Inada-Bedingungen

Beispiel für eine Produktionsfunktion, die die Inada-Bedingungen erfüllt

Als Inada-Bedingungen bezeichnet man in der neoklassischen Produktions- und Wachstumstheorie mehrere Bedingungen, die häufig an Produktionsfunktionen gestellt werden. Sie stellen sicher, dass im Gewinnmaximum keine Randlösungen auftreten, bei denen ein Produktionsfaktor auf null reduziert wird, und dass der Grenzgewinn jedes Faktors für große Einsatzmengen negativ wird. Die Bedingungen gehen auf einen Artikel des japanischen Ökonomen Inada Ken-Ichi aus dem Jahr 1963 zurück, wo sie im Kontext eines Wachstumsmodells formuliert werden.<ref>Inada 1963, S. 120.</ref>

Definition

Sei <math display="inline">F:\mathbb{R}_{+}^{2}\rightarrow\mathbb{R}_{+}</math>, <math display="inline">(K,L)\mapsto F(K,L)</math>, eine stetig differenzierbare Produktionsfunktion, wobei <math display="inline">K</math> für den Kapitaleinsatz und <math display="inline">L</math> für den Arbeitseinsatz steht. Die Inada-Bedingungen besagen, dass das Grenzprodukt eines jeden Produktionsfaktors gegen unendlich divergiert, wenn man den jeweiligen Faktoreinsatz gegen null streben lässt; lässt man den jeweiligen Faktoreinsatz hingegen gegen unendlich streben, so konvergiert das Grenzprodukt des Faktors gegen null. Formal:<ref>Acemoglu, Introduction to Modern Economic Growth, 2009, S. 33; Barro/Sala-i-Martin, Economic Growth, 2. Auflage 2004, S. 27; de la Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists, 2000, S. 518.</ref>

<math display="inline">\lim_{K\to0^{+}}\frac{\partial F(K,L)}{\partial K}=\infty</math> und <math display="inline">\lim_{K\to\infty}\frac{\partial F(K,L)}{\partial K}=0</math> für alle <math display="inline">L>0</math>

<math display="inline">\lim_{L\to0^{+}}\frac{\partial F(K,L)}{\partial L}=\infty</math> und <math display="inline">\lim_{L\to\infty}\frac{\partial F(K,L)}{\partial L}=0</math> für alle <math display="inline">K>0</math>

In Produktionsfunktionen mit zusätzlichen Produktionsfaktoren treten entsprechend weitere Bedingungen hinzu.<ref>Siehe zum Beispiel Acemoglu, Introduction to Modern Economic Growth, 2009, S. 86, für <math display="inline">F(K, H, AL)</math> mit Humankapital <math display="inline">H</math> und Technologieniveau <math display="inline">A</math>.</ref> Häufig wird in der Praxis auch mit Produktionsfunktionen in der Intensivform gearbeitet.<ref>Dazu Romer, Advanced Macroeconomics, 5. Auflage 2019, S. 11 f.</ref> Dabei definiert man <math display="inline">k\equiv K/L</math> und schreibt die Produktionsfunktion – unter Ausnutzung der Annahme konstanter Skalenerträge – als <math display="inline">f(k)\equiv F(k, 1)</math>. Sie gibt die Produktion pro Einheit Arbeit an. Die Inada-Bedingungen für eine solche Produktionsfunktion lauten:<ref>Alogoskoufis, Dynamic Macroeconomics, 2019, S. 88; Romer, Advanced Macroeconomics, 5. Auflage 2019, S. 12; Sydsæter et al., Further Mathematics for Economic Analysis, 2. Auflage 2008, S. 214.</ref>

<math>\lim_{k\rightarrow0^{+}}f'(k)=\infty</math> und <math>\lim_{k\rightarrow\infty}f'(k)=0</math>

Zum Teil wird in der Literatur auch <math display="inline">f(0)=0</math> zu den Inada-Bedingungen gezählt.<ref>So etwa bei Barelli/de Abreu Pessôa 2003, S. 361.</ref>

Beispiel, Gegenbeispiel und Rechtfertigung

Die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion

erfüllt die Inada-Bedingungen. Hingegen erfüllt zum Beispiel

die Inada-Bedingungen nicht. Denn

<math>\frac{\partial F(K,L)}{\partial K}=\frac{1}{2}(K+1)^{-1/2}L^{1/2}=\frac{1}{2}\left(\frac{L}{K+1}\right)^{1/2}</math>

divergiert für <math display="inline">K\rightarrow0^{+}</math> nicht gegen unendlich, sondern konvergiert gegen <math display="inline">\frac{1}{2}L^{1/2}</math>.

Das ist aus folgendem Grund unerwünscht: Man betrachte ein gewinnmaximierendes Unternehmen, das seinen Gewinn <math display="inline">pF(K,L)-rK-wL</math> maximieren will. Es gelte, wie im Beispiel, <math display="inline">\lim_{K\rightarrow0^{+}}F_{K}(K,L)=\overline{m}</math> (mit irgendeinem <math display="inline">\overline{m}<\infty</math>).<ref>Hier und im Folgenden wird die in der Volkswirtschaftslehre gängige Kurzschreibweise für partielle Ableitungen verwendet: <math display="inline">F_{K}(K,L)</math> entspricht <math display="inline">\partial F(K,L)/\partial K</math>. Für Ableitungen höherer Ordnungen gilt analog: <math display="inline">F_{KK}(K,L)</math> entspricht <math display="inline">\partial^{2} F(K,L)/\partial K^2</math> und so fort.</ref> Somit ist der Grenzgewinn des Kapitals am Rand <math display="inline">K=0</math> gleich <math display="inline">p\overline{m}-r</math>. Für alle Zinssätze <math display="inline">r\geq p\overline{m}</math> ist dieser Grenzgewinn nichtpositiv, sodass <math display="inline">K=0</math> für das Unternehmen optimal ist. Für <math display="inline">r<p\overline{m}</math> existiert hingegen eine strikt positive innere Lösung. Die optimale Kapitalnachfrage ist also nicht stetig in <math display="inline">r</math>: Bereits ein minimaler Rückgang des Kapitalmarktzinses unter <math display="inline">p\overline{m}</math> führt dazu, dass das Unternehmen sprunghaft von einem Zustand ohne Kapitalnachfrage zu einer strikt positiven Kapitalnachfrage übergeht. Umgekehrt bleibt die optimale Kapitalmenge bei kleinen Zinserhöhungen oberhalb dieser Schwelle zunächst unverändert bei null.

In Modellen mit stetigen Technologien und ohne Fixkosten oder Diskretheiten ist ein solches nichtstetiges Anpassungsverhalten häufig problematisch, da es die Robustheit von Gleichgewichten beeinträchtigt und die Durchführung von komparativer Statik erschwert. Die Inada-Bedingungen schließen dieses Verhalten aus, indem sie sicherstellen, dass das Grenzprodukt eines Produktionsfaktors am Rand gegen unendlich divergiert; dadurch ist bei jedem endlichen Faktorpreisverhältnis eine innere Lösung optimal, sodass Randlösungen nicht auftreten.

Zusammenhänge

Wesentlichkeit der Produktionsfaktoren

Zwischen den Inada-Bedingungen und der Wesentlichkeit der Produktionsfaktoren besteht ein enger Zusammenhang. Man bezeichnet einen Produktionsfaktor als wesentlich, wenn seine vollständige Abwesenheit dazu führt, dass gar nichts produziert werden kann.

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Anmerkungen:

Die Annahme von zwei Produktionsfaktoren ist für diesen Zusammenhang wichtig; bei mehr als zwei Produktionsfaktoren gilt die Aussage im Allgemeinen nicht.<ref>Irmen/Maußner 2017, S. 1834.</ref>
Eine aggregierte Produktionsfunktion, die die Merkmale [A1]–[A3] aufweist und deren Produktionsfaktoren wesentlich sind, bezeichnet man auch als neoklassische Produktionsfunktion.<ref>Barro/Sala-i-Martin, Economic Growth, 2. Auflage 2004, S. 26–28.</ref> Der Satz erlaubt es somit, in der Definition einer neoklassischen Produktionsfunktion im Zwei-Faktoren-Fall auf die explizite Forderung der Wesentlichkeit der Produktionsfaktoren zu verzichten.<ref>Barro/Sala-i-Martin, Economic Growth, 2. Auflage 2004, S. 28.</ref>

Es gelten außerdem einige „Umkehrungen“ des Satzes:<ref>Irmen/Maußner 2017, S. 1828 f.</ref> Wenn Kapital ein wesentlicher Produktionsfaktor ist und die Eigenschaften [A2] und [A3] gelten, dann erfüllt <math display="inline">F</math> die Inada-Bedingung <math display="inline">\lim_{L\rightarrow\infty}F_{L}(K,L)=0</math>. Analog: Wenn Arbeit ein wesentlicher Produktionsfaktor ist und die Eigenschaften [A2] und [A3] gelten, dann erfüllt <math display="inline">F</math> die Inada-Bedingung <math display="inline">\lim_{K\rightarrow\infty}F_{K}(K,L)=0</math>. Die Wesentlichkeit des einen Faktors impliziert also, dass der andere Faktor die Inada-Bedingung im Unendlichen erfüllt. Ferner gilt: Wenn Kapital ein wesentlicher Produktionsfaktor ist und <math display="inline">\lim_{L\rightarrow\infty}F(K,L)=\infty</math>, dann gilt die Inada-Bedingung <math display="inline">\lim_{K\to0^{+}}F_{K}(K,L)=\infty</math>. Analog: Wenn Arbeit ein wesentlicher Produktionsfaktor ist und <math display="inline">\lim_{K\rightarrow\infty}F(K,L)=\infty</math>, dann gilt die Inada-Bedingung <math display="inline">\lim_{L\to0^{+}}F_{L}(K,L)=\infty</math>. Ähnliche Aussagen sind auch für Produktionsfunktionen mit mehr als zwei Produktionsfaktoren möglich.<ref>Irmen/Maußner 2017, S. 1832 ff.</ref>

Substitutionselastizität

Betrachte eine zweimal stetig differenzierbare, strikt konkave Produktionsfunktion in Intensivform, <math display="inline">f(k)</math>, mit konstanten Skalenerträgen. Die Substitutionselastizität beträgt

<math>\sigma(k)=-\frac{\mathrm{d}\ln(k)}{\mathrm{d}\ln(F_{K}/F_{L})}=-\frac{f'(k)\cdot\left[f(k)-kf'(k)\right]}{kf(k)f(k)}</math>,

wobei <math display="inline">F_{K}/F_{L}</math> die Grenzrate der technischen Substitution (GRTS) zwischen Kapital und Arbeit bezeichnet.<ref>Barelli/de Abreu Pessôa 2003, S. 362; Ozkaya 2021, S. 1. Siehe auch {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Auf die Herleitung der Formel wird hier verzichtet; im Kern konstruiert man, um die erste Gleichung zu erhalten, aus <math>f(k)</math> wieder eine Produktionsfunktion <math>F(K,L)</math>, berechnet die Substitutionselastizität wie sonst üblich und nutzt aus, dass die GRTS wegen der Annahme konstanter Skalenerträge nur von <math display="inline">k</math> und nicht allgemein von <math display="inline">(K,L)</math> abhängt.<ref>Herleitung bei Gonçalo L. Fonseca, The Elasticity of Substitution, The History of Economic Thought Website, abgerufen am 22. Februar 2026.</ref> Explizites Ausrechnen führt anschließend unmittelbar auf die zweite Gleichung.<ref>Siehe etwa de la Grandville, Economic Growth, 2. Auflage 2017, S. 82.</ref>

{{{1}}}

f'(k)=\infty</math> sowie <math display="inline">f(0)=0</math> erfüllt. Sei außerdem <math display="inline">\sigma(k)</math> stetig und beschränkt auf einem Intervall <math display="inline">[0,\overline{k}]</math>, <math display="inline">\overline{k}>0</math>. Dann konvergiert für <math>k\rightarrow 0</math> die Substitutionselastizität <math display="inline">\sigma(k)</math> gegen 1.}}

Die Interpretation dieser Aussage hat in der Literatur zu einem gewissen Dissens geführt: Barelli/de Abreu Pessôa (2003) setzten die Klasse der Funktionen, deren Substitutionselastizität asymptotisch 1 beträgt, ursprünglich mit der Klasse der Funktionen vom Cobb-Douglas-Typ gleich.<ref>Barelli/de Abreu Pessôa 2003, S. 363.</ref> Das würde etwa bedeuten, dass die empirische Beobachtung eines Produktionsprozesses, der keiner Cobb-Douglas-Funktion folgt, im Widerspruch zur Annahme der (vollständigen) Inada-Bedingungen stünde. Dagegen argumentieren Litina/Palivos (2008), die zeigen wollen, dass Funktionen, deren Substitutionselastizität asymptotisch 1 beträgt, nicht notwendigerweise vom Cobb-Douglas-Typ seien. Dem widerspricht wiederum Ozkaya (2021), der das Gegenbeispiel von Litina/Palivos (2008) für fehlerhaft hält und den von Barelli/de Abreu Pessôa (2003) behaupteten Schluss formal untermauert, indem er explizit die Gleichung einer Cobb-Douglas-Funktion aufstellt, in die eine Produktionsfunktion, die den Inada-Bedingungen genügt, überführt werden kann.

Solow-Modell

Im Solow-Modell sind die Inada-Bedingungen (zusammen mit der Annahme der Konkavität und konstanten Skalenerträgen) eine hinreichende Bedingung dafür, dass die Ökonomie langfristig zu einem stabilen und eindeutigen Gleichgewicht, dem sogenannten Steady State, konvergiert.

Existenz und Eindeutigkeit des Steady State

Die Dynamik des Kapitalstocks pro effektiver Arbeitseinheit <math>k</math> wird durch die fundamentale Differenzialgleichung des Solow-Modells (mit exogenem technischen Fortschritt) beschrieben:

<math>\dot{k}(t)=sAf(k(t))-(n+g+\delta)k(t)</math>

Dabei steht <math display="inline">s\in (0,1)</math> für die Sparquote, <math display="inline">A</math> für das Technologieniveau, <math display="inline">n</math> für das Bevölkerungswachstum, <math display="inline">g</math> für die Rate des technischen Fortschritts und <math display="inline">\delta</math> für die Abschreibungsrate. Ein Steady State ist ein Punkt <math display="inline">k^{*}>0</math>, an dem <math display="inline">\dot{k} = 0</math> gilt. Die Inada-Bedingungen garantieren die Existenz einer solchen Lösung durch folgendes Resultat:

{{{1}}}

f'(k)=\infty</math> und <math display="inline">\lim_{k\rightarrow\infty}f'(k)=0</math> sind erfüllt.

Dann existiert für jede Parameterkombination mit <math display="inline">s\in (0,1)</math> und <math display="inline">n+g+\delta>0</math> genau ein stabiler Kapitalstock <math display="inline">k^{*}\in (0,\infty)</math>, sodass <math display="inline">sAf(k^{*}) = (n + g + \delta)k^{*}</math>.}}

Intuitiv lässt sich dies mit folgender Überlegung einsehen: Die Bedingung für den Steady State lässt sich umformen zu:

<math>\frac{f(k^{*})}{k^{*}} = \frac{n + g + \delta}{sA}</math>.

Die linke Seite entspricht der Durchschnittsproduktivität des Kapitals. Unter den Inada-Bedingungen ist die Durchschnittsproduktivität eine streng monoton fallende Funktion, die für <math display="inline">k\rightarrow0^{+}</math> gegen unendlich divergiert und für <math display="inline">k\rightarrow\infty</math> gegen null konvergiert. Nach dem Zwischenwertsatz existiert daher genau ein Schnittpunkt mit der horizontalen Geraden der Investitionskosten.

Keine Randlösungen

Die Inada-Bedingungen gewährleisten in einer Wettbewerbsökonomie, dass bei jedem endlichen Faktorpreisverhältnis die gewinnmaximierende Faktornachfrage eine innere Lösung ist. Randlösungen, in denen ein Produktionsfaktor trotz positiver Preise nicht eingesetzt wird, können daher nicht optimal sein. Dies hat folgenden Hintergrund:

Da laut erster Inada-Bedingung das Grenzprodukt für gegen null strebende Einsatzmengen gegen unendlich divergiert, wäre der Grenzgewinn im Limes am Rand unbeschränkt groß. Selbst bei sehr hohen Zinsen wird es für ein Unternehmen daher immer profitabel sein, zumindest eine kleine Menge Kapital nachzufragen. Ein Zustand mit <math display="inline">k=0</math> kann somit kein stabiles Marktgleichgewicht sein. Diese unendliche Grenzproduktivität am Nullpunkt begrenzt gleichzeitig das (asymptotische) Verhalten der Faktorpreise: Im Solow-Modell werden Kapital und Arbeit gemäß ihren Grenzprodukten entlohnt, wobei für den Realzins <math display="inline">r=Af'(k)-\delta</math> und für den Reallohn <math display="inline">w=A[f(k)-kf'(k)]</math> gilt. Die Inada-Bedingungen sorgen hierbei dafür, die Preise in einem Bereich zu halten, der einen strikt positiven Faktoreinsatz im Gleichgewicht erzwingt. Steigt die Kapitalintensität <math display="inline">k</math> stark an, so sinkt das Grenzprodukt gemäß der zweiten Inada-Bedingung gegen null, wodurch der Realzins bis auf <math display="inline">-\delta</math> fällt und weitere Akkumulation unattraktiv macht. Sinkt <math display="inline">k</math> hingegen gegen null, treibt das explodierende Grenzprodukt den Zins theoretisch gegen unendlich, was sofortige Investitionen auslöst. Da zugleich durch die Konkavität der Produktionsfunktion sichergestellt ist, dass bei jedem <math display="inline">k>0</math> auch ein positiver Restbetrag für die Entlohnung der Arbeit verbleibt, garantieren die Inada-Bedingungen, dass beide Faktoren im Marktgleichgewicht stets wesentlich bleiben und zu positiven Preisen entlohnt werden. Eine Volkswirtschaft, die diesen Bedingungen folgt, kann somit nicht in einer Situation verharren, in der Produktionsfaktoren zwar vorhanden, aber aufgrund mangelnder Produktivität oder prohibitiv hoher Preise vollständig ungenutzt bleiben.

Literatur

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{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} [S. 27–29]
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Anmerkungen