Polytrope Zustandsänderung
In der Thermodynamik wird eine Zustandsänderung eines Systems, in der für Druck <math>p</math> und spezifisches Volumen <math>v</math> die Gleichung <math>pv^{n}=\mathrm{const}</math> gilt, als polytrop bezeichnet. Der Exponent <math>n</math> wird Polytropenexponent genannt. Bei technischen Vorgängen kann der Polytropenexponent als konstant angesehen werden.<ref name='bosniakovic'>Fran Bosniakovic, "Technische Thermodynamik", 7. Auflage, Steinkopf-Verlag Darmstadt; Kapitel 4.5 "Polytrope Zustandsänderung"</ref> Eine Polytrope nimmt im p-v-Diagramm die Form einer Potenzfunktion mit negativer Steigung an.
Sonderfälle der polytropen Zustandsänderung sind:
- <math>n=0</math> : isobar
- <math>n=1</math> : isotherm
- <math>n=\infty</math> : isochor
- <math> n= \kappa = \frac{c_\mathrm{p}}{c_\mathrm{v}}</math> : isentrop oder auch adiabat-reversibel
Die einem Gas während dieser Zustandsänderung zugeführte Wärme ist gegeben durch:<ref>Peter Stephan u. a.: Thermodynamik. Grundlagen und technische Anwendungen, Bd. 1: Einstoffsysteme. 18. Aufl. Springer, Berlin 2013, S. 115, ISBN 3-642-30097-9.</ref>
- <math>Q_{12}=m \ c_\mathrm v \frac{n - \kappa}{n - 1} \ (T_2 - T_1)</math>
Dabei bezeichnet <math>m</math> die Masse, <math>T_1</math> und <math>T_2</math> Anfangs- und Endtemperatur des Prozesses. Die Polytropie zeichnet sich durch eine feste Wärmekapazität aus, welche sich aus <math>c_\mathrm p</math>, <math>c_\mathrm v</math> und <math>n</math> ergibt.
Man spricht auch von polytroper Zustandsgleichung:
- <math>p=K \cdot \rho^{n}</math>
mit dem Druck <math>p</math>, der Dichte <math>\rho</math>, der Polytropenkonstante <math>K</math> und dem Polytropenexponenten <math>n</math>. (Gelegentlich wird auch der Polytropenindex <math>m</math> durch <math> n = 1 + \frac{1}{m}</math> eingeführt.<ref>Polytrop. In: Lexikon der Astronomie. (spektrum.de).</ref>). Sie findet zum Beispiel Anwendung in der Astrophysik (Lane-Emden-Gleichung).
Ideale Gase
Für ideale Gase gelten außerdem folgende Beziehungen:
- <math> \frac {T_2} {T_1} = \left( \frac {p_2} {p_1} \right) ^ \frac {n-1} {n} = \left( \frac {V_1} {V_2} \right) ^ {n-1} </math> bzw.
- <math> \frac {p_2} {p_1} = \left( \frac {T_2} {T_1} \right) ^ \frac{n}{n - 1} = \left( \frac {V_1} {V_2} \right) ^ n </math>
mit
- <math>T</math>: absolute Temperatur
- <math>p</math>: Druck
- <math>V</math>: Volumen
- <math>n</math>: Polytropenexponent.
Bei der isentropen Zustandsänderung eines idealen Gases gilt <math>n=c_\mathrm{p}/c_\mathrm{v}</math> mit der isobaren Wärmekapazität <math>c_\mathrm{p}</math> und der isochoren Wärmekapazität <math>c_\mathrm{v}</math>. Bei zweiatomigen Gasen kann <math>n=1{,}403</math> (beispielsweise Luft als Gasgemisch) und bei einatomigen Gasen (Edelgasen) <math> n=1{,}66</math> angesetzt werden.
Literatur
- Andreas Heintz: Gleichgewichtsthermodynamik. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-39676-2, S. 192–195.
- Andreas Müller: Polytrop. In: Lexikon der Astronomie. 2014 (spektrum.de).
- Dieter Winklmair - Energie- und Wärmetechnik (Skript, PDF) (1,08 MB)
Einzelnachweise
<references />
Siehe auch
adiabatisch | diabatisch · isenthalp · polytrop: isobar | isochor | isotherm | isentrop