(LF)-Raum

(LF)-Räume sind eine in der Mathematik betrachtete Klasse von Vektorräumen. Abstrahiert man die Konstruktion gewisser Räume aus der Distributionstheorie, so wird man zwanglos auf den Begriff des (LF)-Raums geführt. Dabei handelt es sich um die Vereinigung einer aufsteigenden Folge von Fréchet-Räumen, was man auch als induktiven Limes von Fréchet-Räumen bezeichnet, woher der Name (LF)-Raum rührt.

Definition

Ein (LF)-Raum ist ein lokalkonvexer Raum <math>E</math>, für den es eine Folge <math>(E_n)_n</math> von Fréchet-Räumen gibt, so dass Folgendes gilt:

1. <math>E_n \subset E_{n+1}</math> für alle <math>n\in{\mathbb N}</math>
2. Für jedes <math>n\in{\mathbb N}</math> trägt <math>E_n</math> die durch <math>E_{n+1}</math> gegebene Teilraumtopologie.
3. <math>E</math> ist die Vereinigung aller <math>E_n</math>.
4. <math>E</math> trägt die feinste lokalkonvexe Topologie, die alle Inklusionen <math>E_n\subset E</math> stetig macht.

In dieser Situation nennt man <math>(E_n)_n</math> eine darstellende Folge von Fréchet-Räumen für <math>E</math>. Kann man sogar eine darstellende Folge aus Banachräumen finden, so nennt man den Raum einen (LB)-Raum.

Manche Autoren schwächen die zweite Bedingung auch ab und fordern nur, dass die Inklusion von <math>E_n</math> nach <math>E_{n+1}</math> stetig ist. Für solche allgemeineren (LF)-Räume sind nicht alle unten angegebenen Eigenschaften automatisch erfüllt, insbesondere gibt es dann (LF)-Räume, die nicht vollständig sind.

Beispiele

Jeder Fréchet-Raum <math>E</math> ist ein (LF)-Raum, als darstellende Folge kann man die konstante Folge <math>E_n = E</math> wählen.

Sei <math>c_{00}</math> der Folgenraum aller endlichen Folgen. Identifiziert man <math>{\mathbb K}^n</math> mit dem Raum aller Folgen, die ab der <math>(n+1)</math>-ten Stelle nur noch Nullen haben, so ist <math>({\mathbb K}^n)_n</math> eine darstellende Folge für den (LF)-Raum <math>c_{00}</math>, der sogar ein (LB)-Raum ist. Die Topologie auf <math>c_{00}</math> ist die feinste lokalkonvexe Topologie, d. h. die durch alle Halbnormen definierte Topologie.

Die folgende Konstruktion stammt aus der Distributionstheorie. Ist <math>K\subset {\mathbb R}^m</math> kompakt, so sei <math>C^{\infty}(K)</math> der Raum aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen mit Träger in <math>K</math>. Ist <math>\Omega\subset{\mathbb R}^m</math> offen, so nennt den Raum <math>{\mathcal D}(\Omega) := \bigcup\{C^{\infty}(K);\, K\subset \Omega\,\, \text{kompakt}\}</math> den Raum der Testfunktionen auf <math>\Omega</math>. <math>{\mathcal D}(\Omega)</math> trage dabei die feinste lokalkonvexe Topologie, die alle Inklusionen <math>C^{\infty}(K)\subset{\mathcal D}(\Omega)</math> stetig macht. Dann ist <math>{\mathcal D}(\Omega)</math> ein (LF)-Raum. Als darstellende Folge von Fréchet-Räumen kann man jede Folge <math>(C^{\infty}(K_n))_n</math> nehmen, wobei <math>(K_n)_n</math> eine Folge von kompakten Teilmengen in <math>\Omega</math> ist, so dass jedes <math>K_n</math> im Inneren von <math>K_{n+1}</math> liegt und <math>\Omega</math> die Vereinigung dieser <math>K_n</math> ist. Die Topologie auf <math>{\mathcal D}(\Omega)</math> ist unabhängig von der Wahl dieser Folge kompakter Mengen.

Eigenschaften

Beschränkte Mengen

Für beschränkte Mengen in einem (LF)-Raum mit darstellender Folge <math>(E_n)_n</math> gilt folgender Satz:

• Eine Menge <math>B\subset E</math> ist genau dann beschränkt, wenn es ein <math>n\in{\mathbb N}</math> gibt, so dass <math>B \subset E_n</math> und <math>B</math> in <math>E_n</math> beschränkt ist.

Stetigkeit

Die Stetigkeit von linearer Operatoren von einem (LF)-Raum <math>E</math> mit darstellender Folge <math>(E_n)_n</math> in einen anderen lokalkonvexen Raum <math>F</math> lässt sich wie folgt charakterisieren:

• Ein linearer Operator <math>T:E\rightarrow F</math> ist genau dann stetig, wenn alle Einschränkungen <math>T|_{E_n}:E_n\rightarrow F</math> stetig sind.

Vollständigkeit

Nach einem auf Gottfried Köthe zurückgehenden Satz sind alle (LF)-Räume vollständig.

Beziehungen zu anderen Räumen

(LF)-Räume sind tonneliert, ultrabornologisch und haben ein Gewebe. Damit verallgemeinern sich die drei klassischen aus der Theorie der Banachräume bekannten Sätze auf (LF)-Räume:

Satz von Banach-Steinhaus: Ist <math>(T_\alpha)_{\alpha\in I}</math> eine Familie stetiger linearer Operatoren <math>E\rightarrow F</math> zwischen lokalkonvexen Vektorräumen, wobei <math>E</math> (LF)-Raum sei, und ist <math>\{T_\alpha(x); \alpha\in I\}</math> für jedes <math>x\in E</math> beschränkt, so ist <math>(T_\alpha)_{\alpha\in I}</math> gleichstetig, d. h. zu jeder Nullumgebung <math>V\subset F</math> gibt es eine Nullumgebung <math>U\subset E</math>, so dass <math>T_\alpha(U)\subset V</math> für alle <math>\alpha\in I</math>.

Satz über die offene Abbildung: Eine lineare, stetige und surjektive Abbildung <math>T:E\rightarrow F</math> zwischen (LF)-Räumen ist offen.

Satz vom abgeschlossenen Graphen: Eine lineare Abbildung <math>T:E\rightarrow F</math> zwischen (LF)-Räumen mit abgeschlossenem Graphen ist stetig.

Anwendung

In der Distributionstheorie definiert man eine Distribution auf einer offenen Menge <math>\Omega\subset{\mathbb R}^m</math> als lineare Abbildung <math>T:{\mathcal D}(\Omega)\rightarrow {\mathbb R}</math>, so dass folgende Stetigkeitsbedingung gilt: Ist <math>K\subset \Omega</math> kompakt und ist <math>(f_n)_n</math> eine Folge in <math>{\mathcal D}(\Omega)</math>, so dass jedes <math>f_n</math> Träger in <math>K</math> hat und so dass <math>f_n\to 0</math> gleichmäßig in allen Ableitungen, so ist <math>T(f_n)\to 0</math>.

Bei dieser Definition ist zunächst nicht klar, ob es sich bei der Stetigkeitsbedingung überhaupt um Stetigkeit bzgl. einer Topologie handelt. Es genügt in der Tat, Folgenstetigkeit zu betrachten, denn <math>{\mathcal D}(\Omega)</math> ist als (LF)-Raum bornologisch. Dann bedeutet die angegebene Bedingung nichts anderes, als dass alle Einschränkungen von <math>T</math> auf <math>C^{\infty}(K)</math>, <math>K\subset \Omega</math> kompakt, stetig sind. Nach der oben genannten Eigenschaft zur Stetigkeit linearer Operatoren auf (LF)-Räumen folgt tatsächlich die Stetigkeit bzgl. der (LF)-Raum-Topologie auf <math>{\mathcal D}(\Omega)</math>.

Mit den hier vorgestellten Begriffsbildungen kann man eine Distribution als stetiges lineares Funktional auf dem (LF)-Raum <math>{\mathcal D}(\Omega)</math> definieren.

Quellen

• K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematics 56, 1968
• F. Treves: Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Dover 2006, ISBN 0-486-45352-9