Resolvente

{{#if: erläutert die Resolvente in der Funktionalanalysis, für die Resolventen in der Logik siehe Resolution (Logik) und für Resolventen in der Algebra siehe Lagrange-Resolvente.

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In der Mathematik und der theoretischen Physik ist die Resolvente (manchmal auch Greenscher Operator genannt) die Inverse eines mit einer komplexen Zahl <math>z</math> verschobenen linearen Operators oder einer Matrix. Die Menge der Werte <math>z</math>, für die diese Inverse wohldefiniert ist, ist die Resolventenmenge des Operators; das Komplement dieser Menge ist sein Spektrum. Anwendungen betreffen alle Aspekte der Operatortheorie in der Funktionalanalysis, insbesondere die Störungsrechnung.

Definition

Für einen linearen Operator <math>A</math> (oder auch eine Matrix <math>A\in\mathbb{C}^{n\times n}</math>) definiert man die Resolventenmenge <math>\rho(A)</math> als das Komplement des Spektrums von <math>A</math>, d. h. als die Menge aller komplexen Zahlen <math>z</math>, für die der Operator <math>zI-A</math> beschränkt invertierbar ist. Die Resolventenmenge ist als Komplement des Spektrums offen. Auf der Resolventenmenge definiert man die Resolvente durch

<math>R\left(A,z\right)=(zI-A)^{-1}\ .</math>

Viele Autoren verwenden als Definition der Resolvente <math>R\left(A,z\right)=(A-zI)^{-1}</math>, was lediglich das Vorzeichen invertiert.

Eigenschaften und Anwendungen

Die Resolvente ist eine operatorwertige analytische Funktion und kann auf <math>\{z \in \mathbb{C}:|z| > r\}</math>, wobei <math>r</math> der Spektralradius ist, durch die Neumannsche Reihe dargestellt werden:

<math>R\left(A,z\right) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{A^n}{z^{n+1}}</math>.

Die Resolvente wird u. a. verwendet, um Eigenwertentwicklungen von gestörten Operatoren zu beschreiben, zum Beispiel die Entwicklungen von Rellich-Kato und Strutt-Schrödinger.

Resolventenidentitäten

Hilfreich bei Berechnungen sind die erste und zweite Resolventenidentität. Aus <math>\left(z_1-z_2\right)I=z_1I-A-(z_2I-A)</math> folgt mittels Inversion die erste Resolventenidentität

<math>R\left(A,z_2\right)-R(A,z_1)=(z_1-z_2)R(A,z_1)R(A,z_2)

                         =(z_1-z_2)R(A,z_2)R(A,z_1),</math>

und aus <math>A_1-A_2=zI-A_2-\left(zI-A_1\right)</math> folgt mittels Inversion die zweite Resolventenidentität

<math>R\left(A_1,z\right)-R(A_2,z)=R(A_1,z)(A_1-A_2)R(A_2,z).</math>

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer-Verlag, Berlin, 2007, ISBN 978-3-540-72533-6.