1}{2}\right)</math> sind nicht isomorph.<ref>Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups. Academic Press Inc., 1979, ISBN 0-12-549450-5, Theorem 8.15.13.</ref>

GICAR-Algebra

Sei <math>\alpha:H\rightarrow L(H)</math> eine Abbildung, die den oben definierten kanonischen Antivertauschungsrelationen genügt. Ist <math>\mu \in \Complex</math> mit <math>|\mu|=1</math>, so erfüllt auch <math>\beta:H\rightarrow L(H),\,x\mapsto \alpha(\mu x)</math> die kanonischen Antivertauschungsrelationen, wie man leicht nachrechnen kann. Da die von den <math>\alpha(x)</math> bzw. von den <math>\beta(x)</math> erzeugte C*-Algebra, wobei <math>x</math> den Hilbertraum durchläuft, in beiden Fällen die CAR-Algebra <math>A</math> ist, kann man zeigen, dass man einen Automorphismus <math>\sigma_\mu:A\rightarrow A</math> erhält, den man Eichautomorphismus nennt.

Die C*-Unteralgebra derjenigen Elemente von <math>A</math>, die unter allen Eichautomorphismen <math>\sigma_\mu, |\mu|=1</math> invariant sind, heißt GICAR-Algebra. Dabei steht GI für gauge-invariant (deutsch: eich-invariant). Man kann zeigen, dass die GICAR-Algebra eine AF-C*-Algebra ist. Während die CAR-Algebra einfach ist, das heißt, sie hat keine nicht-trivialen zweiseitigen Ideale, hat die GICAR-Algebra eine reiche Idealstruktur, die man an ihrem Bratteli-Diagramm ablesen kann. Dieses hat die Form des Pascalschen Dreiecks<ref>K. R. Davidson: C*-Algebras by Example. American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-8218-0599-1: Example III.5.5.</ref>:

Einzelnachweise

<references />