Quadratfreie Zahl
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Eine natürliche Zahl heißt quadratfrei, wenn es außer der Eins keine Quadratzahl gibt, die diese Zahl teilt. Anders formuliert tritt in der eindeutigen Primfaktorzerlegung <math>n = p_1\cdots p_k</math> einer quadratfreien Zahl keine Primzahl mehr als einmal auf.
Beispielsweise ist die Zahl 6 = 2·3 quadratfrei, während 54 = 2·32·3 nicht quadratfrei ist. Die ersten 20 quadratfreien Zahlen sind
Eigenschaften
Die Möbiusfunktion <math>\mu(n)</math> an der Stelle <math>n</math> ist genau dann ungleich 0, wenn <math>n</math> quadratfrei ist.
Aus dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen folgt sofort, dass eine endliche abelsche Gruppe mit quadratfreier Ordnung stets zyklisch ist.
Eine Zahl <math>n</math> ist genau dann quadratfrei, wenn der Restklassenring <math>\mathbb Z/n\mathbb Z</math> reduziert ist, das heißt, wenn außer der Null kein nilpotentes Element enthalten ist.
Die asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Zahl quadratfrei ist, ist <math>\tfrac{1}{\zeta(2)} = \tfrac{6}{\pi^2} \approx 61\,\%</math>, wobei <math>\zeta</math> die Riemannsche ζ-Funktion ist. Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gleichverteilt aus <math>\{1, \dots, N\}</math> gewählte natürliche Zahl quadratfrei ist, konvergiert für <math>N\rightarrow\infty</math> gegen <math>\tfrac{1}{\zeta(2)}</math>.
Allgemeine Definition
Ein von 0 verschiedenes Element <math>x</math> eines faktoriellen Rings heißt quadratfrei, wenn in seiner bis auf Reihenfolge und Multiplikation mit Einheiten des Rings eindeutigen Primfaktorisierung <math>x=\varepsilon \cdot p_1^{\alpha_1}\cdot\ldots\cdot p_k^{\alpha_k}</math> (wobei <math>\varepsilon</math> eine Einheit des Rings ist) alle von Null verschiedenen Exponenten <math>\alpha_i</math> gleich 1 sind.
Es sei <math>P(x) \in K[X]</math> und <math>P'(x)</math> die formale Ableitung, dann ist <math>P(x)</math> quadratfrei, wenn <math>\text{ggT}(P(x),P'(x)) = 1</math> ist. Somit ist für beliebiges <math>P(x)</math> das Polynom <math>P(x) / \text{ggT}(P(x),P'(x))</math> immer quadratfrei.
Literatur
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Weblinks
- {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Quadratfreie Zahl. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}