Quelltext der Seite Eötvössche Regel

[[Datei:SFT-Benzol.png|mini|Temperaturabhängigkeit der Oberflächenspannung am Beispiel des Benzols]]

Die nach dem ungarischen Physiker [[Loránd Eötvös|Loránd (Roland) Eötvös]] (1848–1919) benannte '''Eötvössche Regel''' erlaubt es, die [[Oberflächenspannung]] eines beliebigen [[Flüssigkeit|flüssigen]] [[Reinstoff]]es bei allen [[Temperatur]]en vorherzusagen. Dazu muss lediglich die [[Dichte]], die [[molare Masse]] und die [[Kritische Temperatur (Thermodynamik)|kritische Temperatur]] der Flüssigkeit bekannt sein. Am kritischen Punkt ist die Oberflächenspannung Null.

Die erste Aussage der Regel ist:

1. Die Oberflächenspannung hängt [[Lineare Funktion|linear]] von der Temperatur ab.

Diese Regel wird für die meisten bekannten Fälle zumindest ungefähr erfüllt. Bei Auftragung der Oberflächenspannung gegen die Temperatur ergibt sich also zumindest näherungsweise eine Gerade, die bei der kritischen Temperatur eine Oberflächenspannung von Null ergibt.

Die Eötvös-Gleichung beschreibt aber nicht nur die Abhängigkeit der Oberflächenspannung ''einer'' Flüssigkeit von der Temperatur, sondern trifft darüber hinaus auch eine weitere wesentliche und umfassendere Aussage:

2. Die Temperaturabhängigkeit der Oberflächenspannung kann für ''alle'' Flüssigkeiten so aufgetragen werden, dass sich dabei näherungsweise immer ''dieselbe'' Gerade ergibt. Dazu muss entweder die Molmasse und die Dichte der Flüssigkeit oder ihr [[Molvolumen]] bekannt sein.

Die Eötvössche Regel folgt also dem [[Theorem der übereinstimmenden Zustände]], nach dem bei geeigneter Wahl von [[reduzierte Größe|reduzierten Größen]] – hier der sogenannten molaren Grenzflächenspannung – alle Stoffe denselben Gleichungen gehorchen.<ref name="Guggenheim">{{Literatur | Autor=Edward A. Guggenheim | Titel=The Principle of Corresponding States | Sammelwerk= The Journal of Chemical Physics | Band=13 | Nummer=7 | Jahr=1945 | Seiten=253–261 | ISSN= 0021-9606 | DOI=10.1063/1.1724033}}</ref>

Mit Hilfe dieser beiden Regeln kann man die Oberflächenspannung einer beliebigen Flüssigkeit bei beliebiger Temperatur vorhersagen.

== Eötvös-Gleichung ==
Ist <math>V_\text{m}</math> das molare Volumen und <math>T_\text{c}</math> die kritische Temperatur der Flüssigkeit, so ist ihre Oberflächenspannung γ nach der einfachen Eötvös-Gleichung

:<math>\gamma \cdot {V_\text{m}}^{2/3} = k(T_\text{c} - T).</math>

Die nach Eötvös für alle Flüssigkeiten gültige '''Eötvös-Konstante''' hat einen Wert von

:<math>\begin{align}
k & = 2{,}1\cdot10^{-7} \, \mathrm{J/(K\cdot mol^{2/3})}\\
  & = 2{,}1             \, \mathrm{erg/(K\cdot mol^{2/3})}
\end{align}</math>

Etwas genauere Werte erhält man, wenn man berücksichtigt, dass die Gerade in der Regel schon 6&nbsp;[[Kelvin|K]] ''vor'' dem kritischen Punkt die Temperaturachse schneidet:

:<math>\gamma \cdot {V_\text{m}}^{2/3} = k(T_\text{c} - 6\ \mathrm{K} - T).</math>

Das molare Volumen <math>V_\text{m}</math> ist gegeben durch die Molmasse&nbsp;''M'' und die Dichte&nbsp;&rho;:

:<math>V_\text{m} = M / \rho.</math>

Der Term <math>\gamma {V_\text{m}}^{2/3}</math> wird auch als [[molare Größe|molare]] [[Grenzflächenspannung]] bezeichnet:

:<math>\gamma_\text{m} = \gamma \cdot {V_\text{m}}^{2/3}.</math>

Damit lässt sich die Eötvös-Gleichung schreiben als:

:<math>\gamma_\text{m} = k(T_\text{c} - 6\ \mathrm{K} - T).</math>

Eine sinnvolle Darstellung, die das ungünstige Auftreten der Einheit mol<sup>−2/3</sup> vermeidet, wird mit Hilfe der [[Avogadro-Konstante]]n N<sub>A</sub> erhalten:

:<math>\begin{align}
\gamma & = k' \left( \frac{M}{\rho N_\text{A}} \right)^{-2/3}(T_\text{c} - 6\ \mathrm{K} - T)\\
       & = k' \left( \frac{N_\text{A}}{V_\text{m}} \right)^{2/3}(T_\text{c} - 6\ \mathrm{K} - T)
\end{align}</math>

Wie [[John Lennard-Jones]] und Corner 1940 mit der [[Statistische Mechanik|statistischen Mechanik]] gezeigt haben,<ref name="LJC">{{Literatur | Autor=John Edward Lennard-Jones und James Corner | Titel=The calculation of surface tension from intermolecular forces | Sammelwerk=Transactions of the Faraday Society (1905–1971) | Band=36 | Jahr=1940 | Seiten=1156–1162  | DOI=10.1039/TF9403601156 }}</ref> ist die Konstante&nbsp;<math>k'</math> ungefähr gleich der [[Boltzmann-Konstante]]:

::<math>k' = k\cdot {N_\text{A}}^{-2/3} \approx k_\text{B}.</math>

Für das Beispiel Wasser ergibt sich nach Einsetzen aller Größen folgende Zahlenwertgleichung:
:<math>{\gamma} = 0{,}07275 \cdot \left(1-0{,}002 \cdot \left({T} - 291\right)\right) </math>
bei Verwendung der Maßeinheiten
* T in [[Kelvin]]
*<math>{\gamma}</math> in <math>\mathrm{N/m}</math>
Dies stimmt mit den experimentell gemessenen Oberflächenspannungen in guter Näherung überein.

== Historisches ==
Eötvös begann schon als Student, sich mit der Oberflächenspannung zu befassen. Er entwickelte eine neue Art und Weise, die Oberflächenspannung zu bestimmen, die Reflexionsmethode. Die Eötvös-Gleichung wurde zunächst rein [[phänomenologisch]] gefunden und 1886 veröffentlicht.<ref>{{Literatur | Autor=Roland Eötvös | Titel=Ueber den Zusammenhang der Oberflächenspannung der Flüssigkeiten mit ihrem Molecularvolumen | Sammelwerk=Annalen der Physik | Herausgeber=G. Wiedemann | Verlag=Johann Ambrosius Barth | Band=263 | Nummer=3 | Jahr=1886 | Seiten=448–459 | DOI=10.1002/andp.18862630309}}</ref> 1893 zeigten [[William Ramsay]] und John Shields (1850–1909) die verbesserte Version, die berücksichtigt, dass die Gerade in der Regel schon vor dem kritischen Punkt die Temperaturachse schneidet. Auch [[Albert Einstein]] befasste sich mit der Temperaturabhängigkeit der Oberflächenspannung.<ref>{{Literatur | Autor= Albert Einstein | Titel= Bemerkung zu dem Gesetz von Eötvös | Sammelwerk= Annalen der Physik | Verlag=Johann Ambrosius Barth | Band=339 | Nummer=1 | Jahr=1911 | Seiten=165–169 | DOI=10.1002/andp.19113390109}}</ref> [[John Lennard-Jones]] und James Corner publizierten 1940 eine Herleitung der Gleichung mit der [[Statistische Mechanik|statistischen Mechanik]].<ref name="LJC" /> Masao Katayama (1877–1961) zeigte 1916 eine empirisch gefundene Variante der Eötvös-Gleichung für den Fall, dass die Dichte des Dampfes nicht vernachlässigbar ist im Vergleich zur Dichte der Flüssigkeit.<ref name="LJC" /> Darauf aufbauend gab [[Edward Guggenheim|E. A. Guggenheim]] 1945 eine weitere Variante der Gleichung bekannt,<ref name="Guggenheim" /> die heute Katayama-Guggenheim-Gleichung genannt wird:
:<math>\gamma = \gamma_0 (1 - T/T_\text{c})^{11/9}.</math>

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Eotvossche Regel}}
[[Kategorie:Physikalische Chemie]]