Invariantes Polynom

In der Mathematik ist ein invariantes Polynom ein Polynom <math>P</math> auf einem Vektorraum (siehe Symmetrische Algebra), welches unter der Wirkung einer Gruppe <math>G</math> auf dem Vektorraum <math>V</math> invariant ist, also

für alle <math>g\in G, x\in V</math> erfüllt.

Invariante Polynome in der Linearen Algebra

Sei <math>\mathbb K</math> ein Körper und <math>V=\operatorname{Mat}(n,\mathbb K)</math> der Vektorraum aller <math>n\times n</math>-Matrizen über <math>\mathbb K</math>. Die allgemeine lineare Gruppe <math>\operatorname{GL}(n,\mathbb K)</math> wirkt auf <math>V</math> durch Konjugation:

<math>gx:=gxg^{-1}</math> für <math>g\in \operatorname{GL}(n,\mathbb K), x\in \operatorname{Mat}(n,\mathbb K)</math>.

Invariante Polynome sind in diesem Fall Funktionen <math>P:\operatorname{Mat}(n,\mathbb K)\rightarrow\mathbb K</math> mit <math>P(gxg^{-1})=P(x)</math> für alle <math>g\in \operatorname{GL}(n,\mathbb K), x\in \operatorname{Mat}(n,\mathbb K)</math>.

Beispiele sind die Spur und die Determinante von Matrizen. Allgemeiner kann man (mit einer formalen Variable <math>t</math>) die Entwicklung

betrachten und erhält invariante Polynome <math>c_0,\ldots,c_n</math>. (<math>c_1</math> ist die Spur und <math>c_n</math> die Determinante. Falls <math>\mathbb K</math> algebraisch abgeschlossen ist, dann ist allgemein <math>c_k</math> das k-te elementarsymmetrische Polynom in den Eigenwerten von <math>A</math>.)

Invariante Polynome in der Theorie der Lie-Gruppen

Sei <math>G</math> eine Lie-Gruppe und <math>\mathfrak g</math> ihre Lie-Algebra. Ein Polynom auf <math>\mathfrak g</math> ist ein Polynom (mit reellen Koeffizienten) in den Basisvektoren von <math>\mathfrak g</math>, siehe Symmetrische Algebra.

Die Gruppe <math>G</math> wirkt auf sich selbst durch Konjugation: <math>c_g(h):=ghg^{-1}</math> für alle <math>h\in G</math>. Das Differential von <math>c_g</math> ist eine lineare Abbildung

<math>\operatorname{Ad}(g):=D(c_g)_e:\mathfrak g\rightarrow \mathfrak g</math>,

dies definiert die sogenannte adjungierte Darstellung der Gruppe <math>G</math> auf dem Vektorraum <math>\mathfrak g</math>.

Ein invariantes Polynom ist ein Polynom auf <math>\mathfrak g</math>, welches invariant unter der adjungierten Wirkung ist, also

<math>P(\operatorname{Ad}(g)X_1,\ldots,\operatorname{Ad}(g)X_k)=P(X_1,\ldots,X_k)</math> für alle <math>g\in G,X_1,\ldots,X_k\in\mathfrak g</math>

erfüllt. Die Algebra der invarianten Polynome wird mit <math>I^*(\mathfrak g)</math> bezeichnet.

Beispiel G=GL(n,ℝ)

In diesem Fall ist <math>\mathfrak g=\operatorname{Mat}(n,\mathbb R)</math> und <math>Ad(g)(A)=gAg^{-1}</math> für <math>g\in \operatorname{GL}(n,\mathbb R), A\in \operatorname{Mat}(n,\mathbb R)</math>. Für <math>k\in\mathbb N</math> sei <math>P_{\frac{k}{2}}</math> das homogene Polynom vom Grad <math>k</math>, dessen Wert auf <math>(A,\ldots,A)</math> man als Koeffizienten vom Grad <math>n-k</math> im Polynom

<math>\det\left(\lambda \mathbb I -\frac{1}{2\pi}A\right)=\sum_kP_{\frac{k}{2}}(A,\ldots,A)\lambda^{n-k}</math>

erhält, für alle <math>A\in \operatorname{Mat}(n,\mathbb R)</math>. (Die Werte für die <math>(A,\ldots,A)</math> legen ein Polynom bereits eindeutig fest.) Das Polynom <math>P_{\frac{k}{2}}</math> heißt das <math>\frac{k}{2}</math>-te Pontrjagin-Polynom.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den <math>P_{\frac{k}{2}}\in I^k(\mathfrak{gl}(n,\mathbb R))</math> erzeugt.

Beispiel G=O(n)

Für <math>A\in\mathfrak o(n)</math> gilt <math>A=-A^T</math>, woraus zunächst <math>\det\left(\lambda \mathbb I -\frac{1}{2\pi}A\right)=\det\left(\lambda \mathbb I +\frac{1}{2\pi}A\right)</math> und damit dann <math>P_{\frac{k}{2}}=0</math> für alle ungeraden <math>k</math> folgt.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den <math>P_k\in I^{2k}(\mathfrak o(n))</math> erzeugt.

Beispiel G=SO(n)

Falls <math>n=2m</math> gerade ist, hat man zusätzlich noch die Pfaffsche Determinante, die für <math>A=(a_{ij})</math> mit <math>a_{ij}=-a_{ji}</math> definiert ist durch

<math>Pf(A,\ldots,A)=\frac{1}{2^{2m}\pi^mm!}\sum_{\sigma\in S_{2m}} sign(\sigma)a_{\sigma(1)\sigma(2)}\ldots a_{\sigma(2m-1)\sigma(2m)}</math>.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den Pontrjagin-Polynomen <math>P_k\in I^{2k}(\mathfrak{so}(n))</math> und – falls <math>n</math> gerade ist – der (auch als Euler-Polynom bezeichneten) Pfaffschen Determinante <math>Pf\in I^{\frac{n}{2}}(\mathfrak{so}(n))</math> erzeugt.

Beispiel G=GL(n,ℂ)

Für <math>k\in\mathbb N</math> sei <math>C_{\frac{k}{2}}</math> das komplex-wertige homogene Polynom vom Grad <math>k</math>, dessen Wert auf <math>(A,\ldots,A)</math> man als Koeffizienten vom Grad <math>n-k</math> im Polynom

<math>\det\left(\lambda \mathbb I -\frac{1}{2\pi i}A\right)=\sum_kC_k(A,\ldots,A)\lambda^{n-k}</math>

erhält, für alle <math>A\in \operatorname{Mat}(n,\mathbb C)</math>. Das Polynom <math>C_k</math> heißt das <math>k</math>-te Chern-Polynom. Die Chern- und Pontrjagin-Polynome hängen über die Gleichung <math>i^kC_k(A,\ldots,A)=P_{\frac{k}{2}}(A,\ldots,A)</math> zusammen.

Die Algebra der komplex-wertigen invarianten Polynome wird von den <math>C_{k}\in I^k(\mathfrak{gl}(n,\mathbb C))</math> erzeugt.

Beispiel G=U(n)

Für <math>A\in\mathfrak u(n)</math> ist <math>A=-A^H</math> und damit <math>\det\left(\lambda \mathbb I -\frac{1}{2\pi i}A\right)=\overline{\det\left(\lambda \mathbb I -\frac{1}{2\pi i}A\right)},</math> deshalb sind die Chern-Polynome auf <math>\mathfrak u(n)</math> reell-wertig.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den <math>C_{k}\in I^k(\mathfrak u(n))</math> erzeugt.

Literatur

Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu: Foundations of differential geometry. Vol. I, II. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 15 Vol. II Interscience Publishers John Wiley & Sons, Inc., New York-London-Sydney 1969.
Johan L. Dupont: Curvature and characteristic classes. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 640. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1978. ISBN 3-540-08663-3