Schlichtes Gebiet
Ein schlichtes Gebiet, Normalbereich oder Normalgebiet ist ein mathematisches Objekt aus der Analysis. Es handelt sich um ein für die Integralrechnung einfach zu handhabendes Gebiet.
Definition
Seien <math>g,h \in C([a,b])</math> stetige Funktionen mit <math>g \le h</math>. Dann heißt
- <math>G=\lbrace(x,y) \in \mathbb{R}^2\; | \; a \le x \le b,\; g(x) \le y \le h(x)\rbrace</math>
(mit reellen Zahlen <math>a < b</math>) ein Normalbereich bezüglich der <math>x</math>-Achse. Analog gilt das im <math>\mathbb{R}^n</math>, indem jeweils jede Koordinate einmal in festen Grenzen betrachtet wird und alle anderen Koordinatengrenzen als Graph stetiger Funktionen.
Motivation
Das Integrieren einer stetigen Funktion <math>f\colon G \to \R</math> über einem Normalgebiet <math>G</math> lässt sich mit dem Satz von Fubini auf die Berechnung eindimensionaler Integrale zurückführen:
- <math>\int_G f(x,y) \,\mathrm d(x,y) = \int_a^b \left(\int_{g(x)}^{h(x)} f(x,y) \,\mathrm dy\right) \mathrm dx</math>
Fläche
Für gewöhnlich ist eine der ersten Anwendungen der Integralrechnung in der Schule die Berechnung der Fläche eines schlichten Gebietes. Die Fläche des Gebietes <math>G=\lbrace(x,y) \in \mathbb{R}^2\; | \; a <x< b,\; g(x) <y < h(x)\rbrace</math> errechnet sich durch folgendes Integral:
- <math>\int_a^b (h(x)-g(x)) \,\mathrm dx</math>.
Kompliziertere Gebiete setzt man anschließend oft aus schlichten Gebieten zusammen.
Literatur
- Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis Teil 2, Teubner, Stuttgart, 1992, ISBN 3-519-12232-4