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Skalarprodukt

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Das Skalarprodukt zweier Vektoren im euklidischen Anschauungsraum hängt von der Länge der Vektoren und dem eingeschlossenen Winkel ab.

Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> oder Punktprodukt<ref name=":0">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>) ist eine mathematische Verknüpfung, die zwei Vektoren eine Zahl (Skalar) zuordnet. Es ist Gegenstand der analytischen Geometrie und der linearen Algebra. Historisch wurde es zuerst im euklidischen Raum eingeführt. Geometrisch berechnet man das Skalarprodukt <math>\vec a \cdot \vec b</math> (sprich „a mal b“) zweier Vektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> nach der Formel

<math>\vec a \cdot \vec b = |\vec a| |\vec b| \cos\sphericalangle(\vec a, \vec b).</math><ref name="Bronstein2001">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Dabei bezeichnen <math>|\vec a|</math> und <math>|\vec b|</math> jeweils die Längen (Beträge) der Vektoren. Mit <math>\cos \sphericalangle(\vec a, \vec b) = \cos \varphi</math> wird der Kosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels <math>\varphi</math> (phi) bezeichnet. Das Skalarprodukt zweier Vektoren gegebener Länge ist damit null, wenn sie senkrecht zueinander stehen.

In einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem berechnet sich das Skalarprodukt zweier Vektoren <math>\vec a =(a_1,a_2)</math> und <math>\vec b =(b_1,b_2)</math> als

<math>\vec a \cdot \vec b = a_1 b_1 + a_2 b_2.</math>

In einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem berechnet sich das Skalarprodukt zweier Vektoren <math>\vec a =(a_1,a_2,a_3)</math> und <math>\vec b =(b_1,b_2,b_3)</math> als

<math>\vec a \cdot \vec b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.</math><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

In der linearen Algebra wird dieses Konzept auf beliebig viele Dimensionen verallgemeinert mittels

<math>\vec a \cdot \vec b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots +a_n b_n.</math>

Noch allgemeiner versteht man in der linearen Algebra unter einem Skalarprodukt eine Funktion, die zwei Elementen eines reellen oder komplexen Vektorraums einen Skalar zuordnet, genauer eine (positiv definite) hermitesche Sesquilinearform bzw. spezieller bei reellen Vektorräumen eine (positiv definite) symmetrische Bilinearform. Im Allgemeinen ist in einem Vektorraum von vornherein kein Skalarprodukt festgelegt. Ein Raum zusammen mit einem Skalarprodukt wird als Innenproduktraum oder Prähilbertraum bezeichnet. Diese Vektorräume verallgemeinern den euklidischen Raum und ermöglichen damit die Anwendung geometrischer Methoden auf abstrakte Strukturen.

Im euklidischen Raum

Geometrische Definition und Notation

Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Raum oder in der zweidimensionalen euklidischen Ebene kann man als Pfeile darstellen. Dabei stellen Pfeile, die parallel, gleich lang und gleich orientiert sind, denselben Vektor dar. Das Skalarprodukt <math>\vec a \cdot \vec b</math> zweier Vektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> ist ein Skalar, das heißt eine reelle Zahl. Geometrisch bzw. koordinatenfrei lässt es sich wie folgt definieren:

Bezeichnen <math>a = |\vec a|</math> und <math>b = |\vec b|</math> die Längen der Vektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> und bezeichnet <math>\varphi = \sphericalangle(\vec a, \vec b)</math> den von <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> eingeschlossenen Winkel, so ist

<math>\vec a \cdot \vec b := |\vec a| |\vec b| \cos \sphericalangle (\vec a, \vec b) = a b \cos \varphi.</math>

Hierbei muss <math>\vec a, \vec b \neq \vec 0</math> vorausgesetzt werden, da ansonsten <math>\varphi = \sphericalangle(\vec a, \vec b)</math> nicht erklärt ist. Ist <math>\vec a = \vec 0</math> oder <math>\vec b = \vec 0</math>, so ist <math>\vec a \cdot \vec b :=0 </math>.<ref name=":1">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Andere übliche Notationen sind <math>\vec a \circ \vec b,\ \vec a \bullet \vec b, \langle \vec a, \vec b \rangle</math> und <math>(\vec a, \vec b)</math>.<ref name=":0" /> Wie bei der normalen Multiplikation wird (wenn klar ist, was gemeint ist) das Multiplikationszeichen manchmal weggelassen: <math>\vec a \cdot \vec b = \vec a\,\vec b</math>. Statt <math>\vec a \cdot \vec a</math> schreibt man auch kurz <math>\vec a^2</math>.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Beispiele

In allen vier Beispielen gilt <math>| \vec a | = 5</math> und <math>| \vec b | = 3</math>. Die Skalarprodukte ergeben sich mithilfe der speziellen Kosinuswerte <math>\cos 0^\circ = 1</math>, <math>\cos 60^\circ = 0{,}5</math>, <math>\cos 90^\circ = 0</math> und <math>\cos 120^\circ=-0{,}5</math>:

Geometrische Deutung

Datei:Skalarprodukt-geometrische-Deutung.svg
Geometrische Deutung des Skalarprodukts <math>\vec a \cdot \vec b</math> als Länge der orthogonalen Projektion <math>\vec b_{\vec a}</math> mal der Länge von <math>\vec a</math>

Die Zahl <math>\vec a \cdot \vec b</math> ergibt sich geometrisch folgendermaßen: Projiziert man den Vektor <math>\vec b</math> auf die durch <math>\vec a</math> bestimmte Gerade, so erhält man einen Vektor <math>\vec b_{\vec a}</math>. Schließen <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> einen Winkel <math>0 \leq \varphi \leq 90^\circ</math>ein, so ist <math>|\vec b | \cos \varphi</math> nach der Definition des Kosinus die Länge von <math>\vec b_{\vec a}</math>. Multipliziert man diese Länge mit dem Betrag von <math>\vec a</math>, so erhält man die Zahl <math>\vec a \cdot \vec b</math>. Schließen <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> hingegen einen Winkel <math>90^\circ <\varphi \leq 180^\circ</math> ein, so entspricht <math>|\vec b | \cos \varphi</math> der Länge von <math>\vec b_{\vec a}</math>, jedoch mit einem negativen Vorzeichen versehen.<ref name=":1" />

Insgesamt gilt also: Das Skalarprodukt <math>\vec a \cdot \vec b</math> ist gleich dem Produkt der Länge von <math>\vec a</math> und der Länge der Projektion <math>\vec b_{\vec a}</math> von <math>\vec b</math> auf die Richtung von <math>\vec a</math>. Es hat dabei positives oder negatives Vorzeichen, je nachdem <math>\vec a</math> und <math>\vec b_{\vec a}</math> die gleiche oder entgegengesetzte Richtung haben.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Aus Symmetriegründen entspricht <math>\vec a \cdot \vec b</math> zugleich dem vorzeichenbehafteten Produkt der Länge von <math>\vec b</math> und der Länge der Projektion <math>\vec a_{\vec b}</math> von <math>\vec a</math> auf die Richtung von <math>\vec b</math>.<ref name=":1" />

Darstellung in kartesischen Koordinaten

Führt man in der euklidischen Ebene bzw. im euklidischen Raum kartesische Koordinaten ein, so besitzt jeder Vektor eine Koordinatendarstellung als 2- bzw. 3-Tupel, das meist als Spalte geschrieben wird.

In der euklidischen Ebene erhält man dann für das Skalarprodukt der Vektoren

<math>\vec a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}</math>  und  <math>\vec b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}</math>

die Darstellung

<math>\vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = a_1 b_1 + a_2 b_2.</math>
Datei:Unit vectors qtl2.svg
Kanonische Einheitsvektoren in der euklidischen Ebene

Für die kanonischen Einheitsvektoren <math>\vec e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> gilt nämlich

<math>\vec e_1 \cdot \vec e_1 = 1,\ \vec e_1 \cdot \vec e_2 = \vec e_2 \cdot \vec e_1 = 0</math> und <math>\vec e_2 \cdot \vec e_2 = 1</math>.

Daraus folgt (unter Vorwegnahme der weiter unten erläuterten Eigenschaften des Skalarproduktes)

<math>

\begin{align} \vec a \cdot \vec b &= (a_1 \vec e_1 + a_2 \vec e_2) \cdot (b_1 \vec e_1 + b_2 \vec e_2) \\ &= a_1 b_1 \vec e_1 \cdot \vec e_1 + a_1b_2 \vec e_1 \cdot \vec e_2 + a_2 b_1 \vec e_2 \cdot \vec e_1 + a_2 b_2 \vec e_2 \cdot \vec e_2 \\ &= a_1 b_1 + a_2 b_2. \end{align}</math> Im dreidimensionalen euklidischen Raum erhält man entsprechend für die Vektoren

<math>\vec a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\a_3 \end{pmatrix}</math>  und  <math>\vec b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\b_3 \end{pmatrix}</math>

die Darstellung

<math>\vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\b_3 \end{pmatrix} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.</math>

Beispielrechnung

Das Skalarprodukt der beiden Vektoren

<math>\vec a = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}</math>  und  <math>\vec b = \begin{pmatrix}-7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix}</math>

berechnet sich als

<math>\vec a \cdot \vec b = 1 \cdot (-7) + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 9 = 36</math>.

Eigenschaften

Aus der geometrischen Definition ergibt sich direkt:

  • Sind <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> parallel und gleichorientiert (<math>\varphi = 0^\circ</math>), so gilt
    <math>\vec a \cdot \vec b = |\vec a||\vec b|.</math>
  • Insbesondere ergibt das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst das Quadrat seiner Länge:
    <math>\vec a \cdot \vec a = \vert \vec a \vert^2 .</math>
  • Hieraus folgt
    <math>\vec a \cdot \vec a \geq 0 \quad </math> und <math>\quad \vec a \cdot \vec a = 0 \Longleftrightarrow \vec a = \vec 0 </math>.
  • Sind <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> parallel und entgegengesetzt orientiert (<math>\varphi = 180^\circ</math>), so gilt
    <math>\vec a \cdot \vec b = -|\vec a| |\vec b|.</math>
  • <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> sind genau dann orthogonal, wenn <math>\vec a \cdot \vec b = 0.</math>
  • Ist <math>\sphericalangle(\vec a, \vec b)</math> ein spitzer Winkel, so gilt <math>\vec a \cdot \vec b > 0.</math>
  • Ist <math>\sphericalangle(\vec a, \vec b)</math> ein stumpfer Winkel, so gilt <math>\vec a \cdot \vec b < 0.</math>
  • Für Einheitsvektoren <math>\hat a, \hat b </math> gilt <math>\hat a \cdot \hat b = \cos \sphericalangle (\hat a, \hat b ) </math>.
  • Für Vektoren <math>\vec e_i, \vec e_j</math> einer Orthonormalbasis gilt <math>\vec e_i \cdot \vec e_j = 1</math>, falls <math>i=j</math> und <math>\vec e_i \cdot \vec e_j = 0 </math>, falls <math>i \neq j</math>.
  • <math>|\vec a \cdot \vec b|\leq |\vec a||\vec b|</math> (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung) und <math>|\vec a \cdot \vec b| = |\vec a||\vec b| \iff \vec a , \vec b</math> sind linear abhängig.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Als Funktion, die jedem geordneten Paar <math>(\vec a, \vec b)</math> von Vektoren die reelle Zahl <math>\vec a \cdot \vec b</math> zuordnet, hat das Skalarprodukt folgende Eigenschaften, die man von einer Multiplikation erwartet:

  1. Es ist symmetrisch (Kommutativgesetz):
    <math>\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a</math> für alle Vektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math>.
  2. Es ist homogen in jedem Argument (gemischtes Assoziativgesetz):
    <math>(r \vec a) \cdot \vec b = r\, (\vec a \cdot \vec b) = \vec a \cdot (r \vec b)</math> für alle Vektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> und alle Skalare <math>r \in \R</math>.
  3. Es ist additiv in jedem Argument (gemischte Distributivgesetze):
    <math>\vec a \cdot (\vec b + \vec c) = \vec a \cdot \vec b + \vec a \cdot \vec c</math> und
    <math>(\vec a + \vec b) \cdot \vec c = \vec a \cdot \vec c + \vec b \cdot \vec c</math> für alle Vektoren <math>\vec a,</math> <math>\vec b</math> und <math>\vec c.</math>

Die Eigenschaften 2 und 3 bedeuten, dass das Skalarprodukt linear in beiden Argumenten ist, also bilinear.

Die Bezeichnung gemischtes Assoziativgesetz für die 2. Eigenschaft verdeutlicht, dass dabei ein Skalar und zwei Vektoren so verknüpft werden, dass die Klammern wie beim Assoziativgesetz verschoben werden können. Da das Skalarprodukt keine innere Verknüpfung ist, ist ein Skalarprodukt von drei Vektoren nicht definiert, daher stellt sich die Frage nach einer echten Assoziativität nicht. Im Ausdruck <math>(\vec a \cdot \vec b) \, \vec c</math> ist nur die erste Multiplikation ein Skalarprodukt von zwei Vektoren, die zweite ist das Produkt eines Skalars mit einem Vektor (S-Multiplikation). Der Ausdruck stellt einen Vektor dar, ein Vielfaches des Vektors <math>\vec c.</math> Hingegen stellt der Ausdruck <math>\vec a \, (\vec b \cdot \vec c)</math> ein Vielfaches von <math>\vec a</math> dar. Im Allgemeinen gilt also

<math>(\vec a \cdot \vec b) \, \vec c \ne \vec a \, (\vec b \cdot \vec c).</math>

Beziehung zum Kreuzprodukt

Für die Verbindung vom Skalarprodukt mit dem Kreuzprodukt gelten die folgenden Rechenregeln:<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

  • <math>( \vec a \times \vec b ) \cdot \vec c = \vec a \cdot ( \vec b \times \vec c )</math>
  • <math>( \vec a \times \vec b ) \cdot \vec c = -( \vec b \times \vec a ) \cdot \vec c</math>
  • <math>( \vec a \times \vec b ) \cdot \vec a = ( \vec a \times \vec b ) \cdot \vec b = 0</math>
  • <math>( \vec a \times \vec b ) \cdot ( \vec a \times \vec b ) = ( \vec a \cdot \vec a ) ( \vec b \cdot \vec b ) - ( \vec a \cdot \vec b )^2</math>

Die Kombination aus Kreuzprodukt und Skalarprodukt der ersten beiden Regeln nennt man auch Spatprodukt; es ergibt das orientierte Volumen des durch die drei Vektoren <math>\vec a, \vec b, \vec c</math> aufgespannten Parallelepipeds.

Anwendungen

Betrag von Vektoren und eingeschlossener Winkel

Indem man die geometrische Definition mit der Koordinatendarstellung kombiniert, kann man die Länge (den Betrag) eines Vektors und den von zwei Vektoren eingeschlossenen Winkel aus den Koordinaten der Vektoren berechnen:

Für einen Vektor <math>\vec a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}</math> des zweidimensionalen Raumes gilt

<math>| \vec a | = \sqrt{\vec a \cdot \vec a} =\sqrt{\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}}= \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2}.</math>

Man erkennt hier den Satz des Pythagoras wieder. Im dreidimensionalen Raum gilt für <math>\vec a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\a_3 \end{pmatrix}</math> entsprechend

<math>| \vec a | = \sqrt{\vec a \cdot \vec a} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}.</math>

Zur Berechnung des eingeschlossenen Winkels zwischen zwei Vektoren <math>\vec a, \vec b \neq 0</math> stellt man die Definitionsgleichung nach <math>\cos \sphericalangle (\vec a, \vec b)</math> um:

<math>\cos \sphericalangle(\vec a, \vec b) = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a| |\vec b|}.</math>

Die einzelnen Bestandteile <math>\vec a \cdot \vec b, |\vec a|</math> und <math>|\vec b|</math> kann man mit den entsprechenden Formeln für die kartesischen Koordinaten berechnen. Um den Winkel <math>\varphi =\sphericalangle(\vec a, \vec b)</math> zu erhalten, muss man noch den Arkuskosinus auf das Ergebnis der Rechnung anwenden:

<math> \varphi = \arccos \left(\frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|}\right) </math> .
Beispielrechnung

Die Vektoren

<math>\vec a = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}</math>  und  <math>\vec b = \begin{pmatrix}-7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix}</math>

haben die Länge

<math>|\vec a| = \sqrt{1^2+2^2+3^2} = \sqrt{14} \approx 3{,}74</math> und <math>|\vec b| = \sqrt{(-7)^2+8^2+9^2} = \sqrt{194} \approx 13{,}93.</math>

Der Kosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels berechnet sich mit <math>\vec a \cdot \vec b = 1 \cdot (-7)+2\cdot 8 + 3 \cdot 9 = 36 </math> zu

<math>\cos \sphericalangle(\vec a, \vec b) = \frac{36}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{194}} \approx 0{,}691.</math>

Somit ist <math>\sphericalangle(\vec a, \vec b) = \arccos \left(\frac{36}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{194}}\right)\approx 46{,}3^\circ.</math>

Orthogonalität und orthogonale Projektion

Datei:Projektion mittels Skalarprodukt.svg
Der Vektor <math>\vec b_{\vec a}</math> ist die orthogonale Projektion von <math>\vec b</math> auf die Richtung von <math>\vec a</math>.

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→ Haupt{{#if:|seite|artikel}}: [[{{#if: ||{{{titel2}}}}}]]{{#if: |{{#ifexist:{{{3}}}| und [[{{{3}}}{{#if: ||{{{titel3}}}}}]]|}}|}}

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→ Haupt{{#if:|seite|artikel}}: [[{{{3}}}{{#if: ||{{{titel3}}}}}]]

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Mithilfe des Skalarprodukts lässt sich die orthogonale Projektion von <math>\vec b</math> auf die durch den Vektor <math>\vec a \neq \vec 0</math> gegebene Richtung ausdrücken:

<math>\vec b_\vec a = b_a \frac{\vec a}{|\vec a|}=\frac{\vec b \cdot \vec a}{|\vec a|^2} \, \vec a.</math>

Die Projektion <math>\vec b_{\vec a}</math> ist der Vektor, dessen Endpunkt der Lotfußpunkt vom Endpunkt von <math>\vec b</math> auf die durch <math>\vec a</math> bestimmte Ursprungsgerade ist. Der Vektor <math>\vec b - \vec b_{\vec a}</math> steht senkrecht auf <math>\vec a.</math><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Bei der Projektion von <math>\vec b</math> auf einen Einheitsvektor <math>\vec e</math> (d. h. <math>|\vec e| = 1</math>) vereinfacht sich die Formel zu

<math>\vec b_{\vec e} = b_a \vec e = (\vec b \cdot \vec e) \, \vec e.</math>

Folglich gibt <math>\vec b \cdot \vec e</math> die vorzeichenbehaftete Länge des orthogonal auf <math>\vec e</math> projizierten Vektors <math>\vec b</math> an.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Datei:Dot-product-5.svg
Kosinussatz mit Vektoren

Hilfsmittel für elementargeometrische Beweise

Mithilfe des Skalarprodukts lassen sich elementargeometrische Sätze, in denen von Winkeln die Rede ist, auf elegante Art beweisen. Dazu müssen zunächst die Voraussetzungen und die Behauptung des Satzes in die Vektorsprache übersetzt werden.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Behauptung: (Kosinussatz)

<math>c^2=a^2+b^2-2 a b\cos\gamma.</math>

Beweis: Mit Hilfe der eingezeichneten Vektoren folgt <math>\vec c = -\vec b + \vec a.</math> (Die Richtung von <math>\vec c</math> ist unerheblich.) Quadrieren des Betrags ergibt

<math>|\vec c|^2 = \vec c \cdot \vec c = (\vec a-\vec b)\cdot(\vec a - \vec b) = \vec a \cdot \vec a - 2\, \vec a\cdot \vec b + \vec b\cdot \vec b = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 - 2\,\vec a \cdot \vec b</math>

und damit

<math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cos \gamma.</math>

Beschreibung von Geraden und (Hyper-)Ebenen

Mit Hilfe des Skalarprodukts, eines Stützvektors <math>\vec p</math> und eines Normalenvektors <math>\vec n</math> lassen sich Geraden in der Ebene, Ebenen im dreidimensionalen Raum oder allgemein Hyperebenen darstellen, und zwar in der sogenannten Normalenform:

<math>( \vec x - \vec p ) \cdot \vec n = 0</math>

Eine Gerade, Ebene bzw. Hyperebene besteht dann aus denjenigen Punkten, deren Ortsvektoren <math>\vec x</math> die Gleichung erfüllen. Im Gegensatz zur Punktrichtungsform handelt es sich hierbei um eine Gleichung ohne Parameter.

In der Physik

Datei:Dot-product-4.svg
Beispiel schiefe Ebene

In der Physik sind viele Größen durch das Skalarprodukt definiert, wie zum Beispiel die Arbeit <math>W</math>:

<math>W=\vec F \cdot \vec s = |\vec F| |\vec s| \cos \varphi = F_s \cdot s = F \cdot h</math>

mit den vektoriellen Größen Kraft <math>\vec F</math> und Weg <math>\vec s</math>. Dabei bezeichnet <math>\varphi</math> den Winkel zwischen der Richtung der Kraft und der Richtung des Weges. Mit <math>F_s</math> wird die Komponente der Kraft in Richtung des Weges bezeichnet, mit <math>h</math> die Komponente des Weges in Richtung der Kraft.

Beispiel: Ein Wagen des Gewichts <math>F</math> wird über eine schiefe Ebene von <math>A</math> nach <math>B</math> transportiert. Die Hubarbeit <math>W</math> berechnet sich zu

<math>

\begin{align} 

W &= \vec F \cdot \vec s = F \cdot h = F \cdot s \cdot \cos \varphi \\
  &= 5\,\mathrm N \cdot 3\,\mathrm m \cdot \cos 63^\circ = 6{,}81 \,\mathrm J.

\end{align} </math>

In allgemeinen reellen und komplexen Vektorräumen

Man nimmt die obigen Eigenschaften zum Anlass, den Begriff des Skalarprodukts auf beliebige reelle und komplexe Vektorräume zu verallgemeinern. Ein Skalarprodukt ist dann eine Funktion, die zwei Vektoren ein Körperelement (Skalar) zuordnet und die genannten Eigenschaften erfüllt. Im komplexen Fall modifiziert man dabei die Bedingung der Symmetrie und der Bilinearität, um die Positivdefinitheit zu retten (die für komplexe symmetrische Bilinearformen nie erfüllt ist).

In der allgemeinen Theorie werden die Variablen für Vektoren, also Elemente eines beliebigen Vektorraums, im Allgemeinen nicht durch Pfeile gekennzeichnet. Das Skalarprodukt wird meist nicht durch einen Malpunkt, sondern durch ein Paar von spitzen Klammern bezeichnet. Für das Skalarprodukt der Vektoren <math>x</math> und <math>y</math> schreibt man also <math>\langle x, y \rangle</math>. Andere gebräuchliche Notationen sind <math>\langle x | y \rangle</math> (vor allem in der Quantenmechanik in Form der Bra-Ket-Notation), <math>(x,y)</math> und <math>(x|y)</math>.

Definition (Axiomatik)

Ein Skalarprodukt oder inneres Produkt auf einem reellen Vektorraum <math>V</math> ist eine positiv definite symmetrische Bilinearform <math>\langle{\cdot},{\cdot}\rangle\colon V\times V\to\R,</math> das heißt, für <math>x,y,z\in V</math> und <math>\lambda\in\R</math> gelten die folgenden Bedingungen:

  1. linear in jedem der beiden Argumente:
    • <math>\langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle</math>
    • <math>\langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle</math>
    • <math>\langle \lambda x, y\rangle= \lambda\langle x,y\rangle</math>
    • <math>\langle x, \lambda y\rangle= \lambda\langle x,y\rangle</math>
  2. symmetrisch: <math>\langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle</math>
  3. positiv definit:
    • <math>\langle x,x\rangle\geq0</math>
    • <math>\langle x,x\rangle=0</math> genau dann, wenn <math>x=0</math>

Ein Skalarprodukt oder inneres Produkt auf einem komplexen Vektorraum <math>V</math> ist eine positiv definite hermitesche Sesquilinearform <math>\langle{\cdot},{\cdot}\rangle\colon V\times V\to\mathbb C,</math> das heißt für <math>x,y,z\in V</math> und <math>\lambda\in\mathbb C</math> gelten die folgenden Bedingungen:

  1. sesquilinear:
    • <math>\langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle</math>
    • <math>\langle \lambda x, y\rangle= \bar\lambda\langle x,y\rangle</math>    (semilinear im ersten Argument)
    • <math>\langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle</math>
    • <math>\langle x, \lambda y\rangle= \lambda\langle x,y\rangle</math>    (linear im zweiten Argument)
  2. hermitesch: <math>\langle x,y\rangle=\overline{\langle y,x\rangle}</math>
  3. positiv definit:
    • <math>\langle x,x\rangle\geq0</math> (Dass <math>\langle x,x\rangle</math> reell ist, folgt aus Bedingung 2.)
    • <math>\langle x,x\rangle=0</math> genau dann, wenn <math>x=0</math>

Ein reeller oder komplexer Vektorraum, in dem ein Skalarprodukt definiert ist, heißt Skalarproduktraum oder Prähilbertraum. Ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit Skalarprodukt wird auch euklidischer Vektorraum genannt, im komplexen Fall spricht man von einem unitären Vektorraum. Entsprechend wird das Skalarprodukt in einem euklidischen Vektorraum gelegentlich als euklidisches Skalarprodukt, das in einem unitären Vektorraum als unitäres Skalarprodukt bezeichnet. Die Bezeichnung „euklidisches Skalarprodukt“ wird aber auch speziell für das oben beschriebene geometrische Skalarprodukt oder das weiter unten beschriebene Standardskalarprodukt im <math>\R^n</math> benutzt.

Anmerkungen
  • Oft wird jede symmetrische Bilinearform bzw. jede hermitesche Sesquilinearform als Skalarprodukt bezeichnet; mit diesem Sprachgebrauch beschreiben die obigen Definitionen positiv definite Skalarprodukte.
  • Die beiden angegebenen Axiomensysteme sind nicht minimal. Im reellen Fall folgt aufgrund der Symmetrie die Linearität im ersten Argument aus der Linearität im zweiten Argument (und umgekehrt). Analog dazu folgt im komplexen Fall aufgrund der Hermitezität die Semilinearität im ersten Argument aus der Linearität im zweiten Argument (und umgekehrt).
  • Im komplexen Fall wird das Skalarprodukt manchmal alternativ, nämlich als linear im ersten und semilinear im zweiten Argument definiert. Diese Version tritt bevorzugt in der Mathematik und insbesondere in der Analysis auf, während in der Physik überwiegend die obige Version benutzt wird (siehe Bra- und Ket-Vektoren). Der Unterschied beider Versionen liegt in den Auswirkungen der Skalarmultiplikation hinsichtlich der Homogenität. Nach der Alternativversion gilt für <math>x,y\in V</math> und <math>\lambda\in\mathbb C</math>   <math>\langle \lambda x, y\rangle= \lambda \langle x,y \rangle</math> und <math>\langle x, \lambda y \rangle= \bar\lambda\langle x, y\rangle</math>. Die Additivität wird in beiden Versionen gleich verstanden. Ebenso sind die nach beiden Versionen aus dem Skalarprodukt gewonnenen Normen identisch.<ref name="Rudin">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
  • Ein Prähilbertraum, der vollständig bezüglich der durch das Skalarprodukt induzierten Norm ist, wird als Hilbertraum bezeichnet.
  • Die Unterscheidung zwischen reellem und komplexem Vektorraum bei der Definition des Skalarprodukts ist nicht zwingend notwendig, da eine hermitesche Sesquilinearform im Reellen einer symmetrischen Bilinearform entspricht.

Beispiele

Standardskalarprodukt im Rn und im Cn

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Ausgehend von der Darstellung des euklidischen Skalarprodukts in kartesischen Koordinaten definiert man in der linearen Algebra das Standardskalarprodukt im <math>n</math>-dimensionalen Koordinatenraum <math>\R^n</math> für <math>x, y\in \R^n</math> durch

<math>\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i = x_1{y_1} + x_2{y_2} + \dotsb + x_n{y_n}.</math>

Das oben behandelte „geometrische“ Skalarprodukt im euklidischen Raum entspricht so dem Spezialfall <math>n=3.</math> Im Fall des <math>n</math>-dimensionalen komplexen Vektorraums <math>\Complex^n</math> definiert man das Standardskalarprodukt für <math>x, y\in \mathbb C^n</math> durch

<math>\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n \overline{x_i} y_i = \overline{x_1} y_1 + \overline{x_2} y_2 + \dotsb + \overline{x_n} y_n,</math>

wobei der Überstrich die komplexe Konjugation bedeutet. In der Mathematik ist häufig auch die alternative Version gebräuchlich, bei der das zweite Argument statt des ersten konjugiert wird.

Das Standardskalarprodukt im <math>\R^n</math> bzw. <math>\Complex^n</math> lässt sich auch als Matrizenprodukt schreiben, indem man den Vektor als <math>n \times 1</math>-Matrix (Spaltenvektor) interpretiert: Im reellen Fall gilt

<math>\langle x, y\rangle = x^\mathsf{T}y = y^\mathsf{T}x,</math>

wobei <math>{x}^\mathsf{T}</math> der Zeilenvektor ist, der aus dem Spaltenvektor <math>x</math> durch Transponieren hervorgeht. Im komplexen Fall gilt (für den links semilinearen, rechts linearen Fall)

<math>\langle x, y\rangle = x^\mathsf{H}y,</math>

wobei <math>x^\mathsf{H}</math> der zu <math>x</math> hermitesch adjungierte Zeilenvektor ist.

Allgemeine Skalarprodukte im Rn und im Cn

Allgemeiner definiert im reellen Fall jede symmetrische und positiv definite Matrix <math>A</math> über

<math>\langle x, y\rangle_A = x^\mathsf{T} A y = \langle x, Ay \rangle</math>

ein Skalarprodukt; ebenso wird im komplexen Fall für jede positiv definite hermitesche Matrix <math>A</math> über

<math>\langle x, y\rangle_A = x^\mathsf{H} A y = \langle x, Ay \rangle</math>

ein Skalarprodukt definiert. Hier bezeichnen die spitzen Klammern auf der rechten Seite das Standardskalarprodukt, die spitzen Klammern mit dem Index <math>A</math> auf der linken Seite das durch die Matrix <math>A</math> definierte Skalarprodukt.

Jedes Skalarprodukt auf <math>\R^n</math> bzw. <math>\Complex^n</math> lässt sich auf diese Art durch eine positiv definite symmetrische Matrix (bzw. positiv definite hermitesche Matrix) darstellen.

L2-Skalarprodukt für Funktionen

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Auf dem unendlichdimensionalen Vektorraum <math>C^0([a,b],\R)</math> der stetigen reellwertigen Funktionen auf dem Intervall <math>[a,b]</math> ist das <math>L^2</math>-Skalarprodukt durch

<math>\langle f, g \rangle_{L^2} = \int_a^b f(x) g(x) \, \mathrm dx , </math>

für alle <math>f, g \in C^0([a,b],\R)</math>, definiert. Die Voraussetzung der Stetigkeit kann dabei abgeschwächt werden (siehe Lp-Raum), denn bspw. ist das L2-Skalarprodukt auch für Treppenfunktionen wohldefiniert.

Des Weiteren lässt sich auch ein Skalarprodukt (<math>H^1</math>-Skalarprodukt) definieren bei dem zusätzlich Ableitungsterme hinzukommen:

<math>\langle f, g \rangle_{H^1} = \langle f, g \rangle_{L^2} + \langle f', g' \rangle_{L^2} </math>

für alle <math>f, g \in C^1([a,b],\R)</math>. Auch hier kann die Voraussetzung der Differenzierbarkeit abgeschwächt werden (siehe Sobolev-Raum).

Frobenius-Skalarprodukt für Matrizen

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Auf dem Matrizenraum <math>\R^{m \times n}</math> der reellen <math>(m\times n)</math>-Matrizen wird für <math>A,B \in \R^{m \times n}</math> durch

<math>\langle A, B \rangle = \operatorname{spur}\left(A^\mathsf{T} B\right) = \sum_{i = 1}^m \sum_{j = 1}^n a_{ij} b_{ij}</math>

ein Skalarprodukt definiert. Entsprechend wird auf dem Raum <math>\Complex^{m \times n}</math> der komplexen <math>(m\times n)</math>-Matrizen für <math>A,B \in \Complex^{m \times n}</math> durch

<math>\langle A, B \rangle = \operatorname{spur}\left(A^\mathsf{H} B\right) = \sum_{i = 1}^m \sum_{j = 1}^n \bar a_{ij} b_{ij}</math>

ein Skalarprodukt definiert. Dieses Skalarprodukt wird Frobenius-Skalarprodukt genannt und die dazugehörige Norm heißt Frobeniusnorm.

Norm, Winkel und Orthogonalität

Der Länge eines Vektors im euklidischen Raum entspricht in allgemeinen Skalarprodukträumen die vom Skalarprodukt induzierte Norm. Man definiert diese Norm, indem man die Formel für die Länge aus dem euklidischen Raum überträgt, als die Wurzel des Skalarprodukts des Vektors mit sich selbst:

<math>\| x \| = \sqrt{\langle x, x\rangle}</math>

Dies ist möglich, da <math>\langle x, x\rangle</math> aufgrund der positiven Definitheit nicht negativ ist. Die als Normaxiom geforderte Dreiecksungleichung folgt dabei aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung

<math>\left|\langle x, y \rangle\right|^2 \leq \langle x, x\rangle \cdot \langle y, y\rangle.</math>

Sind <math>x,y\neq 0,</math> so kann diese Ungleichung zu

<math>\left|\frac{\langle x, y \rangle}{\sqrt{\langle x, x\rangle} \cdot \sqrt{\langle y, y\rangle}}\right|\leq 1</math>

umgeformt werden. Daher lässt sich auch in allgemeinen reellen Vektorräumen mittels

<math>\varphi =\arccos\frac{\langle x, y \rangle}{\sqrt{\langle x, x\rangle} \cdot \sqrt{\langle y, y\rangle}}</math>

der Winkel <math>\varphi</math> zweier Vektoren definieren. Der so definierte Winkel liegt zwischen 0° und 180°, also zwischen 0 und <math>\pi.</math> Für Winkel zwischen komplexen Vektoren gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Auch im allgemeinen Fall nennt man Vektoren, deren Skalarprodukt gleich Null ist, orthogonal:

<math>x \perp y \Longleftrightarrow \langle x, y \rangle = 0</math>

Matrixdarstellung

Ist <math>V</math> ein <math>n</math>-dimensionaler Vektorraum und <math>B = (b_1, \dotsc, b_n)</math> eine Basis von <math>V,</math> so kann jedes Skalarprodukt <math>\langle {\cdot}, {\cdot}\rangle</math> auf <math>V</math> durch eine (<math>n \times n</math>)-Matrix <math>G,</math> die Gramsche Matrix des Skalarprodukts, beschrieben werden. Ihre Einträge sind die Skalarprodukte der Basisvektoren:

<math>G = (g_{ij})_{i, j = 1, \dotsc, n}</math>   mit   <math>g_{ij} = \langle b_i, b_j \rangle</math>   für <math>i, j = 1, \dotsc, n</math>

Das Skalarprodukt lässt sich dann mit Hilfe der Basis darstellen: Haben die Vektoren <math>x, y \in V</math> bezüglich der Basis <math>B</math> die Darstellung

<math>x = \sum_{i = 1}^n x_i b_i</math>   und   <math>y = \sum_{j = 1}^n y_j b_j,</math>

so gilt im reellen Fall

<math>\langle x,y \rangle =

\left\langle \sum\limits_{i = 1}^n x_i b_i, \sum\limits_{j = 1}^n y_j b_j \right\rangle = \sum\limits_{i = 1}^n \sum\limits_{j = 1}^n x_i y_j \langle b_i, b_j \rangle = \sum\limits_{i,j = 1}^n x_i y_j g_{ij}.</math> Bezeichnet man mit <math>x_B, y_B \in \R^n</math> die Koordinatenvektoren

<math>x_B = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\x_n \end{pmatrix}</math>   und   <math>y_B = \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\y_n \end{pmatrix},</math>

so gilt also

<math>\langle x,y \rangle = \sum\limits_{i,j = 1}^n x_i g_{ij} y_j =

\begin{pmatrix} x_1 & \dots & x_n \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} g_{11} & \dots & g_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ g_{n1} & \dots & g_{nn} \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\y_n \end{pmatrix} = x_B{}^\mathsf{T} G y_B,</math> wobei das Matrixprodukt eine <math>(1\times 1)</math>-Matrix liefert, also eine reelle Zahl. Mit <math>x_B{}^\mathsf{T}</math> wird der Zeilenvektor bezeichnet, der durch Transponieren aus dem Spaltenvektor <math>x_B</math> entsteht.

Im komplexen Fall gilt entsprechend

<math>\langle x, y \rangle = \sum\limits_{i,j = 1}^n \overline x_i g_{ij} y_j =

\begin{pmatrix} \overline x_1 & \dots & \overline x_n \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} g_{11} & \dots & g_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ g_{n1} & \dots & g_{nn} \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\y_n \end{pmatrix} = x_B{}^\mathsf{H} G y_B,</math> wobei der Überstrich komplexe Konjugation bezeichnet und <math>x_B{}^\mathsf{H}</math> der zu <math>x_B</math> adjungierte Zeilenvektor ist.

Ist <math>B</math> eine Orthonormalbasis, das heißt, gilt <math>\langle b_i, b_i \rangle = 1</math> für alle <math>i</math> und <math>\langle b_i, b_j \rangle = 0</math> für alle <math>i \ne j,</math> so ist <math>G</math> die Einheitsmatrix, und es gilt

<math>\langle x, y \rangle = \sum_{i = 1}^n x_i y_i = x_B{}^\mathsf{T} y_B</math>

im reellen Fall und

<math>\langle x, y \rangle = \sum_{i = 1}^n \overline x_i y_i = x_B{}^\mathsf{H} y_B</math>

im komplexen Fall. Bezüglich einer Orthonormalbasis entspricht das Skalarprodukt von <math>x</math> und <math>y \in V</math> also dem Standardskalarprodukt der Koordinatenvektoren <math>x_B</math> und <math>y_B \in \R^n</math> bzw. <math>\Complex^n.</math>

{{#invoke:Vorlage:Anker|f |errCat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Anker |errHide=1}}Verallgemeinerung

Als Pseudoskalarprodukt bezeichnet man eine im Allgemeinen nicht positiv definite symmetrische Bilinearform. Ein Beispiel dafür ist der Minkowski-Vektorraum der Speziellen Relativitätstheorie, der als Tangentialraum auch in der Gravitationstheorie (Allgemeine Relativitätstheorie) auftritt.

Siehe auch

Literatur

  • {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}
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  • {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}
  • {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}
  • Tilo Arens, Rolf Busam, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel, Klaus Lichtenegger: Grundwissen Mathematikstudium. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2021, ISBN 978-3-662-63312-0, S. 232–238.

Weblinks

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Einzelnachweise

<references />

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