Quelltext der Seite Abundante Zahl

Eine [[natürliche Zahl]] heißt '''abundant''' ([[Latein|lat.]] ''{{lang|la|abundans}}'' „überladen“), wenn ihre echte [[Teilersumme]] (die [[Summe]] aller Teiler ohne die Zahl selbst) größer ist als die Zahl selbst. Ist die Teilersumme dagegen gleich der Zahl, spricht man von einer [[Vollkommene Zahl|vollkommenen Zahl]], ist sie kleiner, so spricht man von einer [[Defiziente Zahl|defizienten Zahl]].

Eine Zahl ''n'' heißt '''leicht abundant''' oder man nennt sie '''[[quasiperfekte Zahl]]''', wenn die Summe ihrer echten Teiler gleich ''n''+1 ergibt. Die Frage, ob es eine leicht abundante Zahl gibt, ist bislang ungeklärt. Sie müsste eine ungerade [[Quadratzahl]] sein, welche größer als <math>10^{35}</math> ist und mindestens sieben verschiedene Primfaktoren hat.<ref>{{Literatur |Autor=Peter Hagis Jr., Graeme L. Cohen |Titel=Some results concerning quasiperfect numbers |Sammelwerk=[[Australian Mathematical Society|Journal of the Australian Mathematical Society]] |Band=33 |Nummer=2 |Datum=1982 |Seiten=275–286}}</ref>

Eine abundante Zahl, welche keine [[Vollkommene Zahl#Verwandtschaft mit anderen Zahlenklassen|pseudovollkommene Zahl]] ist (sich also nicht als Summe ''einiger'' verschiedener echter Teiler darstellen lässt), nennt man '''[[merkwürdige Zahl]]'''.

Die Differenz der echten Teilersumme und der Zahl selber nennt man '''Abundanz'''.

== Beispiele ==
Die Zahl <math>20</math> ist abundant, denn <math>1+2+4+5+10=22 > 20</math>. Sie hat eine Abundanz von <math>22-20=2</math>.

Die ersten abundanten Zahlen bis 100 lauten:
{| class="toptextcells"
|-
|
{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe6"
! Zahl
! echte Teilersumme
! Abundanz
|-
|<math>12</math>||<math>1+2+3+4+6=16</math>||<math>4</math>
|-
|<math>18</math>||<math>1+2+3+6+9=21</math>||<math>3</math>
|-
|<math>20</math>||<math>1+2+4+5+10=22</math>||<math>2</math>
|-
|<math>24</math>||<math>1+2+3+4+6+8+12=36</math>||<math>12</math>
|-
|<math>30</math>||<math>1+2+3+5+6+10+15=42</math>||<math>12</math>
|-
|<math>36</math>||<math>1+2+3+4+6+9+12+18=55</math>||<math>19</math>
|-
|<math>40</math>||<math>1+2+4+5+8+10+20=50</math>||<math>10</math>
|-
|<math>42</math>||<math>1+2+3+6+7+14+21=54</math>||<math>12</math>
|-
|<math>48</math>||<math>1+2+3+4+6+8+12+16+24=76</math>||<math>28</math>
|-
|<math>54</math>||<math>1+2+3+6+9+18+27=66</math>||<math>12</math>
|-
|<math>56</math>||<math>1+2+4+7+8+14+28=64</math>||<math>8</math>
|}
|
{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe6"
! Zahl
! echte Teilersumme
! Abundanz
|-
|<math>60</math>||<math>1+2+3+4+5+6+10+12+15+20+30=108</math>||<math>48</math>
|-
|<math>66</math>||<math>1+2+3+6+11+22+33=78</math>||<math>12</math>
|-
|<math>70</math>||<math>1+2+5+7+10+14+35=74</math>||<math>4</math>
|-
|<math>72</math>||<math>1+2+3+4+6+8+9+12+18+24+36=123</math>||<math>51</math>
|-
|<math>78</math>||<math>1+2+3+6+13+26+39=90</math>||<math>12</math>
|-
|<math>80</math>||<math>1+2+4+5+8+10+16+20+40=106</math>||<math>26</math>
|-
|<math>84</math>||<math>1+2+3+4+6+7+12+14+21+28+42=140</math>||<math>56</math>
|-
|<math>88</math>||<math>1+2+4+8+11+22+44=92</math>||<math>4</math>
|-
|<math>90</math>||<math>1+2+3+5+6+9+10+15+18+30+45=144</math>||<math>54</math>
|-
|<math>96</math>||<math>1+2+3+4+6+8+12+16+24+32+48=156</math>||<math>60</math>
|-
|<math>100</math>||<math>1+2+4+5+10+20+25+50=117</math>||<math>17</math>
|}
|}

Die ersten abundanten Zahlen lauten:
: [[Zwölf#Mathematik|12]], [[Achtzehn#Mathematik|18]], [[Zwanzig#Mathematik|20]], [[Vierundzwanzig#Mathematik|24]], [[Dreißig#Mathematik|30]], [[Sechsunddreißig#Mathematik|36]], [[Vierzig#Mathematik|40]], [[Zweiundvierzig#Mathematik|42]], 48, 54, 56, [[Sechzig#Mathematik|60]], [[Sechsundsechzig (Zahl)#Mathematik|66]], 70, [[Zweiundsiebzig#Mathematik|72]], 78, 80, 84, [[Achtundachtzig#Mathematik|88]], 90, 96, [[Hundert#Mathematik|100]], 102, 104, 108, 112, 114, 120, 126, 132, 138, … {{OEIS|A005101}}

Die ersten ungeraden abundanten Zahlen sind
: 945, 1575, 2205, 2835, 3465, 4095, 4725, 5355, 5775, 5985, 6435, 6615, 6825, 7245, 7425, 7875, 8085, 8415, 8505, 8925, 9135, … ({{OEIS|A005231}})

Die kleinste abundante Zahl ist '''[[Zwölf|12]]''' (echte Teilersumme <math>1+2+3+4+6 = 16 > 12</math>).

Die kleinste abundante Zahl, die nicht durch <math>3</math> teilbar ist, ist '''20''' (echte Teilersumme <math>1+2+4+5+10 = 22 > 20</math>).

Die kleinste ungerade abundante Zahl ist '''945''' (echte Teilersumme <math>1+3+5+7+9+15+21+27+35+45+63+105+135+189+315 = 975 > 945</math>).

Die kleinste ungerade abundante Zahl, die nicht durch <math>3</math> teilbar ist, ist <math>5.391.411.025= 5^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29</math>, dessen echte Teilersumme <math>5.407.897.775</math> ist.

Es folgt eine Liste der kleinsten abundanten Zahlen, welche nicht teilbar sind durch die ersten n Primzahlen:
: 12, 945, 5391411025, 20169691981106018776756331, 49061132957714428902152118459264865645885092682687973,, … ({{OEIS|A047802}})

Die kleinste abundante Zahl, die durch ''k'' teilbar ist, ist höchstens ''6k'' (<math>1 + 2 + 3 + 6 + k + 2k + 3k = 6k+12 > 6k</math>).

== Eigenschaften ==
* Es gibt unendlich viele [[Gerade Zahl|gerade]] abundante Zahlen.
* Es gibt unendlich viele [[Gerade Zahl|ungerade]] abundante Zahlen.
* Jedes Vielfache (>1) einer perfekten Zahl ist abundant. (Zum Beispiel ist jedes Vielfache von 6 abundant, weil die Teiler dieser Vielfachen auch die Teiler <math>1, \frac{n}{2}, \frac{n}{3}</math> und <math>\frac{n}{6}</math> beinhalten, welche für sich als Summe schon <math>1+\frac{n}{2}+\frac{n}{3}+\frac{n}{6}=\frac{6n+6}{6}=n+1>n</math> ergeben.) Die Umkehrung dieser Aussage gilt jedoch nicht, da z. B. die Zahl <math>20</math> abundant ist, jedoch keiner ihrer Teiler <math>\{1; 2; 4; 5; 10\}</math> eine perfekte Zahl ist.
* Jedes Vielfache einer abundanten Zahl ist abundant. (Zum Beispiel ist jedes Vielfache von 20 abundant (inklusive der 20 selbst), weil die Teiler dieser Vielfachen auch die Teiler <math>\frac{n}{2}, \frac{n}{4}, \frac{n}{5}, \frac{n}{10}</math> und <math>\frac{n}{20}</math> beinhalten, welche für sich als Summe schon <math>\frac{n}{2}+\frac{n}{4}+\frac{n}{5}+\frac{n}{10}+\frac{n}{20}=\frac{22n}{20}=n(1+\frac{1}{10})>n</math> ergeben.) 
* Jede ganze Zahl >20161 kann als Summe zweier abundanter Zahlen geschrieben werden. Die einzigen 1456 kleineren Zahlen, die nicht als Summe zweier abundanter Zahlen geschrieben werden können, sind die folgenden:
: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 31, 33, 34, 35, 37, 39, 41, 43, …, 20161 ({{OEIS|A048242}})

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=Douglas E. Iannucci
   |Titel=On the smallest abundant number not divisible by the first ''k'' primes
   |Sammelwerk=[[Belgische Mathematische Gesellschaft|Bulletin of the Belgian Mathematical Society]]
   |Band=12
   |Nummer=1
   |Datum=2005
   |Seiten=39–44}}

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=AbundantNumber |title=Abundante Zahl}}
* {{Internetquelle
   |autor=Peter Hagis Jr., Graeme L. Cohen
   |url=https://www.cambridge.org/core/services/aop-cambridge-core/content/view/S1446788700018401
   |titel=Some results concerning quasiperfect numbers
   |hrsg=[[Australian Mathematical Society|Journal of the Australian Mathematical Society]]
   |seiten=275–286
   |sprache=en
   |abruf=2018-05-21}}
* {{Internetquelle
   |autor=Douglas E. Iannucci
   |url=https://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bbms/1113318127
   |titel=On the smallest abundant number not divisible by the first k primes
   |hrsg=[[Belgische Mathematische Gesellschaft|Bulletin of the Belgian Mathematical Society]]
   |seiten=39–44
   |sprache=en
   |abruf=2018-05-21}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Ganzzahlmenge]]