Quelltext der Seite Dreieckszahl

[[Datei:Triangular number 10 as sum of gnomons.svg|gerahmt|Ein Dreieck aus zehn Steinen]]
Eine '''Dreieckszahl''' ist eine Zahl, die sich als Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis zu einer Obergrenze <math>n</math> darstellen lässt, wie z.&#8239;B. die <math> 10 \,=\, 1 + 2 + 3 + 4</math>. Die ersten Dreieckszahlen sind:
: 0, 1, [[Drei#Mathematik|3]], [[Sechs#Mathematik|6]], [[Zehn#Mathematik|10]], [[Fünfzehn#Mathematik|15]], 21, 28, 36, 45, 55, … ({{OEIS|A000217}})
Für einige Autoren ist die 0 keine Dreieckszahl, für diese beginnt die Zahlenfolge erst mit der 1.

Die Bezeichnung „Dreieckszahl“ leitet sich von der [[Geometrische Figur|geometrischen Figur]] des [[Dreieck]]s her. Die Anzahl der Steine, die man zum Legen eines (gefüllten) [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitigen Dreiecks]] benötigt, entspricht immer einer Dreieckszahl. Aus zehn Steinen lässt sich beispielsweise ein Dreieck legen, dessen Seiten aus je vier Steinen gebildet werden.

Aufgrund dieser Verwandtschaft mit einer geometrischen Figur zählen die Dreieckszahlen zu den [[Figurierte Zahl|figurierten Zahlen]], zu denen auch die [[Quadratzahl]]en und [[Kubikzahl]]en gehören. Schon [[Pythagoras von Samos|Pythagoras]] hat sich mit Dreieckszahlen beschäftigt.<ref>[[Leonard Eugene Dickson]]: ''History of the Theory of Numbers.'' Volume 2: ''Diophantine Analysis.'' Dover Publications, Mineola NY 2005, ISBN 0-486-44233-0, S. 1.</ref>

== Berechnung ==
[[Datei:Dreieckzahlen.jpg|mini|Eine Möglichkeit, die (rot geschriebenen) Dreieckszahlen zu bestimmen]]
Die <math>n</math>-te Dreieckszahl ist die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis <math>n</math>.

:<math>\begin{align}
\Delta_1 &= 1             &=&\ 1\\
\Delta_2 &= 1 + 2         &=&\ 3\\
\Delta_3 &= 1 + 2 + 3     &=&\ 6\\
\Delta_4 &= 1 + 2 + 3 + 4 &=&\ 10\\
         & \qquad \vdots  &
\end{align}</math>

Anstatt die einzelnen Zahlen zu addieren, können Dreieckszahlen auch durch die [[gaußsche Summenformel]] berechnet werden:
:<math>\Delta_n = \frac {n \cdot (n+1)}{2}</math>
Die rechte Seite ist identisch mit dem [[Binomialkoeffizient]]en <math>n+1</math> über 2:
:<math>\Delta_n = {n+1 \choose 2}</math>

Diese Formel lässt sich durch Auslegen der Dreieckszahl veranschaulichen. Die Dreieckszahl lässt sich als Dreieck oder Treppe auslegen. Das Doppelte einer Dreieckszahl entspricht zwei gleichen Treppen, die sich zu einem Rechteck zusammenfügen lassen.
: [[Datei:3eckszahl rechteck.PNG|110px]]
Dieses Rechteck ist <math>n</math> Kugeln hoch und <math>n + 1</math> Kugeln breit und enthält somit <math>n \cdot (n + 1)</math> Kugeln. Eine Dreieckszahl entspricht der Hälfte der Kugeln, woraus sich die oben genannte Formel für Dreieckszahlen ergibt.

== Eigenschaften ==
* Alle Dreieckszahlen größer als 3 sind [[zusammengesetzte Zahl]]en.
* Die Summe der ersten ''n'' [[Kubikzahl]]en ist gleich dem [[Quadratzahl|Quadrat]] der ''n''-ten Dreieckszahl [Bsp.: 1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 10<sup>2</sup>]
* Die Differenz der [[Quadratzahl|Quadrate]] zweier aufeinander folgender Dreieckszahlen ergibt eine [[Kubikzahl]].<br />Dies lässt sich aus der darüber stehenden Eigenschaft ableiten. Da das Quadrat der n-ten Dreieckszahl aus der Summe der ersten n Kubikzahlen gebildet wird und das Quadrat der (n+1)-ten Dreieckszahl aus der Summe der ersten n+1 Kubikzahlen gebildet wird, muss als Differenz die (n+1)-te Kubikzahl herauskommen.
* Jede gerade [[vollkommene Zahl]] ist auch eine Dreieckszahl:<br />Nach [[Leonhard Euler]] lässt sich eine gerade vollkommene Zahl durch die Formel <math>(2^n-1)\cdot 2^{n-1}</math> darstellen, wobei <math>2^n-1\ </math> eine Primzahl ([[Mersenne-Primzahl]]) sein muss. Wenn man die Formel <math>(2^n-1)\cdot 2^{n-1}</math> mit 2 [[Erweitern|erweitert]] und <math>2^n\ </math> durch <math>m\ </math> substituiert, kommt man auf die Formel, die eine Dreieckszahl darstellt:
::<math>(2^n-1)\cdot 2^{n-1} = \frac{(2^n-1)\cdot 2^{n-1}\cdot 2}{2} = \frac{(2^n-1)\cdot 2^n}{2} = \frac{(m-1)\cdot m}{2} </math>
* Die Summe zweier Dreieckszahlen ist nicht kongruent 5 (mod 9).
* <math>\Delta_n \equiv\{1,n/2+2\}\mod{n+2}</math>, wenn <math>n=\{\mathrm{ungerade}, \mathrm{gerade}\}</math>.
* Es gilt: <math>\Delta_{n+1} = (2n+1) + \Delta_{n-1}.</math>
* Das Achtfache einer Dreieckszahl plus 1 ergibt das Quadrat einer ungeraden Zahl: 
::<math>8\cdot \Delta_n + 1 = (2n + 1)^2</math>
::{| style="text-align:center"
|-
| [[Datei:8 3eckszahl 3.PNG|150px]] 
| [[Datei:8 3eckszahl 4.PNG|150px]]
|- 
| n&#8239;=&#8239;3 (7 Reihen) 
| n&#8239;=&#8239;4 (9 Reihen)
|}
* Folgenden Beziehungen zwischen Dreieckszahlen lassen sich für n = 5 grafisch veranschaulichen.<ref>Roger B. Nelsen: ''Beweise ohne Worte'', Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, [[Springer Spektrum]], Springer-Verlag [[Berlin]] [[Heidelberg]] 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 116</ref>
::{| style="text-align:center; font-size:90%"
| <math> \Delta_{2n}   = </math> <br> <math> 3\Delta_n+\Delta_{n-1} </math>  
| <math> \Delta_{2n+1} = </math> <br> <math> 3\Delta_n+\Delta_{n+1} </math> 
| <math> (2n+1)^2      = </math> <br> <math> \Delta_{n-1} \!+\! 6\Delta_n \!+\! \Delta_{n+1} </math> 
|-
| [[Datei:Dreieckszahlen 1.svg|150px]] 
| [[Datei:Dreieckszahlen 2.svg|150px]] 
| [[Datei:Dreieckszahlen 3.svg|150px]]
|}
* Die n-te Dreieckszahl ist gleich der Differenz der n-ten zentrierten Neuneckszahl und der n-ten zentrierten Achteckszahl:
::<math>\Delta_n = (1+3n)\cdot(2+3n)/2 - (1+2n)^2</math>.
:Diese Identität (mit der jeweils n-ten) ist die Minimallösung von jeweils abzählbar unendlich vielen Lösungen (siehe [[Quadratzahl#Dreieckszahlen|hier]]).
* Addiert man zu den Dreieckszahlen jeweils Eins, so erhält man die Folge der [[Zentralpolygonale Zahlen|zentralpolygonalen Zahlen]] (auch ''Zahlenfolge des faulen Kellners'') genannt:
:: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191, 211, …({{OEIS|A000124}})

== Summe dreier Dreieckszahlen ==
[[Pierre de Fermat]] stellte die Vermutung auf, dass sich jede natürliche Zahl als Summe von höchstens drei Dreieckszahlen darstellen lässt. Diese Vermutung wurde von [[Carl Friedrich Gauß]] bewiesen, der am 10. Juli 1796 in sein Tagebuch schrieb:<ref>[[Hubert Mania]]: ''Gauß. Eine Biographie.'' Rowohlt, Reinbek bei Hamburg 2008, ISBN 978-3-498-04506-7, S. 108.</ref>
: [[Heureka|EYPHKA]] num = Δ + Δ + Δ.
Die allgemeinere Aussage ist als [[fermatscher Polygonalzahlensatz]] bekannt.

== Beziehungen zu Quadratzahlen ==

=== Nachfolger der Summe zweier vierfacher Dreieckszahlen ===
: <math>\begin{align}4 \cdot \Delta_i + 4 \cdot \Delta_j + 1 &= (i - j)^2 + (1 + i + j)^2\end{align}</math>
Der Nachfolger der Summe zweier vierfacher Dreieckszahlen ist die Summe zweier Quadratzahlen verschiedener [[Parität]].

=== Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen ===
[[Datei:Square number 25 as sum of two triangular numbers.svg|rechts|gerahmt|10 + 15 = 25]]
Die Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen ergibt eine Quadratzahl. Das nebenstehende Bild zeigt beispielhaft, wie sich die Dreieckszahlen <math>\Delta_4 = 10</math> und <math>\Delta_5 = 15</math> zur Quadratzahl 25 addieren.

Dieses Phänomen lässt sich auch durch eine Formel beschreiben.
: <math>\begin{align}
\Delta_{n-1} + \Delta_n &= \frac{n(n-1)}{2} + \frac{(n+1)n}{2}\\
                        &= n^2
\end{align}</math>

Für eine andere Erklärung dieses Phänomens zerlegt man die Dreieckszahl <math>\frac{n\cdot (n+1)}{2}</math> in die Summe von <math>n</math> und der vorhergehenden Dreieckszahl <math>\frac{(n-1)\cdot n}{2}</math>: [[Datei:3eckszahl02.PNG]]. Dementsprechend gilt <math>2\cdot \frac{(n-1)\cdot n}{2} + n = (n-1)\cdot n + n = n^2 - n + n = n^2</math> [[Datei:3eckszahl03.PNG]]

Dass sich zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen zu einer Quadratzahl addieren, wurde schon im 2.&nbsp;Jahrhundert vom griechischen Mathematiker [[Theon von Smyrna]] in seinem Werk „Das an mathematischem Wissen für die Lektüre Platons Nützliche“ niedergeschrieben.<ref>Leonard Eugene Dickson: ''History of the Theory of Numbers.'' Volume 2: ''Diophantine Analysis.'' Dover Publications, Mineola NY 2005, ISBN 0-486-44233-0, S. 2</ref>

=== Alternierende Summe von Quadratzahlen ===
Nimmt man die Quadratzahl <math>n^2</math> und subtrahiert und addiert abwechselnd die kleineren Quadratzahlen, dann erhält man als Ergebnis die <math>n</math>-te Dreieckszahl. Beispielsweise berechnen sich die vierte und fünfte Dreieckszahl wie folgt:
: <math>16 - 9 + 4 - 1 = 10 = \Delta_4</math>
: <math>25 - 16 + 9 - 4 + 1 = 15 = \Delta_5</math>

Indem man sich zunutze macht, dass jede Quadratzahl die Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen ist, kann man diesen Zusammenhang anhand seiner geometrischen Veranschaulichung erklären.
: [[Datei:Triangular number 10 as alternating sum of square numbers.svg]]
Man sieht, dass (mit Ausnahme des größten) jedes Dreieck in der Summe genau zweimal vorkommt: je einmal mit Plus und mit Minus. Dadurch heben sich die kleinen Dreiecke in der Summe gegenseitig auf, und übrig bleibt allein das große Dreieck.

Mit Hilfe des mathematischen Wortschatzes lässt sich obiger Sachverhalt sehr kurz wiedergeben: Die <math>n</math>-te Dreieckszahl ist die alternierende Summe der Quadratzahlen von <math>n^2</math> bis 1. Die entsprechende mathematische Formel ist
: <math>\Delta_n = \sum_{i=1}^n (-1)^{n+i} \cdot i^2</math>

=== Quadrat-Dreieckszahlen ===
Quadrat-Dreieckszahlen sind Dreieckszahlen, die gleichzeitig Quadratzahlen sind. Die ersten Quadrat-Dreieckszahlen lauten
: <math>n = 0,\ 1,\ 36,\ 1225,\ 41616,\ 1413721,\ 48024900,\ 1631432881, \ldots\qquad</math> {{OEIS|A001110}}
Dies sind die Dreieckszahlen mit den Indizes
: <math>a = 0,\ 1,\ 8,\ 49,\ 288,\ 1681,\ 9800,\ 57121, \ldots\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad</math> {{OEIS|A001108}}

Damit eine Zahl <math>n</math> sowohl Dreiecks- wie  [[Quadratzahl]] sein kann, muss für diese Zahl
:<math>n = \frac{a\cdot (a+1)}{2} = b^2</math>
gelten.
Von den beiden Faktoren <math>a\ </math> und <math>a+1\ </math> muss einer eine ungerade Quadratzahl und der andere das Doppelte einer Quadratzahl sein. Denn die beiden aufeinanderfolgenden Zahlen sind immer [[Teilerfremdheit|teilerfremd]]; insbesondere ist immer eine der beiden ungerade, und die andere ist gerade. Die gerade Zahl ist deshalb das Doppelte einer Quadratzahl, und die ungerade Zahl ist selbst eine (ungerade) Quadratzahl.

Die Quadrat-Dreieckszahlen lassen sich wie folgt berechnen:
:<math>(\ \ \ \ 1 \cdot\ \ \ \ 1)^2</math>
:<math>(\ \ \ \ 2 \cdot\ \ \ \ 3)^2</math>
:<math>(\ \ \ \ 5 \cdot\ \ \ \ 7)^2</math>
:<math>(\ \ 12 \cdot\ \ 17)^2</math>
:<math>(\ \ 29 \cdot\ \ 41)^2</math>
:<math>(\ \ 70 \cdot\ \ 99)^2</math>
:<math>(169 \cdot 239)^2</math>

Hierbei ist die erste Basis jeder Zeile die Summe der beiden Basen der vorausgehenden Zeile, und die zweite Zahl ist um die erste Zahl der Vorzeile höher:
:<math>(k \cdot l)^2  \longrightarrow \big((k+l) \cdot (2k+l)\big)^2</math>

Da sich der Quotient <math>\tfrac{k^2}{l^2}</math> asymptotisch der <math>2</math> nähert, nähert sich <math>\tfrac{k}{l}</math> asymptotisch dem Wert <math>\sqrt{2}</math>. Daraus folgt, dass der Faktor, um von einer Quadrat-Dreieckszahl zur nächsten zu gelangen, asymptotisch den Wert <math>(1 + \sqrt{2})^4 = 17 + 12\cdot \sqrt{2}</math> anstrebt. Dementsprechend gibt es unendlich viele Quadrat-Dreieckszahlen.

Die Quadrat-Dreieckszahlen sind immer abwechselnd gerade und ungerade, mit 36er-Rest im Wechsel 0 und 1. Die geraden lassen sich aus der jeweils kleineren Quadrat-Dreieckszahl <math>n_k</math> nach der Formel <math>n_{2k} = 4 n_k \cdot (8 n_k + 1)</math> berechnen.

== Dreieckszahlen und zentrierte Polygonalzahlen ==
[[Zentrierte Polygonalzahl]]en stehen im Zusammenhang mit [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßigen Polygonen]], die nach folgendem Muster gelegt werden: Ein einzelner Stein liegt im Mittelpunkt des Polygons. Um diesen Stein werden weitere Polygone gelegt, wobei sich deren Seitenlängen von innen nach außen jeweils um eins erhöhen.

Diese Muster können auch nach einer anderen Regel gelegt werden. Wieder wird mit dem einzelnen Stein in der Mitte begonnen. Doch im zweiten Schritt werden für die <math>n</math>-te zentrierte <math>k</math>-Eckszahl <math>k</math> Dreiecke nach dem Muster der <math>(n-1)</math>-ten Dreieckszahl um das Zentrum herumgelegt. Das folgende Bild zeigt dies für die erste bis vierte [[zentrierte Quadratzahl]].
: [[Datei:Zentrierte Quadratzahl3.PNG]]
Daraus folgt für die <math>n</math>-te zentrierte <math>k</math>-Eckszahl folgende Formel:
:<math>1 + k \cdot \Delta_{n-1} = 1 + \frac{kn(n-1)}{2}</math>

Die Summe dreier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen ist eine zentrierte Dreieckszahl.
Da bei Dreieckszahlen der Modul 3 den Zyklus (1,0,0) aufweist, ist jede zentrierte Dreieckszahl äquivalent 1 (mod 3).

== Zahlenpalindrome unter den Dreieckszahlen ==
Unter den Dreieckszahlen gibt es mehrere [[Zahlenpalindrom]]e. Beispiele sind
: 1, 3, 6, 55, 66, 171, 595, 666, 3003, 5995, 8778, … ({{OEIS|A003098}})
Unter diesen sind die 11te, die 1.111te, die 111.111te und die 11.111.111te Dreieckszahl. Für die 1.111te und die 111.111te Dreieckszahl hat dies [[Charles Trigg]] herausgefunden.

== Reihe der Kehrwerte ==
[[Datei:Dreieckszahlen reziprok.svg|mini|hochkant=2|Geometrische Interpretation der Kehrwertreihe<ref>Roger B. Nelsen: ''Beweise ohne Worte'', Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, [[Springer Spektrum]], Springer-Verlag [[Berlin]] [[Heidelberg]] 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 191</ref>]]
Die Summe der [[Kehrwert]]e aller Dreieckszahlen ist

: <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\Delta_n} = \frac{2}{1 \cdot 2} + \frac{2}{2 \cdot 3} + \frac{2}{3 \cdot 4} + \dots = 2</math>

Lösung nach [[Gottfried Wilhelm Leibniz]], mit <math>\frac1{\Delta_n}=\frac2{n(n+1)}=\frac{2(n+1)-2n}{n(n+1)}=\frac2n-\frac2{n+1}</math>,
:<math>\begin{align}
1/\Delta_1 &= \tfrac{1}{1}  &= \tfrac21\color{Red}-\tfrac22\\
1/\Delta_2 &= \tfrac{1}{3}  &= \color{Red}\tfrac22-\tfrac{2}{3}\\
1/\Delta_3 &= \tfrac{1}{6}  &= \color{Red}\tfrac{2}{3}- \color{Red}\tfrac{2}{4}\\
1/\Delta_4 &= \tfrac{1}{10} &= \color{Red}\tfrac{2}{4}- \color{Red}\tfrac{2}{5}\\
1/\Delta_5 &= \tfrac{1}{15} &= \color{Red}\tfrac{2}{5}- \color{Red}\tfrac{2}{6}\\
1/\Delta_6 &= \tfrac{1}{21} &= \color{Red}\tfrac{2}{6}- \color{Red}\tfrac{2}{7}\\
         & \qquad \vdots & \qquad \vdots
\end{align}</math>

:<math>\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\Delta_i} = \left(\frac21-\frac22\right) + \left(\frac22-\frac{2}{3}\right) + \left(\frac{2}{3}-\frac{2}{4}\right) + \dots + \left(\frac{2}{n-1}-\frac{2}{n}\right) + \left(\frac{2}{n}-\frac{2}{n+1}\right) = \frac21 - 0 - 0 - \dots - 0 - \frac{2}{n+1} = 2-\frac{2}{n+1} = \frac{2n}{n+1}</math>

:<math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\Delta_n} = \frac{1}{1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{21} + \dots = 2</math>

== Dreieckswurzel ==
Analog zur [[Quadratwurzel]] bei der Quadratzahl lässt sich auch mit der Dreieckswurzel ''n'' die Seitenlänge einer Dreieckszahl <math>\Delta</math> bestimmen:
:<math>n = \frac{\sqrt{8\Delta+1}-1}{2}.</math>
So wird z.&nbsp;B. die Dreieckszahl <math>\Delta_4=10</math> aus <math>n=4</math> Reihen gebildet.

Mit Hilfe der Dreieckswurzel lässt sich die [[Cantorsche Paarungsfunktion]] umkehren.

== Diverses ==
[[Datei:Irene Schramm-Biermann d Serie Sichtbare Mathematik.JPG|mini|[[Irene Schramm-Biermann]]. Serie Sichtbare Mathematik.
Visualisierung von Dreieckszahlen und deren Berechnung mit Hilfe der Gaußschen Summenformel]]
* Die zehnte, hundertste, tausendste, zehntausendste usw. Dreieckszahl ist 55, 5.050, 500.500, 50.005.000 usw. ([[OEIS]], [https://oeis.org/A037156 A037156]).
: Allgemein gilt <math>\Delta_{10^n} = \frac{10^{2n} + 10^n}{2} = 5 \cdot (10^{2n-1}+10^{n-1}).</math>
* Die Dreiecksfolgen zerfallen in zwei Teilfolgen. Die Glieder der Folge 3, 10, 21, 36, 55, 78, … ([[OEIS]], [https://oeis.org/A014105 A014105]) lassen sich über die Formel <math>n \cdot (2n+1)</math> bilden (siehe auch [[Sophie-Germain-Primzahl]]). Für die andere Hälfte, die [[Sechseckszahl]]en 1, 6, 15, 28, 45, 66, … (OEIS, [https://oeis.org/A000384 A000384]), gilt die Bildungsregel <math>n \cdot (2n-1)</math>.
* Der [[Puerto Rico|puerto-ricanische]] Mathematiker Pedro Antonio Pizá fand 1950 die Beziehung
:<math>3 \cdot \left( \sum_{k=1}^n \Delta_k \right)^3 = \sum_{k=1}^n \Delta_k^3 + 2 \cdot \sum_{k=1}^n \Delta_k^4 = \frac{1}{72}n^3(n+1)^3(n+2)^3</math>
: zwischen Summen und Potenzen von Dreieckszahlen.<ref>Pedro Antonio Pizá: ''Sums of Powers of triangular numbers.'' In: Scripta Mathematica 16 (1950), S. 127.</ref>
* Die Anzahl der Diagonalen im [[Konvexe Menge|konvexen]] [[Polygon|<math>n</math>-Eck]] beträgt <math>\Delta_{n-2}-1 = \frac{n(n-3)}{2}</math>.
* Die Folge der [[Zentralpolygonale Zahlen|zentralpolygonalen Zahlen]] (auch als Zahlenfolge des faulen Kellners bezeichnet) erhält man, indem man zu den Dreieckszahlen jeweils die Zahl 1 addiert.
* Für die Abrundungsfunktion gilt: <math>\lfloor 2 \sqrt{\Delta_n}\rfloor = \lfloor (n + \frac{1}{2}) \sqrt{2}\rfloor</math>.
* Der Modulrest ist alternierend in n: <math>T(n)\equiv \{(r + 1)/2 + \lfloor{r^2/2}\rfloor,T(r + 1)\}\mod{n + r},0 \le (r - 1)^2 + 1 \le n</math> wenn n {ungerade,gerade} ist und r ungerade, aber <math>T(n)\equiv \{T(r + 1),r/2 + \lfloor{r^2/2}\rfloor\}\mod{n + r},0 \le (r - 1)^2 + 1 \le n</math> wenn r gerade ist.
* [[Datei:Dreieckssatz.png|mini|Visualisierung für Tripel(2,2,3)]]Für alle <math>a > 1</math>, aber nur für bestimmte Tripel <math>(a,b,c)</math> mit <math>1< a\le b< c</math> gilt <math>\Delta_a + \Delta_b = \Delta_c</math> (OEIS, [https://oeis.org/A012132 A012132]); für stumpfwinkelige Dreiecke (a,b,c) gilt: <math>\csc (\phi) = 1 + a + b + c = -\frac{2 a b}{a^2 + b^2 - c^2}</math>; für spitzwinkelige Dreiecke (a+1,b+1,c+1) gilt: <math>\csc (\phi) = (-1) + (a+1) + (b+1) + (c+1) = \frac{2 (a+1) (b+1)}{(a+1)^2 + (b+1)^2 - (c+1)^2}</math>. Dies gilt auch mit reellen Strecken, <math>a(a+1)+b(b+1)=c(c+1), a+b-c \ne 0</math>, bspw. [[Ganze Zahl|ganzzahlig]]: (-1, -1, -1), (-2, -1, 1), (-1, 1, 1), (2, 2, 3), da diese Strecken die Elemente eines [[Hilbert-Raum]]s sind.

== Verallgemeinerungen ==
siehe ''Hauptartikel: [[Polygonalzahl]], [[Figurierte Zahl#Reguläre figurierte Zahlen|reguläre figurierte Zahl]]''

Es gibt im Wesentlichen zwei Verallgemeinerungen der Dreieckszahlen. Bleibt man in der Ebene, dann kann man das Konstruktionsprinzip der Dreieckszahlen auf Polygone mit mehr Ecken anwenden. Dadurch entstehen die Polygonalzahlen, zu denen beispielsweise die [[Quadratzahl]]en und die [[Fünfeckszahl]]en zählen.

Die zweite Verallgemeinerung besteht darin, die Ebene zu verlassen und zu höheren Dimensionen überzugehen. Im Dreidimensionalen betrachtet man dann einen [[Tetraeder]], das ist eine Pyramide mit gleichseitigen Dreiecken als Seiten. Im Vierdimensionalen gelangt man zum [[5-Zell]], dessen Seiten Tetraeder sind. Dies lässt sich beliebig fortsetzen. Die zugehörigen figurierten Zahlen heißen [[Tetraederzahl]]en, [[Pentatopzahl]]en und im allgemeinen Fall reguläre figurierte Zahlen. Im Eindimensionalen sind noch die [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] zu erwähnen.

Für Dreieckszahlen <math>\Delta_n \ge 6</math> gilt die Bildungsvorschrift genau einer von drei disjunkten Zahlenklassen ({{OEIS|A111774}})
: <math>\Delta_n = \frac {n \cdot (n+2k-1)}{2}; k\ge 1, n\ge 3</math>
für den Sonderfall <math>k=1</math>.

== Siehe auch ==
* [[Pascalsches Dreieck]]
* [[Zentrierte Dreieckszahl]]
* [[Metcalfesches Gesetz|Metcalfe’sches Gesetz]]

== Literatur ==
* [[John Horton Conway|John H. Conway]], [[Richard K. Guy]]: ''The Book of Numbers.'' Copernicus, New York NY 1996, ISBN 0-387-97993-X.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Triangular numbers|Dreieckszahlen}}
{{Wiktionary}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Figurierte Zahl]]