UHF-Algebra

UHF-Algebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich dabei um eine Klasse von C*-Algebren, die nach ihrem Entdecker James Glimm auch Glimm-Algebren genannt werden. Die UHF-Algebren sind einfach, das heißt, sie besitzen außer 0 und sich selbst keine zweiseitigen Ideale, und sie können zur Konstruktion bestimmter Von-Neumann-Algebren herangezogen werden.

Konstruktion

Es bezeichne <math>M_n</math> die C*-Algebra der komplexen <math>n\times n</math>-Matrizen. Ist <math>n</math> ein Teiler von <math>m</math>, so sei <math>\iota:M_n\rightarrow M_m</math> derjenige *-Homomorphismus, der eine Matrix aus <math>M_n</math> auf diejenige <math>m\times m</math>-Matrix abbildet, die aus <math>m/n</math> Kopien der Ausgangsmatrix längs der Diagonalen besteht, zum Beispiel

<math>

M_2 \rightarrow M_6, \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12}\\

                           x_{21} & x_{22}  \end{pmatrix}

\mapsto \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & 0 & 0 & 0 & 0 \\

                           x_{21} & x_{22} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 
                           0 & 0 &  x_{11} & x_{12} & 0 & 0 \\
                           0 & 0 &  x_{21} & x_{22} & 0 & 0 \\
                           0 & 0 & 0 & 0 &  x_{11} & x_{12} \\
                           0 & 0 & 0 & 0 &  x_{21} & x_{22}
                           \end{pmatrix}

</math>.

Dieser *-Homomorphismus ist injektiv und bildet das Einselement auf das Einselement ab. Da injektive *-Homomorphismen zwischen C*-Algebren automatisch isometrisch sind, kann man <math>M_n</math> in diesem Sinne als Unteralgebra von <math>M_m</math> auffassen, und statt <math>\iota</math> schreiben wir einfach <math>M_n\subset M_m</math>.

Ist nun <math>\vec n = (n_k)_{k\in \N}</math> eine Folge natürlicher Zahlen <math>\ge 2</math>, so erhält man eine Kette von Inklusionen:

<math> M_{n_1} \subset M_{n_1 \cdot n_2} \subset M_{n_1 \cdot n_2 \cdot n_3} \subset \ldots </math>.

Auf der Vereinigung <math>\bigcup_{k=1}^\infty M_{n_1 \cdot \ldots \cdot n_k}</math> gibt es dann eine eindeutige Norm, die jede der C*-Normen von <math>M_{n_1 \cdot \ldots \cdot n_k}</math> fortsetzt, und daher bis auf die Vollständigkeit alle Eigenschaften einer C*-Norm hat. Die Vervollständigung ist daher eine C*-Algebra, die man UHF-Algebra oder Glimm-Algebra vom Rang <math>\vec n</math> nennt.<ref>Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Kapitel 6.4.2</ref>

Eigenschaften

Isomorphien

Die UHF-Algebren hängen natürlich von der definierenden Folge <math>\vec n = (n_k)_{k\in \N}</math> ab. Zu jeder Primzahl <math>p</math> sei <math>\delta_{\vec n}(p)\in \N\cup \{\infty\}</math> das Supremum aller <math>n\in \N</math>, so dass <math>p^n</math> ein Teiler von <math> n_1 \cdot \ldots \cdot n_k</math>, wobei <math>k</math> gegen Unendlich läuft. Dadurch wird der definierenden Folge <math>\vec n</math> die Folge <math>\delta_{\vec n}=(\delta_{\vec n}(p))_p</math> zugeordnet, die man in Analogie zur Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen auch als <math>\prod_p p^{\delta_{\vec n}(p)}</math> schreibt und eine übernatürliche Zahl nennt, was freilich nur rein symbolisch zu verstehen ist; <math>p</math> durchläuft hierbei alle Primzahlen. Es gilt<ref>Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Theorem 6.4.6</ref>

Zwei UHF-Algebren vom Rang <math>\vec n</math> bzw. <math>\vec m</math> sind genau dann isomorph, wenn die zugeordneten übernatürlichen Zahlen gleich sind, das heißt falls <math>\delta_{\vec n}(p) = \delta_{\vec m}(p)</math> für alle Primzahlen <math>p</math>.

Dieser Satz findet sich bereits in <ref>J. Glimm: On a certain class of operator algebras, Transactions of the Amer. Math. Soc., Band 95 (1960), Seiten 318–340</ref>. Insbesondere gibt es überabzählbar viele paarweise nicht-isomorphe UHF-Algebren.

UHF-Algebren als AF-Algebren

Nach oben angegebener Konstruktion sind UHF-Algebren spezielle AF-Algebren; letztere sind allerdings erst später eingeführt worden. Ist <math>\vec n = (n_k)_{k\in \N}</math> der Rang der UHF-Algebra, so ist das zugehörige Bratteli-Diagramm gegeben durch

<math> \begin{matrix}

& \rightrightarrows & & \rightrightarrows & & \rightrightarrows &\\ n_1& \vdots & n_1\cdot n_2 & \vdots & n_1\cdot n_2\cdot n_3 & \vdots & n_1\cdot n_2\cdot n_3\cdot n_4\ldots \\ & \underbrace{\rightarrow}_{n_2\, \text{mal}} & & \underbrace{\rightarrow}_{n_3\, \text{mal}} && \underbrace{\rightarrow}_{n_4\, \text{mal}} \end{matrix} </math>.

Man liest unmittelbar ab, dass alle UHF-Algebren einfach sind, was sich aber auch ohne die Verwendung der Bratteli-Diagramme zeigen lässt. Als AF-Algebren werden UHF-Algebren auch durch ihre geordnete, skalierte K₀-Gruppe klassifiziert, diese ist isomorph zu

<math>\left\{\frac{a}{b};\, a,b\in \Z, b\neq 0, b|n_1 \cdot\ldots\cdot n_k \text{ für ein }k\in \N\right\} \subset \Q</math>

mit der durch [0,1] gegebenen Skala.<ref>K. R. Davidson: C*-Algebras by Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1, Beweis zu Korollar IV.5.8</ref>

Darstellungen

UHF-Algebren sind antiliminal. Jede irreduzible Darstellung ist treu und ihr Bild enthält außer 0 keinen weiteren kompakten Operator. UHF-Algebren besitzen überabzählbar viele, paarweise nicht-äquivalente, irreduzible Darstellungen.<ref>Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Theorem 6.5.7</ref>

Konstruktion von Faktoren

Jede UHF-Algebra <math>A</math> besitzt einen eindeutigen Spurzustand, das heißt ein stetiges lineares Funktional <math>\tau</math> mit <math>\tau(x^*x) \ge 0</math>, <math>\tau(1)=1</math> und <math>\tau(xy)=\tau(yx)</math> für alle Elemente <math>x,y\in A</math>. Die zugehörige GNS-Konstruktion liefert eine Darstellung <math>\pi_\tau:A\rightarrow L(H)</math> auf einem Hilbertraum <math>H</math>. Man kann zeigen, dass der Bikommutant des Bildes <math>\pi_\tau(A)^{}\subset L(H)</math> ein Typ II₁-Faktor ist.<ref>Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Korollar 6.4.4</ref>

Man nennt Faktoren hyperfinit, wenn sie als Von-Neumann-Algebren durch eine aufsteigende Folge endlich-dimensionaler Unter-von-Neumann-Algebren erzeugt werden<ref>Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, III.7.4, Theorem 3</ref>. Daraus leitet sich der Name der UHF-Algebren ab, denn diese liegen in solchen hyperfiniten Faktoren, UHF steht für uniformly-hyperfinite.

Eine besondere Rolle spielt die CAR-Algebra, die gleich der UHF-Algebra mit der übernatürlichen Zahl <math>2^\infty</math> ist. In <ref>Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Theorem 6.5.15</ref> werden Darstellungen dieser Algebra konstruiert, deren Bilder Typ III-Faktoren als Bikommutanten haben.

Einzelnachweise