Monge-Ampèresche Gleichung

Eine Monge-Ampère’sche Gleichung, oder Monge-Ampère’sche Differentialgleichung, ist eine spezielle nichtlineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung in <math>n</math> Variablen.

Sie wurde von Gaspard Monge Anfang des 19. Jahrhunderts eingeführt, um ein Massentransportproblem („problème du remblai-déblai“, etwa: „Problem von Erdaufschüttung und -aushub“) für militärische Zwecke zu lösen. Trotz ihrer recht einfachen Form ist sie im Allgemeinen schwierig zu lösen. Die Gleichung ist zusätzlich nach André-Marie Ampère benannt, der sich mit ihr um 1820 befasste.

Mathematische Formulierung

Allgemein hat eine Monge-Ampère’sche Gleichung über einem offenen Gebiet <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> die Form

wobei <math>u\colon \Omega \to \mathbb{R} </math>, mit <math>u = u(x_1, \ldots, x_n)</math> die unbekannte Funktion ist, <math>f\colon \Omega \times \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}</math> eine gegebene Funktion <math>f = f(x_1, \ldots, x_n, u, u_{x_1}, \ldots u_{x_n})</math>, und

<math>

 D^2 u = \begin{pmatrix}
   u_{x_1x_1} & \cdots & u_{x_1 x_{n}} \\
    \vdots   &   \ddots & \vdots \\
   u_{x_n x_1} & \cdots & u_{x_n x_n}
 \end{pmatrix}
 \qquad
 \mbox{mit } u_{x_i x_j} = \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j}.

</math>

die Hesse-Matrix von <math>u</math>. Speziell für den zweidimensionalen Fall <math>n=2</math> ergibt sich die einfache Gestalt

mit <math>(x,y) \in \Omega \subset \mathbb{R}^2</math> und den Funktionen <math>u(x,y)</math> und <math>f(x,y,u,u_x,u_y)</math>. Oft wird für den Fall n=2 aber auch die folgende Darstellung als allgemeine Monge-Ampère’sche Gleichung bezeichnet:

<math>

  Ar + 2Bs + Ct + (rt - s^2) = E,
  \qquad \mbox{mit } r=u_{xx},\ s=u_{xy},\ t=u_{yy},\ p=u_x,\ q=u_y,
  </math>

wobei <math>A, B, C</math> und <math>E</math> Funktionen von (<math>x, y, u, p, q</math>) sind. Man erkennt gleich, dass sich mit <math>A=B=C=0</math> und <math>E=f</math> die obige einfachere Gestalt ergibt.

Konkretes Beispiel

Sei <math>n=2</math> und <math>f(x,y) = 4 (1-y^2) (1-x^2) - 16 x^2y^2</math>. Dann ist <math>u(x,y) = (1-x^2)(1-y^2)</math> eine Lösung der Monge-Ampère’schen Differentialgleichung, denn <math>

 u_{xx} = -2(1-y^2),

</math> <math>

 u_{yy} = -2(1-x^2),

</math> <math>

 u_{xy} = u_{yx} = -4xy,

</math> und daher <math>

\det\, D^2 u = \det \begin{pmatrix} -2(1-y^2) & -4xy \\ -4xy & -2(1-x^2) \end{pmatrix}

= f(x,y). </math>

Klassifizierung als partielle Differentialgleichung

Eine Monge-Ampère’sche Gleichung ist eine voll nichtlineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung in <math>n</math> Variablen. Erläuterungen:

„partielle Differentialgleichung“, denn es wird eine von mehreren Variablen abhängende Funktion <math>u</math> gesucht, deren partielle Ableitungen der gegebenen Gleichung gehorchen müssen.

„voll nichtlinear“, da alle Terme mit zweiten (also den höchsten) Ableitungen von <math>u</math> quadratisch auftauchen.

Eine wichtige Klasse sind die elliptischen Monge-Ampère’schen Gleichungen, die für <math>n=2</math> die Bedingungen <math>AC - B^2 + E > 0</math> und <math>t+A>0</math> erfüllen, bzw. in der einfacheren Form einfach <math>f>0</math>.

Anwendungen

Die meisten Anwendungen der Monge-Ampère’schen Gleichung sind innermathematischer Art insbesondere in der Differentialgeometrie. Beim Minkowski-Problem beispielsweise wird eine strikt konvexe Hyperfläche mit vorgegebener Gaußkrümmung gesucht, was auf eine Monge-Ampère’sche Gleichung führt. Das Problem wurde 1953 von Nirenberg gelöst.

Eine unerwartete Anwendung im Bereich der String-Theorie ergab sich durch ein 1978 veröffentlichtes Resultat von Yau, der eine Vermutung von Calabi über die Krümmung bestimmter Kähler-Mannigfaltigkeiten mit Hilfe der Lösung einer komplexen Monge-Ampère’schen Gleichung bewies (Satz von Yau). Man spricht heute entsprechend von Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten.

Bedeutende Beiträge zu Monge-Ampère’schen Gleichungen im Verlaufe des 20. Jahrhunderts kamen von Hermann Weyl, Franz Rellich, Erhard Heinz, Louis Nirenberg, Shing-Tung Yau, Luis Caffarelli, Alexei Wassiljewitsch Pogorelow, Thierry Aubin, Sébastien Boucksom, Alessio Figalli und Guido de Philippis.

Weblinks

<templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />Plots von Lösungen Monge-Ampèrescher Gleichungen (Memento vom 5. Februar 2005 im Internet Archive)
Eintrag in MathWorld (engl.)
Pogorelov Monge-Ampère equation, Encyclopedia of Mathematics, Springer