Monogenes Signal
Das monogene Signal ist eine Verallgemeinerung des analytischen Signals auf mehr als eine Dimension auf Basis der Riesz-Transformation. Das monogene Signal findet Anwendung in der Bildverarbeitung. Mit ihm können Bilder in lokale Amplitude und lokale Phase zerlegt werden.
Definitionen
Monogenes Signal
Es sei d eine natürliche Zahl und <math>f \in L^2(\mathbb{R}^d)</math> eine Funktion. Dann ist das monogene Signal <math> f_M </math> definiert durch
- <math>
f_M := (f, R_1 f, \ldots, R_d f),
</math> wobei <math> R_j, j = 1,\ldots, d </math> die j-te Komponente der Riesz-Transformation bezeichnet.
Riesz-Transformation
Es sei d eine natürliche Zahl. Die j-te Komponente, <math>j = 1,\ldots, d,</math> der Riesz-Transformation <math>R_j</math> ist definiert durch
- <math>
R_j f(x) := c_d \lim_{\epsilon \to 0} \int_{0 < \epsilon \leq \left| y \right| } \frac{y_j}{\left| y \right| ^{d+1}} f(x-y) \,\mathrm dy
</math> mit
- <math>
c_d = \frac{\Gamma\left(\frac{d+1}{2}\right)}{\pi^{(d+1)/2}},
</math> wobei <math>\Gamma</math> die Gammafunktion bezeichnet.
Die Riesz-Transformation ist definiert als d-dimensionaler Vektor der j-Komponenten <math>R_j</math>
- <math>
R f(x) := (R_1 f(x), \ldots, R_d f(x)).
</math>
Zusammenhang mit dem analytischen Signal und der Hilberttransformation
Für <math>d = 1</math> ist die Riesz-Transformation die Hilbert-Transformation <math>\mathcal H</math> und das monogene Signal entspricht in diesem Fall dem analytischen Signal, wenn man den Vektor des monogenen Signals als komplexe Zahl auffasst, d. h.
- <math>\left(f(x), R_1 f(x)\right) = f(x) + i R_1 f(x) = f(x) + i \mathcal{H} f(x)</math>
Zerlegung in Phase und Amplitude
Das monogene Signal erlaubt eine Zerlegung eines mehrdimensionalen Signals in lokale Amplitude und lokale Phase. Die lokale Amplitude <math>A</math> ist in diesem Falle definiert durch
- <math>A(x) = \sqrt{f^2(x) + (R_1 f(x))^2 + \ldots + (R_d f(x))^2},</math>
der lokale Phasenwinkel <math> \alpha </math> durch
- <math>\alpha(x) = \left| \operatorname{atan2}(\sqrt{(R_1 f(x))^2 + \ldots + (R_d f(x))^2}, f) \right|, </math>
die lokale Phasenrichtung <math>u</math> durch
- <math>u(x) = \frac{(R_1 f(x), \ldots,R_d f(x))}{\sqrt{(R_1 f(x))^2 + \ldots + (R_d f(x))^2}} </math>
und die lokale Phase <math>\phi</math> durch
- <math>\phi(x) = \alpha(x)u(x) = \left| \operatorname{atan2}(\sqrt{(R_1 f(x))^2 + \ldots + (R_d f(x))^2}, f) \right|\frac{(R_1 f(x), \ldots,R_d f(x))}{\sqrt{(R_1 f(x))^2 + \ldots + (R_d f(x))^2}}.</math>
Anwendung in der Bildanalyse
Fasst man die Funktion <math>f</math> als zwei- oder dreidimensionales Bild auf, hat das monogene Signal folgende mögliche Anwendungen:
- Die lokale Phase kann als eine Art optischer Fluss eines Bildes aufgefasst werden. Dabei gibt die lokale Phasenrichtung eine Flussrichtung an, der lokale Phasenwinkel eine Flussstärke.
- Unter Verwendung einer Multiskalenanalyse kann das monogene Signal dazu verwendet werden, Strukturen aus Bildern unabhängig von Helligkeit und Beleuchtungsstärke zu extrahieren.
Literatur
- M. Felsberg, G. Sommer: The monogenic signal. In: IEEE Transactions on Signal Processing. Band 49, Nr. 12, 2001, S. 3136–3144.
- S. Held, M. Storath, P. Massopust, B. Forster: Steerable Wavelet Frames Based on the Riesz Transform. In: IEEE Transactions on Image Processing. Band 19, Nr. 3, 2010, S. 653–667.
Software
Die folgenden Softwarepakete implementieren das monogene Signal auf Multiskalenbasis
- Monogenic Wavelet Toolbox for ImageJ, Technische Universität München
- MonogenicJ: A ImageJ plugin for wavelet-based monogenic analysis of images EPF Lausanne