Quelltext der Seite Bewegung (Mathematik)

In der [[Geometrie]] ist eine '''Bewegung''' eine [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]] des [[Euklidischer Raum|euklidischen Raums]] auf sich selbst. Es handelt sich um eine [[bijektiv]]e, [[Längentreue Abbildung|abstandserhaltende]] und [[winkeltreue Abbildung|winkeltreue]] [[affine Abbildung]]. Damit ist eine Bewegung ein [[isometrischer Isomorphismus]] auf dem euklidischen Raum. Es lassen sich sogar alle Isometrien des euklidischen Raums als Bewegung auffassen.

Da das Bild einer geometrischen Figur unter einer solchen Abbildung stets [[Kongruenz (Geometrie)|kongruent]] zur Ausgangsfigur ist, nennt man eine Bewegung auch eine [[Kongruenzabbildung]], dieser Begriff ist aber nur im Fall einer Bewegung des zweidimensionalen euklidischen Punktraums gebräuchlich.

Allgemeiner werden auch in der [[Absolute Geometrie|absoluten Geometrie]] gewisse Bijektionen des Punktraums durch ''Axiome der Bewegung'' als Bewegungen gekennzeichnet. Sie definieren dann in [[Nichteuklidische Geometrie|nichteuklidischen Geometrien]] den Begriff der Kongruenz: Zwei Figuren sind kongruent, wenn sie durch eine Bewegung bijektiv aufeinander abgebildet werden.

== Definition ==
Eine Abbildung <math>f \colon E \to E</math> des <math>n</math>-dimensionalen [[euklidischer Raum|euklidischen Raums]] <math>E</math> in sich heißt ''Bewegung'', falls sie den Abstand zweier Punkte invariant lässt, das heißt, falls für je zwei Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> in <math>E</math>
:<math>d(f(P),f(Q)) \,=\, d(P,Q)</math>
gilt. Hierbei bezeichnet <math>d(P,Q)</math> den [[euklidischer Abstand|euklidischen Abstand]] der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>, also die Länge der Strecke <math>\overline{PQ}</math> bzw. des Vektors <math>\overrightarrow{PQ}</math>.<ref>{{Literatur |Titel=Bewegungsgruppe |Autor= |Hrsg=Guido Walz |Sammelwerk=Lexikon der Mathematik |Auflage=1 |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Mannheim/Heidelberg |Datum=2000 |ISBN=3-8274-0439-8}}</ref>

Von einer ''eigentlichen Bewegung'' spricht man, falls die Isometrie zusätzlich noch die [[Orientierung (Mathematik)|Orientierung]] erhält. Andernfalls heißt die Bewegung ''uneigentlich''.

== Eigenschaften ==
* Eine Bewegung ist eine [[affine Abbildung|affine]] und bijektive Abbildung, also eine [[Affinität (Mathematik)|Affinität]]. 
* Eine Bewegung ist außerdem eine [[winkeltreue Abbildung]].
* Eine Bewegung ist ein [[isometrischer Isomorphismus]] des euklidischen Raums. Auch die Umkehrung gilt, jeder isometrische Isomorphismus des euklidischen Raums ist eine Bewegung.<ref>Herbert Amann, [[Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]]: ''Analysis III''. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag, Basel/Boston/Berlin 2001, ISBN 3-7643-6613-3, S. 30.</ref>

== Beschreibung mit Hilfe von linearen Abbildungen ==
Man kann den <math>n</math>-dimensionalen euklidischen Raum <math>E</math> als [[affiner Raum|affinen Punktraum]] über einem [[euklidischer Vektorraum|euklidischen Vektorraum]] <math>V</math> auffassen. Bewegungen kann man dann mit Hilfsmitteln der [[lineare Algebra|linearen Algebra]] beschreiben.

Ist <math>f \colon E \to E</math> eine Bewegung, so
existiert eine [[orthogonale Abbildung]] (lineare Isometrie) <math>\vec f \colon V \to V</math>, so dass für alle Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> gilt:
:<math>f(Q) = f(P) + \vec f (\overrightarrow{PQ})</math>
Wählt man einen Ursprung <math>O</math>, so gilt also für die [[Ortsvektor]]en eines Punktes <math>P</math> und seines Bildpunktes <math>f(P)</math>
:<math>\overrightarrow{Of(P)} = \vec f (\overrightarrow{OP})+ \overrightarrow{Of(O)}.</math>
Man erhält den Ortsvektor des Bildpunktes also durch die Komposition der orthogonalen Abbildung
:<math>\vec v \mapsto \vec f (\vec v)</math>
und der [[Parallelverschiebung|Translation]]
:<math>\vec v \mapsto \vec v +  \overrightarrow{Of(O)}. </math>

== Beschreibung in Koordinaten ==
Führt man im <math>n</math>-dimensionalen euklidischen Raum <math>E</math> ein [[Affine Koordinaten|affines Koordinatensystem]] <math>O=X_0,\,X_1,\,\ldots,\, X_n</math> mit dem [[Koordinatenursprung|Ursprung]] <math>O</math> ein und verwendet die zugehörige Basis <math>e_1=\overrightarrow {OX_1},\,\ldots,\,e_n=\overrightarrow {OX_n}</math> des Vektorraums&nbsp;<math>V</math>, so lässt sich jede affine Abbildung durch eine <math>n \times n</math>-Matrix
:<math>A= \begin{pmatrix}a_{11} &\dots& a_{1n}\\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} &\dots& a_{nn}\end{pmatrix}</math>
und einen Translationsvektor
:<math>b = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}</math>
beschreiben:
:<math>y = A\cdot x + b = \begin{pmatrix}a_{11} &\dots& a_{1n}\\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} &\dots& a_{nn}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}</math>
Hierbei sind
:<math>x = \begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \in\R^n </math> und <math>y = \begin{pmatrix}y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}\in\R^n </math>
die Koordinatenvektoren der [[Ortsvektor]]en <math>\textstyle \overrightarrow {OP} = \sum_{i=1}^n x_i e_i </math> und  <math>\textstyle \overrightarrow {Of(P)} = \sum_{i=1}^n y_i e_i</math>.

Bei Wahl eines [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystems]] gilt:
<math>f</math> ist genau dann eine Bewegung, wenn die Matrix <math>A</math> [[Orthogonale Matrix|orthogonal]] ist. Gilt außerdem <math>\det (A) = 1</math>, so handelt es sich um eine eigentliche Bewegung.

Eine Bewegung kann auch mit der Translation als erster und der orthogonalen Abbildung als zweiter Aktion formuliert werden, denn es ist
:<math>(A x) + b = A (x + c)</math>
mit <math> c := A^{-1} b.</math>

== {{Anker|euklidische Gruppe}} Die Bewegungsgruppe ==
Die [[Komposition (Mathematik)|Hintereinanderausführung]] zweier Bewegungen ergibt wieder eine Bewegung. Die Bewegungen bilden also eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]], die ''Bewegungsgruppe'' oder ''euklidische Gruppe'', die mit <math>\mathrm E(n)</math> oder <math>\mathrm{ISO}(n)</math> bezeichnet wird. Die Hintereinanderausführung zweier eigentlicher Bewegungen ist wieder eine eigentliche Bewegung. Diese bilden also eine Untergruppe von <math>\mathrm E(n)</math>, die mit <math>\mathrm{E}^+(n)</math> bzw. <math>\mathrm{SE}(n)</math> bezeichnet wird. Beide Gruppen lassen sich als das [[Semidirektes Produkt|semidirekte Produkt]] <math>\mathrm{O}(n) \ltimes \R^n</math> bzw. <math>\mathrm{SO}(n) \ltimes \R^n</math> der zugehörigen [[Orthogonale Gruppe|Matrizengruppen]] <math>\mathrm{O}(n)</math> bzw. <math>\mathrm{SO}(n)</math> mit der Gruppe <math>\R^n</math> der Translationen auffassen. Dies besagt konkret, dass für die Hintereinanderausführung zweier Bewegungen <math>x \mapsto A x + a </math> und <math>y \mapsto B y + b</math> gilt:
:<math>B (A x + a) + b = (B A) x + (B a + b).</math>

Beide Gruppen sind [[Lie-Gruppe]]n der Dimension
:<math>\dim(\mathrm{SO}(n)) + \dim(\R^n) = \frac{n\cdot (n-1)}{2} + n= \frac{n\cdot(n+1)}{2}.</math>

== Bewegungen in der euklidischen Ebene ==
{{Hauptartikel|Kongruenzabbildung}}

Eigentliche Bewegungen der Ebene sind
* eine [[Parallelverschiebung]]
* eine [[Drehung]] um einen Punkt der Ebene
** eine [[Punktspiegelung]] als Sonderfall einer Drehung um 180°
Uneigentliche Bewegungen sind
* eine [[Achsenspiegelung]]
* eine [[Gleitspiegelung]] bestehend aus einer Achsenspiegelung gefolgt von einer Translation längs der Achse.

Die Bewegungsgruppe ISO(2) der Ebene lässt sich durch Achsenspiegelungen [[Erzeuger einer Gruppe|erzeugen]].

== Bewegungen im euklidischen Raum ==
Eigentliche Bewegungen im Raum sind
* [[Parallelverschiebung]] ''(Translation)''
* [[Drehung]] um eine beliebige Achse im Raum
** [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelung]] an einer Geraden als Sonderfall einer Drehung um 180°
* [[Schraubung]] – die mit einer Drehung [[Komposition (Mathematik)|verkettete]] Translation längs der Drehachse

Uneigentliche Bewegungen sind
* [[Ebenenspiegelung]]
* [[Gleitspiegelung]] – die mit einer Ebenenspiegelung verkettete Translation in eine Richtung parallel zu der Spiegelebene
* [[Drehspiegelung]] – die mit einer Ebenenspiegelung verkettete Drehung um eine zu dieser Ebene orthogonale Achse
* [[Punktspiegelung]]

Drehungen sowie Drehspiegelungen verfügen stets über [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkte]]. Legt man den Koordinatenursprung in einen solchen, so wird der translatorische Anteil null. Wie im Artikel zu [[Orthogonale Gruppe#Räumliche Drehung|orthogonalen Gruppen]] ausgeführt, besitzt eine Drehung im Raum stets eine Achse und einen Drehwinkel und ist durch diese Daten eindeutig festgelegt. Ähnliches gilt auch für [[Orthogonale Gruppe#Räumliche Drehspiegelung|Drehspiegelungen]].

In manchen Situationen kann auf den translatorischen Teil jedoch nicht verzichtet werden, beispielsweise bei der Beschreibung zweier Drehungen mit sich gegenseitig nicht schneidenden Achsen.

Die Bewegungsgruppe ISO(3) des Raumes lässt sich durch [[Ebenenspiegelung]]en [[Erzeuger einer Gruppe|erzeugen]].

Die Bewegung eines [[Starrer Körper|starren Körpers]] im Raum oder auch eine [[Kamerafahrt]] lassen sich als eine stetige Folge von Bewegungen, also als eine Abbildung von einem reellen Zeitintervall <math>[t_0, t_1]</math> in die Gruppe der eigentlichen Bewegungen des Raumes auffassen.

== Siehe auch ==
* [[Bewegungsinvariante Funktion]]

== Literatur ==
* Gerd Fischer: ''Analytische Geometrie.'' Vieweg, 1978. ISBN 3-528-17235-5
* Max Köcher, Aloys Krieg: ''Ebene Geometrie.'' 3. Aufl., Springer, Berlin 2007. ISBN 978-3540493273 (S. 102ff behandelt die Bewegungen der Ebene)

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Gruppentheorie]]
[[Kategorie:Lineare Algebra]]
[[Kategorie:Raumgeometrie]]
[[Kategorie:Geometrische Abbildung]]