Quelltext der Seite Diffusionskoeffizient

Der '''Diffusionskoeffizient''' <math>D</math>, auch '''Diffusionskonstante''' oder '''[[Diffusivität]]''' genannt, ist ein [[Transportkoeffizient]] und dient in den [[Diffusion#Erstes Ficksches Gesetz|Fickschen Gesetzen]] zur Berechnung des [[Thermodynamik|thermisch]] bedingten Transports eines [[Chemischer Stoff|Stoffes]] aufgrund der [[Brownsche Bewegung|zufälligen Bewegung]] der [[Teilchen]]. Dabei kann es sich um einzelne [[Atom]]e in einem [[Feststoff]] oder um Teilchen in einem [[Gas]] oder einer [[Flüssigkeit]] handeln. Der Diffusionskoeffizient ist daher ein Maß für die [[Beweglichkeit (Physik)|Beweglichkeit]] der Teilchen und lässt sich nach der [[Einstein-Smoluchowski-Gleichung]] aus dem  durchschnittlichen Quadrat der zurückgelegten [[Freie Weglänge|Wegstrecke]] <math>\langle x^2\rangle</math> pro Zeit <math>t</math> ermitteln:

:<math>D = \frac{\langle x^2\rangle}{2t}</math> (oder alternativ mittels der [[Green-Kubo-Relationen]]).

Die [[SI-Einheit]] des Diffusionskoeffizienten ist daher <math>\mathrm{m^2/s}</math>. Zur Angabe des Diffusionskoeffizienten gehört immer die Angabe, welcher Stoff in welchem Stoff [[Diffusion|diffundiert]], sowie als wichtigste Einflussgröße die [[Temperatur]].

== In Gasen ==
{| class="wikitable float-right"
|+Beispiele für Diffusionskoeffizienten in Gasen (bei 1 [[Physikalische Atmosphäre|atm]])
!System
!Temperatur in °C
!Diffusionskoeffizient in m²/s
|-
| [[Luft]] – [[Sauerstoff]]
| 0
| 1,76 × 10<sup>−5</sup>
|-
|rowspan="2"| Luft – [[Kohlendioxid]]
| 8,9
| 1,48 × 10<sup>−5</sup>
|-
| 44,1
| 1,77 × 10<sup>−5</sup>
|-
| [[Wasserstoff]] – [[Stickstoff]]
| 24,1
| 7,79 × 10<sup>−5</sup>
|}Diffusionskoeffizienten in Gasen<ref name="Cussler">E. L. Cussler: ''Diffusion – Mass Transfer in Fluid Systems''. Cambridge University Press, Cambridge/New York, 1997, ISBN 0-521-56477-8.</ref><ref>{{Literatur|Autor=T. R. Marrero, E. A. Mason|Titel=Gaseous Diffusion Coefficients|Sammelwerk=Journal of Physical and Chemical Reference Data|Band=1|Nummer=1|Datum=1972-01-01|Seiten=3–118|ISSN=0047-2689|DOI=10.1063/1.3253094|Online=https://srd.nist.gov/JPCRD/jpcrd1.pdf|Abruf=2017-10-08}}</ref> sind stark abhängig von Temperatur und [[Druck (Physik)|Druck]]. In erster Näherung gilt, dass eine Verdopplung des Druckes zur Halbierung des Diffusionskoeffizienten führt.

Der Diffusionskoeffizient folgt gemäß der [[Sydney Chapman|Chapman]]-[[David Enskog|Enskog]]-Theorie folgender Gleichung für zwei gasförmige Stoffe (Indizes&nbsp;1 und&nbsp;2):<ref name="Hirschfelder" />

::<math>D_{12}=\frac{3}{8}\left(\frac{N}{\pi}\frac{M_1+M_2}{2M_1M_2}\right)^\frac{1}{2}\frac{\left(k_\mathrm{B}T\right)^\frac{3}{2}}{p\sigma_{12}^2\Omega_{12}^*}</math>
mit den physikalischen Größen
* <math>D_{12}</math> – Diffusionskoeffizient
* ''N'' – [[Avogadro-Konstante]]
* ''M''<sub>1,2</sub> – [[molare Masse]]n der Stoffe
* ''k''<sub>B</sub> – [[Boltzmann-Konstante]]
* ''T'' – [[Temperatur]]
* ''p'' – Druck
* <math>\sigma_{12}=\frac{\sigma_1 + \sigma_2}{2}</math> – (mittlerer) Kollisionsdurchmesser (Werte tabelliert<ref name="Hirschfelder">J. Hirschfelder, C. F. Curtiss, R. B. Bird: ''Molecular Theory of Gases and Liquids''. Wiley, New York, 1954, ISBN 0-471-40065-3</ref>)
* <math>\Omega_{12}</math> – Kollisionsintegral, abhängig von Temperatur und Stoffen (Werte tabelliert<ref name="Hirschfelder" />, Größenordnung: 1).

Für die [[Diffusion#Selbstdiffusion|Selbstdiffusion]] (d.&nbsp;h. für den Fall, dass nur eine Teilchensorte vorhanden ist) vereinfacht sich o.&nbsp;g. Zusammenhang zu:<ref name="Strömumngsmechanik">Franz Durst: ''Grundlagen der Strömungsmechanik: Eine Einführung in die Theorie der Strömung von Fluiden''. Springer, Berlin, 2006, ISBN 3-540-31323-0.</ref>

:<math>D = \frac{1}{3} \bar v \, l = \frac{2}{3} \frac{1}{n \, d^2} \sqrt{\frac{k_\mathrm{B} \, T}{\pi^3 \, m}}</math>

mit
* <math>\bar v </math> – mittlere thermische Geschwindigkeit der Teilchen
* ''l'' – [[mittlere freie Weglänge]]
* ''n'' – [[Teilchenzahldichte]]
* ''d'' – Teilchendurchmesser
* ''k''<sub>B</sub> – [[Boltzmann-Konstante]]
* ''m'' – Molekülmasse

{{Absatz}}

== In Flüssigkeiten ==
{| class="wikitable float-right"
|+Beispiele für Diffusionskoeffizienten in [[Wasser]] (bei unendlicher Verdünnung und 25&nbsp;°C)
!Stoff
!Diffusionskoeffizient in m²/s
|-
| Sauerstoff
| 2,4 × 10<sup>−9</sup>
|-
| [[Schwefelsäure]]
| 1,73 × 10<sup>−9</sup>
|-
|[[Ethanol]]
| 0,84 × 10<sup>−9</sup>
|}
[[Datei:D sphere in water Tdependence.svg|mini|Temperaturabhängigkeit des Diffusionskoeffizienten von 100-nm-Kügelchen (''R<sub>0</sub>=50''nm) in Wasser]]
Diffusionskoeffizienten in Flüssigkeiten<ref name="Cussler" /> betragen in der Regel etwa ein Zehntausendstel von Diffusionskoeffizienten in Gasen. Sie werden beschrieben durch die [[Stokes-Einstein-Gleichung]]:<ref name="Einstein">A. Einstein: [http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/einstein-papers/1905_17_549-560.pdf Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen] (PDF; 733&nbsp;kB), ''Annalen der Physik''. 17, 1905, S. 549ff.</ref>

:<math>D = \frac{k_\mathrm{B} \, T}{6 \, \pi \, \eta \, R_0}</math>

mit
* ''k''<sub>B</sub> – [[Boltzmann-Konstante]]
* ''T'' – Temperatur
* ''η'' – dynamische [[Viskosität]] des [[Lösungsmittel]]s
* ''R<sub>0</sub>'' – [[hydrodynamischer Radius]] der diffundierenden Teilchen

Auf dieser Gleichung basieren viele [[empirisch]]e [[Korrelation]]en.

Die Viskosität des Lösungsmittels ist eine Funktion der Temperatur. Die Abhängigkeit des Diffusionskoeffizienten von der Temperatur ist nichtlinear.

Diffusionskoeffizienten in Mischungen von Flüssigkeiten sind schwer zu beschreiben und nur wenige Modelle hierzu verfügbar, z.&nbsp;B. die Entropieskalierung<ref>{{Literatur |Autor=Sebastian Schmitt, Hans Hasse, Simon Stephan |Titel=Entropy scaling for diffusion coefficients in fluid mixtures |Sammelwerk=Nature Communications |Band=16 |Nummer=1 |Datum=2025-03-17 |ISSN=2041-1723 |DOI=10.1038/s41467-025-57780-z |PMC=11914492 |PMID=40097384 |Online=https://www.nature.com/articles/s41467-025-57780-z |Abruf=2025-04-10}}</ref>.
{{Absatz}}

== In Feststoffen ==
{| class="wikitable float-right"
|+Beispiele für Diffusionskoeffizienten in Feststoffen
!System
!Temperatur in °C
!Diffusionskoeffizient in m²/s
|-
|rowspan="3"| Wasserstoff in [[Eisen]]
| 10
| 1,66 × 10<sup>−13</sup>
|-
| 50
| 11,4 × 10<sup>−13</sup>
|-
| 100
| 124 × 10<sup>−13</sup>
|-
|rowspan="2"| [[Kohlenstoff]] in Eisen
| 800
| 15 × 10<sup>−13</sup>
|-
| 1100
| 450 × 10<sup>−13</sup>
|-
| [[Gold]] in [[Blei]]
| 285
| 0,46 × 10<sup>−13</sup>
|}
Diffusionskoeffizienten in Feststoffen<ref name="Cussler" /> sind in der Regel mehrere tausend Mal kleiner als Diffusionskoeffizienten in Flüssigkeiten.

Für die Diffusion in Festkörpern sind Sprünge zwischen verschiedenen [[Atomgitter|Gitterplätzen]] erforderlich. Dabei müssen die Teilchen eine Energiebarriere&nbsp;E überwinden, was bei höherer Temperatur leichter möglich ist als bei niedrigerer. Dies wird beschrieben durch den Zusammenhang:<ref name="Jost">W. Jost: ''Diffusion in solids, liquids and gases''. Academic Press Inc., New York, 1960.</ref>

:<math>D = D_0 \, \exp\left(-\frac{E}{R \, T}\right)</math>

mit
* ''E'' – Energiebarriere
* ''R'' – [[allgemeine Gaskonstante]]
* ''T'' – Temperatur.

D<sub>0</sub> lässt sich näherungsweise berechnen als:

::<math>D_0 \approx \alpha_0^2 \, N \, \omega</math>

mit
* ''α<sub>0</sub>'' – [[Atomabstand]]
* ''N'' – Anteil der vakanten Gitterplätze
* ''ω'' – Sprungfrequenz

Allerdings empfiehlt es sich, insbesondere Diffusionskoeffizienten in Feststoffen experimentell zu bestimmen.
{{Absatz}}

== Effektiver Diffusionskoeffizient ==
Der effektive Diffusionskoeffizient<ref name="Grathwohl">P. Grathwohl: ''Diffusion in natural porous media: Contaminant transport, sorption/desorption and dissolution kinetics''. Kluwer Academic Publishers, 1998, ISBN 0-7923-8102-5.</ref> <math>D_e</math> beschreibt Diffusion durch den Porenraum [[Poröses Medium|poröser Medien]]. Da er nicht einzelne [[Pore]]n, sondern den gesamten Porenraum betrachtet, ist er eine [[makroskopisch]]e Größe:

:<math>D_e = \frac{\varepsilon_t \, \delta}{\tau} \, D</math>

mit
* ''ε<sub>t</sub>'' – [[Porosität]], die für den Transport zur Verfügung steht; sie entspricht der Gesamtporosität abzüglich Poren, die aufgrund ihrer Größe für die diffundierenden Teilchen nicht zugänglich sind, und abzüglich Sackgassen- und blinder Poren (Poren ohne Verbindung zum restlichen Porensystem)
* ''δ'' – [[Konstriktivität]]; sie beschreibt die Verlangsamung der Diffusion durch eine Erhöhung der [[Viskosität]] in engen Poren als Folge der größeren durchschnittlichen Nähe zur Porenwand und ist eine Funktion von Porendurchmesser und Größe der diffundierenden Teilchen.
* ''τ'' – [[Tortuosität]]&nbsp;(„Gewundenheit“)

== Scheinbarer Diffusionskoeffizient ==
Der scheinbare (apparente) Diffusionskoeffizient<ref name="Grathwohl" /> erweitert den effektiven Diffusionskoeffizienten um den Einfluss der [[Sorption]].

Für lineare Sorption berechnet er sich zu:

:<math>D_a = \frac{D_e}{1 + \frac{K_d \, \rho}{\epsilon}}</math>

mit
* ''K<sub>d</sub>'' – linearer Sorptionskoeffizient
* ''ρ'' – [[Rohdichte]]
* ''ε'' – Porosität

Bei nichtlinearer [[Sorptionsisotherme]] ist der scheinbare Diffusionskoeffizient stets eine Funktion der [[Konzentration (Chemie)|Konzentration]], was die Berechnung der Diffusion erheblich erschwert.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Statistische Physik]]
[[Kategorie:Physikalische Chemie]]