Quelltext der Seite Basis (Vektorraum)

In der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] ist eine '''Basis''' eine Teilmenge eines [[Vektorraum]]es, mit deren Hilfe sich jeder [[Vektor]] des Raumes eindeutig als endliche [[Linearkombination]] darstellen lässt. Die Koeffizienten dieser Linearkombination heißen die ''Koordinaten'' des Vektors bezüglich dieser Basis. Ein Element der Basis heißt '''Basisvektor''', besteht der Vektorraum aus [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]], werden die Elemente im Speziellen auch '''Basisfunktionen''' genannt. Wenn Verwechslungen mit anderen Basisbegriffen (z.&nbsp;B. der [[Schauderbasis]]) zu befürchten sind, nennt man eine solche Teilmenge auch '''Hamelbasis''' (nach [[Georg Hamel]]). Ein Vektorraum besitzt im Allgemeinen verschiedene Basen, ein Wechsel der Basis erzwingt eine [[Basistransformation|Koordinatentransformation]]. Die Hamelbasis sollte nicht mit der [[Koordinatensystem#Lokales Koordinatensystem|Basis eines Koordinatensystems]] verwechselt werden, da diese Begriffe unter bestimmten Bedingungen nicht gleichgesetzt werden können (z.&nbsp;B. bei [[Krummlinige Koordinaten|krummlinigen Koordinaten]]).

== Definition und grundlegende Begriffe ==
Eine Basis eines Vektorraums <math>V</math> ist eine Teilmenge <math>B</math> von <math>V</math>
mit folgenden gleichwertigen Eigenschaften:

<!-- Auf die Reihenfolge dieser Bedingungen wird unten Bezug genommen! Also Vorsicht beim Ändern. -->
# Jedes Element von <math>V</math> lässt sich als [[Linearkombination]] von Vektoren aus <math>B</math> darstellen und diese Darstellung ist eindeutig.
# <math>B</math> ist ein minimales [[Erzeuger (Algebra)|Erzeugendensystem]] von <math>V</math>, jeder Vektor aus <math>V</math> lässt sich also als Linearkombination aus <math>B</math> darstellen (<math>V</math> ist [[lineare Hülle]] von <math>B</math>) und diese Eigenschaft gilt nicht mehr, wenn ein Element aus <math>B</math> entfernt wird.
# <math>B</math> ist eine maximale [[Lineare Unabhängigkeit|linear unabhängige]] Teilmenge von <math>V</math>. Wird also ein weiteres Element aus <math>V</math> zu <math>B</math> hinzugefügt, ist die neue Menge nicht mehr linear unabhängig.
# <math>B</math> ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von <math>V</math>.

Eine Basis lässt sich mit Hilfe einer [[Indexmenge (Mathematik)|Indexmenge]] <math>I</math> in der Form <math>B = \{b_i: \; i \in I\}</math> beschreiben, eine endliche Basis beispielsweise in der Form <math>B = \{b_1, \dotsc, b_n\}</math>. Wird eine solche Indexmenge <math>I</math> benutzt, dann verwendet man jedoch meist zur Bezeichnung der Basis die [[Familie (Mathematik)|Familienschreibweise]], d.&nbsp;h. <math>b = (b_i)_{i \in I}</math> statt <math>B = \{b_i: \; i \in I\}</math>.

Man beachte, dass in der Familienschreibweise eine [[Ordnungsrelation]] auf der Indexmenge <math>I</math> eine Anordnung der Basisvektoren erzeugt; <math>b</math> heißt dann „geordnete Basis“. Dies macht man sich bei der Beschreibung der [[Orientierung (Mathematik)|Orientierung]] von Vektorräumen zunutze. Eine Indexmenge mit Ordnungsrelation ermöglicht es, unter den Basen Orientierungsklassen (Händigkeit) einzuführen. Beispiele: abzählbar unendliche Basis <math>b = (b_i)_{i \in \mathbb N}</math>, endliche Basis <math>b = (b_1, \dotsc, b_n) = (b_i)_{i \in \{ 1, \dotsc, n\}}</math>.

Die Koeffizienten, die in der Darstellung eines Vektors als Linearkombination von Vektoren aus der Basis <math>B</math> auftreten, nennt man die Koordinaten des Vektors bezüglich <math>B</math>. Diese sind Elemente des dem Vektorraum zugrundeliegenden Körpers <math>K</math> (z.&nbsp;B. <math>\mathbb R</math> oder <math>\mathbb C</math>). Zusammen bilden diese einen Koordinatenvektor <math>x = (x_i)_{i \in B}</math>, der allerdings in einem anderen Vektorraum liegt, dem Koordinatenraum <math>K^B</math>. Achtung: Die Zuordnung der Koordinaten zu ihren jeweiligen Basisvektoren ist entscheidend. Wurde bei der Beschreibung der Basis keine Indexmenge verwendet, muss daher bei der Beschreibung der Koordinaten die Menge der Basisvektoren selbst zur Indizierung herangezogen werden („<math>{i \in B}</math>“).

Obwohl Basen meist als Mengen aufgeschrieben werden, ist daher eine durch eine Indexmenge <math>I</math> gegebene „Indizierung“ praktischer. Die Koordinatenvektoren haben dann die Form <math>x = (x_i)_{i \in I}</math>, der Koordinatenraum ist <math>K^I</math>. Ist <math>I</math> mit einer Ordnungsrelation versehen, so entsteht auch für den Koordinatenvektor eine Reihenfolge der Koordinaten. Im Beispiel <math>I = \{1, \dotsc, n\}</math> ist der Koordinatenvektor von der Form <math>x = (x_1, \dotsc, x_n)</math> („Nummerierung“ der Koordinaten). Der [[Koordinatenraum]] ist hier <math>K^n</math>, bei reellen oder komplexen Vektorräumen also <math>\mathbb R^n</math> bzw. <math>\mathbb C^n</math>.

== Wichtige Eigenschaften ==
* Jeder Vektorraum besitzt eine Basis. Ein Beweis für diese Aussage ist im Abschnitt [[#Existenzbeweis|Existenzbeweis]] angegeben.
* Alle Basen eines Vektorraumes enthalten dieselbe Anzahl von Elementen. Diese Anzahl, die auch eine unendliche [[Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] sein kann, nennt man die [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] des Vektorraums.
* Eine Teilmenge <math>\{b_1, \dotsc, b_k\}</math> eines <math>K</math>-Vektorraumes <math>V</math> definiert eindeutig eine lineare Abbildung <math>K^k\to V,\quad e_i\mapsto b_i</math>, wobei <math>e_i</math> den <math>i</math>-ten [[Standardbasis|Standardeinheitsvektor]] bezeichnet.
: Diese Abbildung ist genau dann
:* [[Injektivität|injektiv]], wenn die <math>b_i</math> linear unabhängig sind;
:* [[surjektiv]], wenn die <math>b_i</math> ein Erzeugendensystem bilden;
:* [[bijektiv]], wenn die <math>b_i</math> eine Basis bilden.
: Diese Charakterisierung überträgt sich auf den allgemeineren Fall von [[Modul (Mathematik)|Moduln]] über [[Ring (Algebra)|Ringen]], siehe [[Basis (Modul)]].

[[Datei:Affine Koordinaten.PNG|300px|mini|''e''<sub>1</sub> und ''e''<sub>2</sub> bilden eine Basis der Ebene.]]

== Beispiele ==
* In der [[Euklidischer Raum|euklidischen Ebene]] <math> \mathbb{R}^2 </math> gibt es die so genannte ''[[Standardbasis]]'' <math>\{(1,0),(0,1)\}</math>. Darüber hinaus bilden in dieser Ebene zwei Vektoren genau dann eine Basis, wenn sie nicht in dieselbe (oder die entgegengesetzte) Richtung zeigen.

* Die Standardbasis des Vektorraums <math>K^n</math> ist die Menge der kanonischen [[Einheitsvektor]]en <math>\{ (1,0,\dotsc,0), (0,1,0,\dotsc,0), \dotsc, (0,\dotsc,0,1) \}</math>.

* Die Standardbasis im [[Matrizenraum|Raum der Matrizen]] <math>K^{m \times n}</math> wird durch die [[Standardmatrix|Standardmatrizen]] gebildet, bei denen genau ein Eintrag <math>1</math> ist und alle anderen Einträge <math>0</math> sind.

* Der [[Nullvektorraum]] <math>\{0\}</math> hat Dimension null; seine einzige Basis ist die [[leere Menge]].

* Als <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum wird für <math>\mathbb{C}</math> meist die Basis <math>\{1, i\}</math> verwendet. Eine Menge <math>\{ a, b\} \subseteq \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist genau dann eine Basis von <math>\mathbb{C}</math> über <math>\mathbb{R}</math>, wenn <math>\tfrac{a}{b}</math> keine [[reelle Zahl]] ist. 

* Als <math>\mathbb{Q}</math>-Vektorraum hat <math>\mathbb{R}</math> eine Basis, die man aber nicht explizit angeben kann. Dass er überhaupt eine Basis besitzt, wurde erstmals von [[Georg Hamel]] bewiesen.<ref>{{Literatur |Autor=Georg Hamel |Titel=Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung: f(x+y)=f(x)+f(y) |Sammelwerk=Mathematische Annalen |Band=60 |Nummer=3 |Datum=1905 |DOI=10.1007/BF01457624 |Seiten=459–462 |Online=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN235181684_0060}}</ref>

* Der Vektorraum der [[Polynom]]e über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] hat die Basis <math>\{1,X,X^2,X^3,\dotsc\}</math>. Es gibt aber auch viele andere Basen, die zwar umständlicher anzuschreiben sind, aber in konkreten Anwendungen praktischer sind, zum Beispiel die [[Legendre-Polynom]]e.

* Im Vektorraum der reellen [[Folge (Mathematik)|Zahlenfolgen]] bilden die Vektoren <math>\{ (1,0,0,0,\dotsc), (0,1,0,0,\dotsc), (0,0,1,0,\dotsc),\dotsc \}</math> zwar ein linear unabhängiges System, aber keine Basis, denn es wird zum Beispiel die Folge <math>(1,1,1,1,\dotsc)</math> nicht davon erzeugt, da eine Kombination unendlich vieler Vektoren keine Linearkombination ist.

== Beweis der Äquivalenz der Definitionen ==
Die folgenden Überlegungen skizzieren einen Beweis dafür, dass die vier charakterisierenden Eigenschaften, die in diesem Artikel als Definition des Begriffs Basis genannt werden, äquivalent sind. (Für diesen Beweis wird das [[Auswahlaxiom]] oder Lemma von Zorn nicht benötigt.)

* Wenn sich jeder Vektor eindeutig als Linearkombination von Vektoren in <math>B</math> darstellen lässt, dann ist <math>B</math> insbesondere ein Erzeugendensystem (nach Definition).<br /> Wenn <math>B</math> nicht ''minimales'' Erzeugendensystem ist, dann gibt es eine echte Teilmenge <math>B'</math>, die auch ein Erzeugendensystem ist. Sei nun <math>b^*</math> ein Element von <math>B</math>, welches nicht in <math>B'</math> liegt. Dann lässt sich <math>b^*</math> auf mindestens zwei verschiedene Arten als Linearkombination von Vektoren in <math>B</math> darstellen, nämlich einmal als Linearkombination von Vektoren in <math>B'</math> und einmal als <math>b^* = 1 \cdot b^* </math>. Es ergibt sich ein Widerspruch und daher ist <math>B</math> minimal.<br /> Also gilt (1) → (2).

* Jedes minimale Erzeugendensystem muss linear unabhängig sein. Denn wenn <math>B</math> nicht linear unabhängig ist, dann gibt es einen Vektor <math>b^*</math> in <math>B</math>, welcher sich als Linearkombination von Vektoren in <math>B \setminus \{b^* \} </math> darstellen lässt. Dann aber lässt sich jede Linearkombination von Vektoren in <math>B</math> auch durch eine Linearkombination von Vektoren in <math>B \setminus \{ b^* \}</math> umschreiben und <math>B</math> wäre nicht minimal.<br /> Also gilt (2) → (4).

* Jedes linear unabhängige Erzeugendensystem <math>B</math> muss eine maximale linear unabhängige Menge sein. Wäre nämlich <math>B</math> nicht ''maximal'' linear unabhängig, so gäbe es ein <math>b^*</math> (das nicht in <math>B</math> liegt), welches zusammen mit <math>B</math> linear unabhängig wäre. Aber <math>b^*</math> lässt sich als Linearkombination von Elementen von <math>B</math> darstellen, was der linearen Unabhängigkeit widerspricht.<br />Also gilt (4) → (3).

* Ein maximal linear unabhängiges System <math>B</math> ist ein Erzeugendensystem: Sei <math>b^*</math> ein beliebiger Vektor. Wenn <math>b^*</math> in <math>B</math> enthalten ist, dann lässt sich <math>b^*</math> als Linearkombination von Elementen von <math>B</math> schreiben. Wenn aber <math>b^*</math> nicht in <math>B</math> enthalten ist, dann ist die Menge <math>B \ \cup \{ b^*\}</math> eine echte Obermenge von <math>B</math> und damit nicht mehr linear unabhängig. Die Vektoren <math>b_1, \dotsc, b_n</math>, die in einer möglichen linearen Abhängigkeit <math>a_1 b_1 + \dotsb + a_n b_n = 0</math> vorkommen, können nicht alle aus <math>B</math> sein, daher muss einer davon (sagen wir <math>b_1</math>) gleich <math>b^*</math> sein, mit <math>a_1</math> ungleich 0. Daher ist <math>b^* = -\tfrac{1}{a_1}(a_2 b_2 + \dotsb + a_n b_n)</math>. Die Eindeutigkeit dieser Darstellung folgt aus der linearen Unabhängigkeit von <math>B</math>.<br />Also gilt (3) → (1).

== Existenzbeweis ==
<!-- Auf diese Überschrift wird oben Bezug genommen. -->

Mit dem [[Lemma von Zorn]] kann man beweisen, dass jeder Vektorraum eine Basis haben muss, auch wenn man sie oft nicht explizit angeben kann.

Sei <math>V</math> ein Vektorraum. Man möchte eine maximale linear unabhängige Teilmenge des Vektorraums finden. Es liegt also nahe, das Mengensystem
:<math>P := \{X \subseteq V:\; X \text{ linear unabhängig}\}\,</math>

zu betrachten, das durch die Relation <math>\subseteq</math> [[Ordnungsrelationen|halbgeordnet]] wird. Man kann nun zeigen:
# <math>P</math> ist nicht leer (zum Beispiel enthält <math>P</math> die leere Menge). Besteht <math>V</math> nicht nur aus dem [[Nullvektor]], dann ist zusätzlich auch jede Einermenge <math>\{v\}</math> mit <math>v</math> in <math>V</math> und <math>v\neq\mathbf{0}</math> ein Element von <math>P</math>.
# Für jede [[Ordnungsrelation#Totalordnung|Kette]] <math>C \subseteq P</math> ist auch <math>\bigcup C = \bigcup_{X\in C} X = \{ v: \exists X \in C: v\in X\}</math> in <math>P</math>.

Aus dem Lemma von Zorn folgt nun, dass <math>P</math> ein maximales Element hat. Die maximalen Elemente von <math>P</math> sind nun aber genau die maximalen linear unabhängigen Teilmengen von <math>V</math>, also die Basen von <math>V</math>.
Daher hat <math>V</math> eine Basis und es gilt darüber hinaus, dass jede linear unabhängige Teilmenge von <math>V</math> in einer Basis von <math>V</math> enthalten ist.

== Basisergänzungssatz ==
Ist <math>T\subset V</math> eine vorgegebene Menge linear unabhängiger Vektoren und geht man in obigem Beweis von
:<math>P := \{X \subseteq V:\; T\subset X,\, X \text{ linear unabhängig}\}\,</math>
aus, so erhält man die Aussage, dass <math>T</math> in einem maximalen Element von <math>P</math> enthalten ist. Da sich ein solches maximales Element wieder als eine Basis von <math>V</math> erweist, ist gezeigt, dass man jede Menge linear unabhängiger Vektoren zu einer Basis von <math>V</math> ergänzen kann. Diese Aussage nennt man ''Basisergänzungssatz.''

== Weitere Aussagen über Basen ==
* ''Austauschlemma von Steinitz'' (nach [[Ernst Steinitz|E. Steinitz]]): Sind <math>v_1, \dotsc, v_n</math> eine Basis eines Vektorraumes <math>V</math> und <math>w</math> ein weiterer vom Nullvektor verschiedener Vektor aus <math>V</math>, so kann man einen der Basisvektoren gegen <math>w</math> „austauschen“, d.&nbsp;h., es existiert ein Index <math>1\leq i\leq n</math>, sodass <math>v_1, \dotsc, v_{i-1}, w,v_{i+1}, \dotsc, v_n</math> ebenfalls eine Basis von <math>V</math> ist.<br />Diese Aussage wird häufig benutzt, um zu zeigen, dass alle Basen eines Vektorraumes aus gleich vielen Vektoren bestehen.<ref>In der [[Verbandstheorie]] wird das Austauschlemma von Steinitz in den Rahmen der [[Modularer Verband|modularen Verbände]] gestellt. Es lässt sich zeigen, dass es dem [[Satz von Kurosch-Ore#Erläuterungen und Anmerkungen|Satz von Kurosch-Ore]] subsumiert werden kann. Man spricht in diesem Zusammenhang auch vom ''Austauschsatz in modularen Verbänden''. (Siehe: [[Helmuth Gericke]]: ''Theorie der Verbände.'', 2. Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim 1967, S. 143–146)</ref>
* Jeder Vektorraum ist ein freies Objekt über seiner Basis. Dies ist eine [[universelle Eigenschaft]] von Vektorräumen im Sinne der [[Kategorientheorie]]. Konkret heißt dies:
:# Eine [[lineare Abbildung]] eines Vektorraums in einen anderen Vektorraum ist bereits durch die Bilder der Basisvektoren vollständig bestimmt.
:# Jede beliebige Abbildung der Basis in den Bildraum definiert eine lineare Abbildung.
* In einem <math>d</math>-dimensionalen Vektorraum über einem [[Endlicher Körper|endlichen Körper]] mit <math>q</math> Elementen gibt es

::<math>\frac{1}{d!}\prod_{k=0}^{d-1}\left(q^d-q^k\right)</math>
: verschiedene Basen.

== Basisbegriffe in speziellen Vektorräumen ==
Reelle und komplexe Vektorräume tragen meist zusätzliche topologische Struktur. Aus dieser Struktur kann sich ein Basisbegriff ergeben, der vom hier beschriebenen abweicht.

=== Basis und duale Basis im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum ===
In der [[Klassische Mechanik|klassischen Mechanik]] wird der Anschauungsraum mit dem drei-dimensionalen [[Euklidischer Vektorraum|euklidischen Vektorraum]] <math>(\mathbb R^3,\cdot)</math> modelliert, wodurch dieser eine besondere Relevanz bekommt. Euklidische Vektorräume sind u.&nbsp;a. dadurch definiert, dass es in ihnen ein [[Skalarprodukt]] „·“ gibt, wodurch diese Vektorräume besondere und erwähnenswerte Eigenschaften erhalten.

Im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum gibt es zu jeder Basis <math>\vec{b}_{1,2,3}</math> genau eine [[duale Basis]] <math>\vec{b}^{1,2,3}</math>, sodass mit dem [[Kronecker-Delta]] δ gilt: <math>\vec{b}_i\cdot\vec{b}^j=\delta_i^j.</math> Bei einer [[Orthonormalbasis]] sind alle Basisvektoren auf Länge eins [[Norm (Mathematik)|normiert]] und paarweise [[orthogonal]]. Dann stimmen Basis und duale Basis überein.

Jeder Vektor <math>\vec v</math> lässt sich nun als [[Linearkombination]] der Basisvektoren darstellen:

:<math>\vec v=\sum_{i=1}^3(\vec v\cdot\vec{b}^i)\vec{b}_i=\sum_{i=1}^3(\vec v\cdot\vec{b}_i)\vec{b}^i</math>

Denn die Differenzvektoren von <math>\vec v</math> zu den Vektoren rechts der Gleichheitszeichen sind [[Nullvektor]]en.

Der dreidimensionale euklidische Vektorraum ist ein [[Vollständiger Raum|vollständiger]] Skalarproduktraum.

=== Hamel- und Schauderbasis in Skalarprodukträumen ===
Beim Studium von reellen oder komplexen [[Skalarproduktraum|Skalarprodukträumen]], besonders von [[Hilbertraum|Hilberträumen]] gibt es noch eine andere, dort zweckmäßigere Art, die Elemente des Raumes darzustellen. Eine Basis besteht dabei aus paarweise [[orthogonal]]en [[Einheitsvektor]]en, und es werden nicht nur endliche, sondern auch unendliche Summen (sog. [[Reihe (Mathematik)|Reihen]]) von Basisvektoren zugelassen. Ein solches vollständiges [[Orthonormalsystem]] ist in einem unendlichdimensionalen Raum nie eine Basis im hier definierten Sinn, zur besseren Unterscheidung spricht man auch von [[Schauderbasis]]. Der im vorliegenden Artikel beschriebene Basistyp wird zur Unterscheidung auch ''Hamelbasis'' genannt.

=== Auerbachbasen ===
Eine [[Auerbachbasis]] ist eine Hamelbasis für einen dichten Unterraum in einem [[Normierter Raum|normierten Vektorraum]], sodass der Abstand jedes Basisvektors vom Erzeugnis der übrigen Vektoren gleich seiner [[Norm (Mathematik)|Norm]] ist.

=== Abgrenzung der Basisbegriffe ===
* Sowohl eine ''Hamelbasis'' als auch eine ''Schauderbasis'' ist eine linear unabhängige Menge von Vektoren.
* Eine ''Hamelbasis'' oder einfach ''Basis,'' wie sie in diesem Artikel beschrieben ist, bildet ein Erzeugendensystem des Vektorraums, d.&nbsp;h., ein beliebiger Vektor des Raums lässt sich als Linearkombination aus ''endlich vielen'' Vektoren der Hamelbasis darstellen.
* Bei einem endlichdimensionalen reellen oder komplexen Skalarproduktraum ist eine [[Orthonormalbasis]] (d.&nbsp;h. ein minimales Erzeugendensystem aus normierten, zueinander senkrechten Vektoren) zugleich Hamel- und Schauderbasis.
* Bei einem unendlichdimensionalen, vollständigen reellen oder komplexen Skalarproduktraum (speziell also in einem unendlichdimensionalen Hilbertraum) ist eine Schauderbasis nie eine Hamelbasis und umgekehrt. Im unendlichdimensionalen Fall lässt sich eine Hamelbasis häufig nicht einmal orthonormieren.
* Die Hamelbasis eines unendlichdimensionalen, separablen Hilbertraumes besteht aus überabzählbar vielen Elementen. Eine Schauderbasis hingegen besteht in diesem Fall aus abzählbar vielen Elementen. Es gibt mithin keinen Hilbertraum von Hamel-Dimension <math>\aleph_0</math>.
* In Hilberträumen ist mit ''Basis'' (ohne Zusatz) meistens eine ''Schauderbasis'' gemeint, in Vektorräumen ohne Skalarprodukt immer eine Hamelbasis.

== Siehe auch ==
* [[Basiswechsel (Vektorraum)]]
* [[Standardbasis]]
* [[Komplementärbasis]]

== Literatur ==
* [[Peter Knabner]], [[Wolf Barth (Mathematiker)|Wolf Barth]]: ''Lineare Algebra. Grundlagen und Anwendungen.'' Springer Spektrum, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-32185-6.
* Uwe Storch, Hartmut Wiebe: ''Lehrbuch der Mathematik.'' Band II: ''Lineare Algebra.'' BI-Wissenschaft, Mannheim u.&nbsp;a. 1990, ISBN 978-3-411-14101-2.

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Lineare Algebra: Allgemeine Vektorräume: Basis und Dimension}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Lineare Algebra]]