Quelltext der Seite Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus

'''Areatangens hyperbolicus''' und '''Areakotangens hyperbolicus''' sind definiert als die [[Umkehrfunktion]]en von [[Tangens hyperbolicus]] und [[Kotangens hyperbolicus]] und damit [[Area-Funktion]]en.

Schreibweisen:
: <math>y = \operatorname{artanh}(x) := \tanh^{-1}(x)</math>
: <math>y = \operatorname{arcoth}(x) := \coth^{-1}(x)</math>

Letztere wird seltener benutzt, um die Verwechslung mit dem [[Kehrwert]] des hyperbolischen (Ko-)Tangens zu vermeiden. Es gilt:
: <math>\operatorname{artanh}(x) = \tanh^{-1}(x) \not= \tanh(x)^{-1} = \frac1{\tanh(x)}</math>
Oft werden genau bei der Umkehrfunktion auch [[Spitzklammer]]n um die Minus Eins geschrieben, um diese Verwechslung zu verhindern.

Die folgenden [[Identitätsgleichung|Identitäten]] werden auch als Definitionen angegeben:<ref name="Bronstein-95">{{Literatur |Autor=Ilʹja N. Bronštejn |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage=11., aktualisierte |Ort=Haan-Gruiten |Datum=2020 |ISBN=978-3-8085-5792-1 |Seiten=95}}</ref>
: <math>\operatorname{artanh}(x) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)\quad \mathrm{f\ddot{u} r} \quad |x| < 1</math>
: <math>\operatorname{arcoth}(x) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right)\quad \mathrm{f\ddot{u} r} \quad |x| > 1</math>

== Eigenschaften ==

[[Datei:Arcoth geometric.png|mini|200px|Die <math>\operatorname{arcoth}</math> Funktion bestimmt die Fläche, die mit der Strecke <math>t</math> aufgespannt wird.]]<div class="tright" style="clear:none;">
[[Datei:Artanh geometric.png|mini|ohne|200px|Die <math>\operatorname{artanh}</math> Funktion bestimmt die Fläche, die mit der Strecke <math>t</math> aufgespannt wird.]]</div>
Geometrisch lässt sich der Areatangens hyperbolicus deuten als die Fläche in der Ebene, die von der Verbindungsstrecke zwischen dem Koordinatenursprung <math>(0, 0)</math> und einem bewegten Punkt <math>(x,y)</math> der Hyperbel <math>x^2-y^2 = 1</math> überstrichen wird. Sind <math>(x, -y) = \left(x, -\sqrt{x^2-1} \right)</math> und <math>(x, y) = \left(x, +\sqrt{x^2-1} \right)</math> Start- und Endpunkt auf der Hyperbel, dann ist die überstrichene Fläche gleich <math>A = \operatorname{artanh} \left(\frac{y}{x}\right)</math>.

{|
|[[Datei:Inverse Hyperbolic Tangent.svg|mini|200px|Graph der Funktion artanh(x)]]
|[[Datei:Inverse Hyperbolic Cotangent.svg|mini|404px|Graph der Funktion arcoth(x)]]
|}

{| class="wikitable"
|-
! &nbsp;
! Areatangens hyperbolicus
! Areakotangens hyperbolicus
|-
! Definitionsbereich
| <math> -1 < x < 1 </math>
| <math> -\infty < x < -1 </math><br /> <math> 1 < x < \infty </math>
|-
! Wertebereich
| <math> -\infty < f(x) < \infty </math>
| <math> -\infty < f(x) < \infty; \; f(x) \ne 0 </math>
|-
! Periodizität
| keine
| keine
|-
! Monotonie
| streng monoton steigend
| keine
|-
! Symmetrien
| ungerade Funktion: <math> f(-x) = -f(x)</math>
| ungerade Funktion: <math> f(-x) = -f(x)</math>
|-
! [[Asymptote]]n
| <math>x=1\colon \, f(x)\to \infty \text{ für } x \to 1</math><br /><math>x = -1\colon \, f(x)\to -\infty \text{ für } x \to -1</math>
| <math>y=0\colon \, f(x)\to 0 \text{ für } x \to \pm \infty</math>
|-
! [[Nullstelle]]n
| <math> x = 0 </math>
| keine
|-
! Sprungstellen
| keine
| keine
|-
! Polstellen
| <math> x = \pm 1 </math>
| <math> x = \pm 1 </math>
|-
! Extrema
| keine
| keine
|-
! [[Wendepunkt]]e
| <math> x = 0 </math>
| keine
|}

== Reihenentwicklungen ==

Die [[Taylorreihe]] der Funktion <math>\operatorname{artanh}</math> (mit Entwicklungspunkt 0 und Konvergenzradius 1) ist gegeben durch:<ref>{{Literatur |Autor=Ilʹja N. Bronštejn |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage=11., aktualisierte |Ort=Haan-Gruiten |Datum=2020 |ISBN=978-3-8085-5792-1 |Seiten=1080}}</ref>
:<math>\operatorname{artanh}(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{2k+1} = x + \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{5} x^5 + \frac{1}{7} x^7 + \dotsb</math>

Durch Verwendung von <math>\operatorname{arcoth}(x) = \operatorname{artanh}\left(\tfrac{1}{x}\right)</math> erhält man daraus unter der Voraussetzung <math>|x| > 1</math> die folgende [[Laurent-Reihe]] der Funktion <math>\operatorname{arcoth}</math>:
:<math>\begin{alignat}{2}
\\ \operatorname{arcoth}(x) &= \sum_{k=1}^\infty \frac{x^{-(2k-1)}}{2k-1} &&= x^{-1} + \frac13x^{-3} + \frac15x^{-5} + \frac17x^{-7} + \dotsb & {}
\\ &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1) \cdot x^{2k+1}} &&= \frac{1}{x} + \frac{1}{3x^3} + \frac{1}{5x^5} + \frac{1}{7x^7} + \dotsb & {} \end{alignat}</math>

== Ableitungen ==

: <math> \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \operatorname{artanh}(x)= \frac{1}{1-x^2} \, ; \quad |x| < 1 </math>
: <math> \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \operatorname{arcoth}(x)= \frac{1}{1-x^2} \, ; \quad |x| > 1 </math>

== Integrale ==
=== Reguläre Areafunktionen artanh und arcoth ===

Die Stammfunktionen von Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus lauten:<ref>{{Literatur |Autor=Ilʹja N. Bronštejn |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage=11., aktualisierte |Ort=Haan-Gruiten |Datum=2020 |ISBN=978-3-8085-5792-1 |Seiten=1116 |Kommentar=Formeln 514, 515}}</ref>
:<math>\int \operatorname{artanh}(x)\, \mathrm{d}x = x\cdot \operatorname{artanh}(x) + \frac12\ln\left(1 - x^2\right) + C</math>
:<math>\int \operatorname{arcoth}(x)\, \mathrm{d}x = x\cdot \operatorname{arcoth}(x) + \frac12\ln\left(x^2 - 1\right) + C</math>
{{Belege fehlen||Der folgende Abschnitt}}

=== Kardinalische Areafunktionen ===

Weder der kardinalische Areatangens hyperbolicus noch sein Kehrwert sind mit elementaren Stammfunktionen integrierbar.

Aber die Integrale von Null bis Eins des kardinalischen Areatangens hyperbolicus sowie vom Kehrwert dieser Funktion sind beide elementar darstellbar.

Die Ursprungsstammfunktion des Areatangens hyperbolicus cardinalis ist die [[Legendresche Chi-Funktion|Legendresche Chifunktion]] zum Index Zwei:
: <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \chi_{2}(x) = \frac{1}{x}\operatorname{artanh}(x)</math>
: <math>\int_{0}^{x} \frac{1}{y}\operatorname{artanh}(y) \,\mathrm{d}y = \chi_{2}(x) = \int_{0}^{1} \frac{\arcsin(xz)}{\sqrt{1 - z^2}} \,\mathrm{d}z</math>
: <math>\int_{0}^{x} \frac{\operatorname{artanh}(y)}{y\sqrt{1 - y^2}} \,\mathrm{d}y = 2\,\chi_{2}\biggl(\frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}}\biggr)</math>

Mit dem Kürzel <math>\arcsin</math> wird der [[Arkussinus und Arkuskosinus|Arkussinus]] dargestellt.

=== Beispielwerte ===

Beispielsweise gelten diese Werte:
: <math>\int_{0}^{1} \frac{1}{x} \operatorname{artanh}(x) \,\mathrm{d}x = \frac{\pi^2}{8}</math>
: <math>\int_{0}^{1} \frac{\operatorname{artanh}(x)}{x\sqrt{1 - x^2}} \,\mathrm{d}x = \frac{\pi^2}{4}</math>
Wenn der Kehrwert des Areatangens hyperbolicus cardinalis von Null bis Eins integriert wird, dann entsteht das Siebenfache der [[Apéry-Konstante]] dividiert durch das Quadrat der [[Kreiszahl]]:
: <math>\int_{0}^{1} \frac{x}{\operatorname{artanh}(x)} \,\mathrm{d}x = \frac{7\,\zeta(3)}{\pi^2}</math>
Wenn der Kehrwert des Areatangens hyperbolicus cardinalis durch die pythagoräische Gegenstückfunktion geteilt wird, dann entsteht das Vierfache der [[Catalansche Konstante|Catalan-Konstante]] dividiert durch die Kreiszahl:
: <math>\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}\,\operatorname{artanh}(x)} \,\mathrm{d}x = \frac{4\,G}{\pi}</math>
Wenn der Kehrwert vom Quadrat des Areatangens hyperbolicus cardinalis von Null bis Eins integriert wird, dann entsteht folgender Wert:
: <math>\int_{0}^{1} \frac{x^2}{\operatorname{artanh}(x)^2} \,\mathrm{d}x = \frac{1}{3\,\pi^4} \bigl[372\,\zeta(5) - 14\,\pi^2\zeta(3)\bigr]</math>

== Additionstheoreme ==

: <math> \operatorname{artanh}(x) \pm \operatorname{artanh}(y) = \operatorname{artanh} \left( \frac{x \pm y}{1 \pm xy}\ \right) </math><ref name="Bronstein-95" />
: <math> \operatorname{arcoth}(x) \pm \operatorname{arcoth}(y) = \operatorname{arcoth} \left( \frac{1 \pm xy}{x \pm y}\ \right) </math>

== Umrechnung und Beziehungen zu Arkusfunktionen ==

: <math> \operatorname{artanh}(x) = \operatorname{arcoth}\left(\frac{1}{x}\right) \quad |x| < 1 </math>
: <math> \operatorname{arcoth}(x) = \operatorname{artanh}\left(\frac{1}{x}\right) \quad |x| > 1 </math>
: <math> \operatorname{artanh}(z) = -i \arctan(iz) </math>
: <math> \operatorname{arcoth}(z) = i \arccot(iz) </math>

[[Datei:Komplexe artanh Funktion.png|mini|Komplexe Transformation <math>x + iy = \operatorname{artanh}(u + iv)</math>|links|400px]]
[[Datei:Komplexe arcoth Funktion.png|mini|Komplexe Transformation <math>x + iy = \operatorname{arcoth}(u + iv)</math>|rechts|400px]]


{{Absatz}}

== Siehe auch ==

* [[Trigonometrische Funktion]]en
* [[Kreis- und Hyperbelfunktionen]]

== Weblinks ==

* {{MathWorld|InverseHyperbolicTangent|Inverse Hyperbolic Tangent}}
* {{MathWorld|InverseHyperbolicCotangent|Inverse Hyperbolic Cotangent}}

== Einzelnachweise ==

<references />

{{Navigationsleiste Trigonometrische Funktionen}}

[[Kategorie:Trigonometrische Funktion]]