Ganzes Element

Im mathematischen Teilgebiet der kommutativen Algebra ist der Begriff eines ganzen Elementes in einer Ringerweiterung eine Verallgemeinerung des Begriffes eines algebraischen Elementes in einer Körpererweiterung.

Definition

Es sei <math>A</math> ein Ring und <math>B</math> eine <math>A</math>-Algebra. Dann heißt ein Element <math>b\in B</math> ganz über <math>A</math>, wenn es ein Polynom <math>p\in A[X]\setminus \{0\}</math> mit Leitkoeffizient 1 gibt, so dass <math>p(b)=0</math> gilt, also wenn es ein <math>n \in \N</math> und Koeffizienten <math>a_0, a_1,

\dotsc, a_{n-1} \in A</math> gibt mit

<math>b^n + a_{n-1} b^{n-1} + \dots + a_1 b + a_0 = 0</math>.

Die Menge der über <math>A</math> ganzen Elemente von <math>B</math> heißt der ganze Abschluss von <math>A</math> in <math>B</math>.

Falls der ganze Abschluss von <math>A</math> in <math>B</math> mit <math>A</math> übereinstimmt, heißt <math>A</math> ganz abgeschlossen in <math>B</math>. Stimmt der ganze Abschluss von <math>A</math> in <math>B</math> jedoch mit <math>B</math> überein, ist also jedes Element von <math>B</math> ganz über <math>A</math>, so heißt <math>B</math> ganz über <math>A</math>.

Beispiele

Ist <math>A\subseteq B</math> eine Ringerweiterung, dann ist <math>B</math> insbesondere eine <math>A</math>-Algebra. Ist <math>B</math> ganz über <math>A</math>, so spricht man von einer ganzen Ringerweiterung.
Ein Integritätsring, der ganz abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist, wird als normaler Ring bezeichnet.
Der ganze Abschluss der ganzen Zahlen in einem algebraischen Zahlkörper <math>K</math> wird als der Ganzheitsring <math>\mathcal O_K</math> von <math>K</math> bezeichnet.
Ist <math>A=\mathbb Z</math> und <math>K=\mathbb Q\big(\sqrt5\big)</math>, so ist der ganze Abschluss von <math>A</math> in <math>K</math> gegeben als

<math> \mathcal O_K=\mathbb Z\!\left[\frac{1+\sqrt5}2\right].</math>

Charakterisierung ganzer Elemente in Ringerweiterungen

Sei <math>A\subseteq B</math> eine Ringerweiterung, <math>x\in B</math>. Dann sind äquivalent:<ref>M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Proposition 5.1.</ref>

<math>x</math> ist ganz über <math>A</math>,
<math>A[x]</math> ist als <math>A</math>-Modul endlich erzeugt,
es gibt einen Teilring <math>C\subseteq B</math>, sodass <math>A[x]\subseteq C</math> und <math>C</math> als <math>A</math>-Modul endlich erzeugt ist.

Eigenschaften

Der ganze Abschluss von <math>A</math> in <math>B</math> ist eine <math>A</math>-Unteralgebra von <math>B</math>.

Ganzheit ist eine transitive Relation. Genauer gilt für eine Ringerweiterung <math>A\subseteq B\subseteq C</math>, dass <math>C</math> genau dann ganz über <math>A</math> ist, wenn <math>B</math> ganz über <math>A</math> und <math>C</math> ganz über <math>B</math> ist.<ref>M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Korollar 5.4.</ref>

Eine <math>A</math>-Algebra <math>B</math> ist genau dann endlich, wenn sie endlich erzeugt und ganz ist.<ref>M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, S. 60</ref>

Sei <math>A\subseteq B</math> eine Ringerweiterung, <math>C</math> der ganze Abschluss von <math>A</math> in <math>B</math> und <math>S\subseteq A</math> eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge. Dann ist auch <math>S^{-1}C</math> der ganze Abschluss von <math>S^{-1}A</math> in <math> S^{-1}B</math>, wobei mit <math>S^{-1}</math> die Lokalisierung nach der Menge <math>S</math> bezeichnet.<ref>M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Proposition 5.6.</ref>

Ganzabgeschlossenheit ist eine lokale Eigenschaft.

Sei <math>A\subseteq B</math> eine ganze Ringerweiterung und <math>B</math> nullteilerfrei. Dann ist <math>A</math> genau dann ein Körper, wenn <math>B</math> ein Körper ist.<ref>M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Proposition 5.7.</ref>

Ist <math>A\subseteq B</math> eine ganze Ringerweiterung. Dann gibt es einen Zusammenhang zwischen Primidealketten in <math>B</math> und darunterliegenden Primidealketten in <math>A</math>. Dies ist die Aussage der Sätze von Cohen-Seidenberg.

Falls <math>A</math> ein Unterring des Körpers <math>K</math> ist, dann ist der ganze Abschluss von <math>A</math> in <math>K</math> der Durchschnitt aller Bewertungsringe von <math>K</math> die <math>A</math> enthalten.<ref>M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Korollar 5.22.</ref>

Literatur

M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Chapter 5, ISBN 0-201-00361-9

Einzelnachweise

<references />