Lagrange-Dichte
Die Lagrange-Dichte <math>\mathcal{L}</math> (nach dem Mathematiker Joseph-Louis Lagrange) spielt in der theoretischen Physik eine Rolle bei der Betrachtung von Feldern. Sie beschreibt die Dichte der Lagrange-Funktion <math>L</math> in einem Volumenelement. Daher ist die Lagrange-Funktion definiert als das Integral der Lagrange-Dichte über dem betrachteten Volumen:
- <math>L=\int \mathrm d^3 r \mathcal{L}=\iiint \mathrm dx \, \mathrm dy \, \mathrm dz \, \mathcal{L} \left(\phi, \frac{\partial \phi}{\partial t}, \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z}, t \right)</math>
mit dem betrachteten Feld <math>\phi(x,y,z,t)</math>.
Der eigentliche Zweck der Lagrange-Dichte ist die Beschreibung von Feldern durch Bewegungsgleichungen. So, wie man die Lagrange-Gleichungen zweiter Art aus dem Hamiltonschen Prinzip erhält, kann man die Lagrange-Gleichungen für Felder aus dem Hamiltonschen Prinzip für Felder erhalten (Herleitung). Entsprechend lautet die Bewegungsgleichung:
- <math>\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi_i} - \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \phi_i}{\partial t}} - \sum_{j=1}^3
\frac{\partial}{\partial x_j} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \phi_i}{\partial x_j}} = \frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi_i} - \partial_\mu \frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu \phi_i)} = 0</math>.
Beispiel
Für eine in einer Dimension schwingende Saite ergibt sich für die Lagrange-Dichte
- <math>\mathcal{L} = \frac{1}{2} \left[\mu \left(\frac{\partial \phi}{\partial t}\right)^2 - E \left(\frac{\partial \phi}{\partial x} \right)^2 \right]</math>
In diesem Beispiel bedeuten:
- <math>\phi=\phi(x,t)</math> die Auslenkung eines Punktes der Saite aus der Ruhelage (Feldvariable)
- <math>\mu</math> die lineare Massendichte
- <math>E</math> den Elastizitätsmodul
Mit dieser Lagrange-Dichte ergibt sich
- <math>\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} = 0</math>
- <math>\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \phi}{\partial t}} = \mu \frac{\partial \phi}{\partial t}</math>
- <math>\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \phi}{\partial x}} = - E \frac{\partial \phi}{\partial x}</math>
Damit ergibt sich für die Bewegungsgleichung der schwingenden Saite
- <math>E \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} - \mu \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = 0</math>
Anwendung in der Relativitätstheorie
Anwendung findet die Beschreibung physikalischer Vorgänge über die Lagrange-Dichte statt über die Lagrange-Funktion vor allem in relativistischen Vorgängen. Hier ist eine kovariante Darstellung der Lagrange-Funktion gewünscht, dann ist die Wirkung über
- <math>S=\int \mathrm d^4x\,\sqrt{-g}\, \mathcal{L}</math>
definiert, wobei <math>g</math> die Determinante des metrischen Tensors ist.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Damit ist die Lagrange-Funktion ein Lorentz-Pseudoskalar, also invariant unter Lorentz-Transformationen:
- <math>\mathcal{L}'(x_\mu)=\mathcal{L}(x'_\mu)=\mathcal{L}(x_\mu)</math> mit <math>x'_\mu=\Lambda_{\mu\nu}x^\nu</math>, wobei <math>\Lambda_{\mu\nu}</math> der Lorentz-Transformationstensor ist.
Literatur
- Franz Schwabl: Lagrange-Dichte. In: Ders.: Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II). Springer, Berlin 2005, ISBN 978-3-540-28865-7, S. 281ff.
Einzelnachweise
<references/>