Vielfach-Zetafunktion

In der Mathematik sind Vielfach-Zetafunktionen (engl.: multiple zeta functions) eine Verallgemeinerung der Riemannschen Zeta-Funktion, definiert durch

<math>

\zeta(s_1, \ldots, s_k) = \sum_{n_1 > n_2 > \cdots > n_k > 0} \ \frac{1}{n_1^{s_1} \cdots n_k^{s_k}} = \sum_{n_1 > n_2 > \cdots > n_k > 0} \ \prod_{i=1}^k \frac{1}{n_i^{s_i}}, </math>

Obige Reihe konvergiert wenn <math>Re(s_1) + \ldots + Re(s_i)>i</math> für alle <math>i</math>, sie kann (analog zur Riemannschen Zeta-Funktion) durch analytische Fortsetzung als meromorphe Funktion auf <math>\mathbb C^n</math> definiert werden.

Die Werte für positive, ganzzahlige <math>s_1,\ldots,s_k</math> mit <math>s_1>1</math> werden als Multiple Zeta-Werte (engl.: multiple zeta values, MZVs) bezeichnet. Man nennt <math>n=s_1+\ldots+s_k</math> das „Gewicht“ und <math>k</math> die „Länge“ des Arguments.

Die Vielfach-Zetafunktionen wurden erstmals in der Korrespondenz zwischen Leonhard Euler und Christian Goldbach definiert. Euler bewies die Reduktionsformel für <math>1<s\in\mathbb Z</math>:

<math>\zeta(s,1) = \frac{1}{2}s\zeta(s+1)+\frac{1}{2}\sum_{k=2}^{s-1}\zeta(k)\zeta(s+1-k)</math>.

Zum Beispiel ist <math>\zeta(2,1)=\zeta(3)</math>.

Allgemein kann man, wenn <math>m+n</math> ungerade ist, die Zweifach-Zetafunktion <math>\zeta(m,n)</math> als rationale Linearkombination von <math>\zeta(m+n)</math> und <math>\zeta(k)\zeta(m+n-k)</math> mit <math>k\in\mathbb N</math> darstellen.

Eine Vermutung von Alexander Goncharov besagte, dass die Perioden von über <math>\mathbb Z</math> unverzweigten gemischten Tate-Motiven sich als <math>\mathbb Q\left[\frac{1}{2\pi i}\right]</math>-Linearkombinationen von Werten der Vielfachzetafunktion darstellen lassen.<ref>Goncharov: Multiple polylogarithms and mixed Tate motives</ref> Für den Spezialfall des durch den Modulraum <math>{\mathcal{M}}_{0,n}</math> von Kurven des Geschlechts 0 mit <math>n</math> markierten Punkten und die relative Kohomologie <math>H^l(\overline{\mathcal{M}}_{0,n}-A,B-B\cap A)</math> definierten Tate-Motivs wurde dies zunächst von Francis Brown 2007 in seiner Dissertation bewiesen.<ref>Brown: Multiple zeta values and periods of moduli spaces, Annales Scientifiques de l´ENS, Band 42, 2009, S. 371–489, Abstract</ref> Die allgemeine Form von Goncharovs Vermutung bewies Brown dann in einer 2012 in Annals of Mathematics veröffentlichten Arbeit.<ref>Brown: Mixed Tate motives over Z</ref>

Literatur

Weblinks

Deligne: "Le groupe fondamental de la droite projective moins trois points" (PDF; 4,2 MB) erklärt den Zusammenhang zwischen gemischten Tate-Motiven und Vielfach-Zetafunktionen.