Quelltext der Seite Darstellungssatz von Fréchet-Riesz

{{Dieser Artikel|behandelt die Darstellung des Dualraumes eines Hilbertraumes. Zur Darstellung positiver Linearformen auf Funktionenräumen durch Maße siehe [[Darstellungssatz von Riesz-Markow]].}}
Der '''Darstellungssatz von Fréchet-Riesz''', manchmal auch '''Satz von Fréchet-Riesz''' oder '''Rieszscher Darstellungssatz''' beziehungsweise '''Darstellungssatz von Riesz''' (nach [[Frigyes Riesz]]) ist in der [[Mathematik]] eine Aussage der [[Funktionalanalysis]], die den [[Dualraum]] bestimmter [[Banachraum|Banachräume]] charakterisiert. Da Riesz an mehreren solchen Sätzen beteiligt war, werden verschiedene Sätze als Rieszscher Darstellungssatz bezeichnet.

== Motivation ==
In der Funktionalanalysis gewinnt man Informationen über die Struktur von [[Banachraum|Banachräumen]] aus dem Studium [[Lineare Abbildung|linearer]], [[Beschränkter Operator|stetiger]] [[Funktional]]e. So erlaubt beispielsweise der [[Trennungssatz]], mit ihrer Hilfe [[konvexe Menge]]n unter bestimmten Voraussetzungen voneinander zu trennen. Es ergibt sich damit als natürliche Aufgabe, den Raum aller solcher stetigen Funktionale – den [[Dualraum]] – näher zu studieren.

Dualräume von [[Normierter Raum|normierten Vektorräumen]] – und damit auch von Banachräumen – sind stets selbst Banachräume<ref name="werner1">{{BibISBN|9783540725336|Kommentar=Korollar II.2.2/4/5|Seite=58ff}}</ref>. Das konstante Funktional <math>x \mapsto 0</math> ist offenbar immer stetig und der [[Satz von Hahn-Banach]] sichert die Existenz „vieler“ weiterer stetiger Funktionale. Dieser Existenzsatz ist jedoch rein abstrakt und basiert auf nicht-[[Konstruktive Mathematik|konstruktiven]] Methoden wie dem [[Lemma von Zorn]]. Es liegt nun nahe, nach [[Isometrische Isomorphie|isometrischen Isomorphismen]] zwischen einem bekannten Raum und dem zu untersuchenden Dualraum zu suchen, um letzteren greifbar zu beschreiben.

In endlichdimensionalen Vektorräumen ist es leicht, Dualräume zu charakterisieren: Man betrachte als Beispiel ein Funktional <math>\varphi</math> aus dem Dualraum von <math>\R^2</math>, den man als <math>(\R^2)'</math> bezeichnet. Nach Ergebnissen der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] lässt es sich darstellen durch die [[Matrizenmultiplikation|Multiplikation]] mit einem [[Zeilenvektor]] von links:
:<math>x \mapsto \begin{pmatrix} f_1 & f_2 \end{pmatrix} x</math>
und folglich mithilfe des [[Standardskalarprodukt]]s auch als
:<math>x \mapsto \langle \vec f, x \rangle\;.</math>
Die Abbildung
:<math>
\begin{align}
\Phi \colon \R^2 &\to (\R^2)' \\
\vec f &\mapsto \langle \vec f, \cdot \rangle
\end{align}
</math>
ist [[bijektiv]] und [[Isometrie|isometrisch]]. Mithilfe von <math>\Phi</math> können wir also den Dualraum des <math>\R^2</math> mit dem <math>\R^2</math> selbst identifizieren.

Der Satz von ''Fréchet-Riesz'' verallgemeinert diese Erkenntnis auf allgemeine [[Hilbertraum|Hilberträume]], während der [[Darstellungssatz von Riesz-Markow]] den Dualraum von <math>C^0(K)</math>, dem Raum der stetigen Funktionen auf einem [[Kompakter Raum|kompakten]] [[Hausdorff-Raum]] <math>K</math>, charakterisiert. Eine weitere bekannte, mit dem Namen Riesz verbundene Dualitätsbeziehung ist die Identifizierung der Dualräume von [[Lp-Raum|<math>L^p</math>-Räumen]] mit den Räumen <math>L^q</math>, wobei <math>\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1</math>, siehe [[Dualität von Lp-Räumen|Dualität von <math>L^p</math>-Räumen]].

== Aussage ==
Sei <math>H</math> ein Hilbertraum. Dann existiert zu jedem stetigen, linearen Funktional <math>\alpha \in H'</math> genau ein <math>w \in H</math>, sodass gilt:
:<math>\begin{align}
\alpha(v) & = \langle v, w \rangle~~\forall\,v\in H \\
\|\alpha\| & =\|w\|
\end{align}</math>
Umgekehrt ist für gegebenes <math>w \in H</math> die Abbildung
:<math>v\mapsto \langle v, w \rangle</math>
ein stetiges Funktional mit Operatornorm <math>\|w\|</math>.

=== Beweis ===
Existenz: Sei <math>\alpha\colon H\rightarrow \mathbb{C}</math> ein stetiges, lineares Funktional.

Ist <math>\alpha = 0</math>, so wählt man <math>w=0</math>.

Ist <math>\alpha \neq 0</math>, dann ist sein [[Kern (Algebra)|Kern]] <math>U:=\operatorname{Ker}(\alpha )</math> ein [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossener]] Unterraum von <math>H</math>. 
Mit dem [[Projektionssatz]] folgt, dass <math>H=U\oplus U^\perp </math>. Da außerdem <math>U\neq H</math> folgt <math>U^\perp \neq \{0\} </math>.

Wähle <math>w_0\in U^\perp </math> mit <math>\|w_0\|=1</math>. Dann ist <math>\alpha (w_0)=c\neq 0</math>. Für <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> folgt nun aufgrund der Linearität von <math>\alpha</math>, dass <math>\alpha (\lambda w_0)= \lambda c</math>. Insbesondere stellt <math>\alpha</math> einen [[Isomorphismus]] zwischen <math>\operatorname{span}\{ w_0 \}</math> und <math>\mathbb{C}</math> dar. Nach dem [[Homomorphiesatz]] ist <math>\alpha </math> auch ein Isomorphismus zwischen <math>U^\perp = H/ \operatorname{Ker}(\alpha )</math> und <math>\mathbb{C}</math>. Aus diesem Grund folgt <math>U^\perp = \operatorname{span}\{w_0\}</math>. Nun ist jedes <math> v\in H </math> von der Form <math>v=\lambda w_0 + u</math> mit <math>u\in U</math> und <math>\lambda \in \mathbb{C}</math>.
Daher ist <math>\alpha(v)=\alpha(\lambda w_0 + u)=\lambda c </math>. Setzt man nun <math>w = c w_0</math>, dann gilt <math>u \perp w</math> und daher <math>\langle v, w\rangle = \langle \lambda w_0, w\rangle = \lambda c</math>. Wir folgern, dass <math>\alpha(v) = \langle v, w \rangle </math> gilt.

Für die Eindeutigkeit sei angenommen, es gebe einen weiteren Vektor <math>w^\prime</math> mit <math>\alpha (v) =\langle v,w^\prime\rangle </math>. Dann gilt für jedes <math>v\in H</math>, dass <math>\langle v,w-w^\prime\rangle =0</math>. Setzt man <math>v=w-w^\prime</math>, so folgt <math>0 = \langle w-w^\prime, w-w^\prime\rangle  = \|w-w^\prime\|^2</math>, also insbesondere, dass <math>w = w^\prime</math>.

== Dualität von ''L<sup>p</sup>''-Räumen ==
{{Hauptartikel|Dualität von Lp-Räumen|titel1=Dualität von L<sup>p</sup>-Räumen}}

Der Satz von Fréchet-Riesz kann, da jeder unendlich-dimensionale, separable Hilbertraum zu einem [[Lp-Raum|<math>L^2</math>-Raum]] isomorph ist, als Satz über <math>L^2</math>-Räume angesehen werden. Er lässt sich auf [[Lp-Raum|<math>L^p</math>-Räume]] verallgemeinern. Dieser in Kurzform <math>(L^p)\,'\cong L^q</math> lautende Satz wird oft als ''Satz von Riesz'', seltener als ''Rieszscher Darstellungssatz'', zitiert.

== Literatur ==
* {{BibISBN|9783540725336}}
* {{Literatur |Autor=Hans Wilhelm Alt |Titel=Lineare Funktionalanalysis |Auflage=5. |Verlag=Springer |Ort=Berlin, Heidelberg, New York |Datum=2006 |ISBN=978-3-540-34186-4}}
* {{BibISBN|3540204539}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)]]