Mellin-Transformation

Unter der Mellin-Transformation versteht man eine mit der Fourier-Transformation verwandte Integraltransformation. Sie ist benannt nach dem finnischen Mathematiker Hjalmar Mellin.

Geschichte

Im Gegensatz zur Fourier- und zur Laplace-Transformation, die zum Lösen physikalischer Probleme entwickelt wurden, wurde die Mellin-Transformation in einem mathematischen Kontext entwickelt. Ein erstes Auftreten dieser Integraltransformation findet sich in einer Veröffentlichung von Bernhard Riemann, der sie zur Untersuchung seiner Zeta-Funktion einsetzte. Eine erste systematische Formulierung und Untersuchung der Mellin-Transformation und ihrer Rücktransformation geht auf den finnischen Mathematiker R. Hjalmar Mellin zurück. Im Bereich der speziellen Funktionen entwickelte er Methoden, um hypergeometrische Differentialgleichungen zu lösen und asymptotische Entwicklungen herzuleiten.<ref name="poularikas9.4">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Definition

Die Mellin-Transformierte einer auf der positiven reellen Achse definierten Funktion <math>f \colon \R_+ \to \R</math> ist definiert als die Funktion

<math>M_f(s) := \int \limits_{0}^\infty f(t)t^{s-1}\mathrm{d}t</math>

für komplexe Zahlen <math>s</math>, sofern dieses Integral konvergiert. In der Literatur findet man die Transformierte auch mit einem Normierungsfaktor <math>\tfrac{1}{\Gamma(s)}</math>, also

<math> \frac{1}{\Gamma(s)} \int \limits_0^\infty f(t)t^{s-1}\mathrm{d}t. </math>

Dabei ist <math>\Gamma</math> die Gamma-Funktion.

Rücktransformation

Unter den folgenden Bedingungen ist die Rücktransformation

<math> f(x) = \frac{1}{2\pi \mathrm{i}} \int \limits_{c-\mathrm{i}\infty}^{c+\mathrm{i}\infty} M_f(s)x^{-s} \mathrm{d}s </math>

von <math> M_f(s) </math> zu <math> f(x) </math> für jedes reelle <math> c </math> mit <math> b > c > a > 0 </math> möglich. Hierbei seien <math> a </math> und <math> b </math> zwei positive reelle Zahlen.

das Integral <math> M_f(s) = \int_0^\infty f(x)x^{s-1} \mathrm{d}x </math> ist in dem Streifen <math> S = \{ s \in \mathbb{C} \ | \ a < \Re(s) < b\} </math> absolut konvergent
<math>M_f(s)</math> ist in dem Streifen <math> S = \{ s \in \mathbb{C} \ | \ a < \Re(s) < b\} </math> analytisch
der Ausdruck <math> M_f(c \pm \mathrm{i}t) </math> strebt für <math> t \to \infty </math> und jedem beliebigen Wert <math> c </math> zwischen <math> a </math> und <math>b </math> gleichmäßig gegen 0
die Funktion <math> f(x) </math> ist auf der positiven reellen Achse stückweise stetig, wobei im Falle unstetiger Sprungstellen jeweils der Mittelwert der beidseitigen Grenzwerte genommen werden soll (Treppenfunktion)

Beziehung zur Fourier-Transformation

Die Mellin-Transformation ist eng verwandt mit der Fourier-Transformation. Substituiert man nämlich im obigen Integral <math>t = e^x</math>, setzt man <math>F(x) = f(e^x)</math> und bezeichnet man die inverse Fourier-Transformierte der Funktion <math>F</math> mit <math>\widehat F</math>, so ist für reelle <math>s</math>

<math>M_f(\mathrm{i}s) = \sqrt{2\pi}\widehat F(s)</math>.

Beispiel zur Dirichletreihe

Mittels der Mellin-Transformation lassen sich eine Dirichletreihe <math>f</math> und eine Potenzreihe <math>F</math> zueinander in Beziehung setzen. Es seien

<math>f(s) = \sum_{n=1}^\infty a_nn^{-s}</math> und <math>F(z) = \sum_{n=1}^\infty a_nz^n </math>

mit den gleichen <math>a_n</math>. Dann gilt

<math>f(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int \limits_0^\infty F(e^{-t})t^{s-1}\mathrm{d}t</math>.

Setzt man hierin zum Beispiel alle <math>a_n=1</math>, so ist <math>f</math> die Riemannsche Zetafunktion, und man erhält

<math>\zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int \limits_0^\infty \frac{t^{s-1}}{e^t-1}\mathrm{d}t</math>

für <math>\operatorname{Re}(s)>1</math>.

Literatur

M. Koecher, A. Krieg, Elliptische Funktionen und Modulformen, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1998, ISBN 3-540-63744-3.
E. C. Titchmarsh, Introduction to the Theory of Fourier Integrals, Chelsea Publishing Company, 3. Auflage 1986, ISBN 978-0-8284-0324-5.
D. Zagier, Zetafunktionen und quadratische Körper, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1981, ISBN 3-540-10603-0.

Weblinks

{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Mellin Transform. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}

Einzelnachweise