Triviale Topologie
Die triviale Topologie<ref>Triviale Topologie. In: Guido Walz (Red.): Lexikon der Mathematik. Band 5: Sed bis Zyl. Spektrum – Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2002, ISBN 3-8274-0437-1.</ref>, indiskrete Topologie<ref>Lothar Tschampel: BUCHMAT. 3.A: Topologie 1. Allgemeine Topologie. Version 2. Buch-X-Verlag, Berlin 2011, ISBN 978-3-934671-60-7.</ref>, chaotische Topologie<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> oder Klumpentopologie<ref name="Laures9">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> ist eine im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtete Struktur für eine Menge, die diese zu einem topologischen Raum macht.
Definition
Sei <math>X</math> eine Menge. Die triviale Topologie auf <math>X</math> ist die Topologie, bei der nur die Menge <math>X</math> und die leere Menge <math>\emptyset</math> offen sind.<ref name="Laures9" />
Eigenschaften
Sei <math>X</math> ein topologischer Raum versehen mit der trivialen Topologie.
- Alle Punkte in <math>X</math> sind topologisch ununterscheidbar.
- Entsprechend der Definition sind nur die leere Menge und die ganze Menge <math>X</math> abgeschlossen.
- Der Raum <math>X</math> ist kompakt und somit insbesondere parakompakt, lindelöf und lokalkompakt.
- Der Raum <math>X</math> ist wegzusammenhängend, denn jede Abbildung eines topologischen Raums nach <math>X</math> ist stetig, und somit auch zusammenhängend.
- Die triviale Topologie ist die gröbste aller Topologien auf einer gegebenen Menge, insbesondere ist jede Abbildung von einem topologischen Raum in eine triviale Topologie stetig.
- Die triviale Topologie besitzt alle üblichen Trennungseigenschaften, sofern sie nicht T₀ voraussetzen, und ist pseudometrisierbar durch die Pseudometrik, die beliebigen zwei Punkten den Abstand 0 zuordnet.
- Jeder Filter konvergiert in der trivialen Topologie gegen jeden Punkt, dies charakterisiert die triviale Topologie.
Beispiel
Ist <math>X</math> zusätzlich ein reeller oder komplexer Vektorraum, so ist <math>X</math> mit der trivialen Topologie ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum. Diese Topologie wird durch die Null-Halbnorm, also durch eine Funktion die jeden Vektor auf null abbildet, erzeugt.
Siehe auch
Einzelnachweise
<references />