Wesentlich surjektiver Funktor

Ein wesentlich surjektiver Funktor ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie.

Definition

Ein Funktor <math>F\colon\mathcal{C} \to \mathcal{D}</math> zwischen zwei Kategorien <math>\mathcal{C}</math> und <math>\mathcal{D}</math> heißt wesentlich surjektiv (oder dicht), falls zu jedem Objekt <math>D</math> in <math>\mathcal{D}</math> ein Objekt <math>C</math> in <math>\mathcal{C}</math> existiert, so dass <math>F(C)</math> isomorph ist zu <math>D</math>.<ref>Gerd Laures, Markus Szymik: Grundkurs Topologie, Spektrum Akademischer Verlag 2009, ISBN 978-3-8274-2040-4, Seite 130.</ref>

Beispiele

Jede Äquivalenz von Kategorien liefert einen wesentlich surjektiven Funktor, denn ein Funktor ist genau dann eine Äquivalenz, wenn er volltreu und wesentlich surjektiv ist.<ref>Gerd Laures, Markus Szymik: Grundkurs Topologie, Spektrum Akademischer Verlag 2009, ISBN 978-3-8274-2040-4, Satz 7.5, Seite 130.</ref>
Umgekehrt lässt sich die wesentliche Surjektivität auch durch Äquivalenz charakterisieren: Ein Funktor <math>F\colon \mathcal{C} \to \mathcal{D}</math> ist genau dann wesentlich surjektiv, wenn die vom Bild der Objekte in <math>\mathcal{C}</math> erzeugte volle Unterkategorie von <math>\mathcal{D}</math> äquivalent zu<math>\mathcal{D}</math> ist.
Ist <math>K</math> ein Körper, <math>\mathcal{C}</math> die Kategorie der Vektorräume <math>K^n</math> (im Sinne der <math>n</math>-fachen direkten Summe), <math>n</math> Kardinalzahl, und <math>\mathcal{D}</math> die Kategorie aller <math>K</math>-Vektorräume, so ist die Einbettung <math>\mathcal{C} \to \mathcal{D}</math> wesentlich surjektiv, denn nach Ergebnissen der linearen Algebra ist jeder <math>K</math>-Vektorraum isomorph zu einem <math>K^n</math>.
Ist <math>K</math> der Körper der reellen oder der komplexen Zahlen, <math>\mathcal{D}</math> die Kategorie der Hilberträume über <math>K</math> mit den isometrischen Isomorphismen und <math>\mathcal{C}</math> die Kategorie der Mengen mit den bijektiven Abbildungen, so ist nach dem Satz von Fischer-Riesz der Funktor <math>\ell^2\colon \mathcal{C} \to \mathcal D</math> wesentlich surjektiv.

Einzelnachweise