Hausdorff-Metrik

Die gefärbten Mengen links haben verhältnismäßig geringen Hausdorff-Abstand zu den entsprechenden Mengen rechts.

Die Hausdorff-Metrik, benannt nach dem Mathematiker Felix Hausdorff, misst den Abstand <math>\delta(A,B)</math> zwischen nichtleeren kompakten Teilmengen <math>A</math>, <math>B</math> eines metrischen Raums <math>E</math>.

Anschaulich haben zwei kompakte Teilmengen einen geringen Hausdorff-Abstand, wenn es zu jedem Element der einen Menge ein Element der anderen Menge gibt, zu dem dieses einen geringen Abstand hat.

Definition

Als Hilfsmittel definiert man den Abstand <math>D</math> zwischen einem Punkt <math>x</math> und einer nichtleeren kompakten Teilmenge <math>K\subseteq E</math> unter Rückgriff auf die Metrik <math>d</math> des Raums <math>E</math> als

Dann definiert man den Hausdorff-Abstand zwischen zwei nichtleeren kompakten Teilmengen <math>A</math> und <math>B</math> als

<math>\delta(A,B):= \max \{\max\{D(a,B) \mid a\in A\} , \max\{D(b, A) \mid b\in B\} \}.</math>

Man kann zeigen, dass <math>\delta</math> in der Tat eine Metrik auf der Menge aller nichtleeren kompakten Teilmengen von <math>E</math> ist.

Äquivalent kann man den Hausdorff-Abstand definieren als

<math>\delta(A,B) = \inf\{\epsilon \geq 0\,|\ A \subseteq B_\epsilon \text{ und } B \subseteq A_\epsilon\}</math>,<ref>James Munkres: Topology. Prentice Hall, 2000, ISBN 0-13-181629-2, S. 280–281 (eingeschränkte Vorschau in der Google-BuchsucheSkriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:GoogleBook“ ist nicht vorhanden.).</ref>

wobei

<math> A_\epsilon := \bigcup_{a \in A} \{z \in E\,|\ d(z,a) \leq \epsilon\}</math>,

dies ist die Menge aller Punkte mit einem Abstand von höchstens <math>\epsilon</math> zur Menge <math>A</math>.

Eigenschaften

Ist der metrische Raum <math>E</math> vollständig, so ist auch der metrische Raum <math>\left(\left\{A~|~A\subset E\text{ kompakt}\right\},\delta\right)</math> vollständig.<ref>Jeff Henrikson: Completeness and total boundedness of the Hausdorff metric. MIT Undergraduate Journal of Mathematics, 1999, S. 69–80 (archive.org [PDF; abgerufen am 23. Mai 2025]). </ref>

Anwendungen

In der Theorie der iterierten Funktionensysteme werden Fraktale als Folgengrenzwerte im Sinne der Hausdorff-Metrik erzeugt.

Siehe auch

Literatur

Einzelnachweise

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