Quelltext der Seite Erneuerungsprozess

Ein '''Erneuerungsprozess'''  ist ein spezieller [[stochastischer Prozess]], der in der [[Erneuerungstheorie]] untersucht wird. Er ist ein [[Zählprozess]], dessen Zwischenankunftszeiten unabhängige, identisch verteilte, nichtnegative [[Zufallsvariable]]n sind.

== Begriffsherkunft ==
Der Begriff ''Erneuerung'' hat seinen Ursprung in industriellen Anwendungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Typischerweise besitzen Systemkomponenten (z. B. Maschinen, Werkzeuge, Beleuchtungskörper) [[Lebensdauer (Technik)|Lebenszeiten]], die den Charakter nichtnegativer Zufallsvariablen haben. Wenn solche Komponenten ausfallen, müssen sie durch gleichartige Komponenten ersetzt (''erneuert'') werden, um das Funktionieren des Systems zu gewährleisten.

== Definitionen ==
<math>X_i, i=1,2,\dotsc</math> seien die Zwischenankunftszeiten, z. B. die Lebenszeiten von Komponenten. Diese [[Zufallsvariable]]n werden als [[unabhängig und identisch verteilt]] angenommen. Außerdem seien die <math>X_i</math> [[fast sicher]] positiv mit [[Erwartungswert]] <math>0 < E(X_i) < \infty</math>.
:<math>(X_i)_{i \in \mathbb{N}}</math> wird als ''Erneuerungsfolge'' bezeichnet.
Ihre gemeinsame [[Verteilungsfunktion]] werde mit <math>F</math> bezeichnet, das heißt, es gilt <math>F(t)=P(X_i \le t)</math>. Falls die <math>X_i</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] besitzen, wird diese mit <math>f</math> bezeichnet.

Weiter sei <math>S_n</math> der ''Zeitpunkt'' der <math>n</math>-ten Erneuerung, das heißt
:<math>S_n=\sum_{i=1}^n X_i,\qquad S_0\equiv 0.</math>
Die Verteilung von <math>S_n</math> werde mit <math>F_n</math> bezeichnet, d.&nbsp;h. <math>F_n(t) = P(S_n \le t) </math>.

Der Erneuerungsprozess <math>\{N(t), t\ge 0\}</math> ist nun der durch
:<math>N(t) = \sup\{n\in \N_0|\,S_n\le t\}</math>
definierte [[stochastischer Prozess|stochastische Prozess]], das heißt <math>N(t)</math> ist die ''Anzahl'' der Erneuerungen bis zum Zeitpunkt <math>t</math>.

Die Äquivalenz der Beschreibung über <math>N(t)</math> und <math>S_n</math> kommt in folgender grundlegenden Beziehung zum Ausdruck 
:<math>\{N(t) \ge n\}=\{S_n \le t\}</math>.<!-- Mengengleichheit, keine Äquivalenz-->
Beide Mengen enthalten genau diejenigen Elemente des zugrunde liegenden [[Wahrscheinlichkeitsraum]]s, für die bis zum Zeitpunkt <math>t</math> mindestens <math>n</math> Erneuerungen stattgefunden haben.

== Eigenschaften ==
<math>S_n</math> ist Summe identisch verteilter, unabhängiger Zufallsvariablen, daher ist <math>F_n</math> die <math>n</math>-fache [[Faltung (Mathematik)|Faltung]] der Verteilung <math>F</math> und wird rekursiv wie folgt berechnet  
:<math>F_n(t) = \int_{0}^{t} F_{n-1}(s) f(t-s) ds  </math>, 
wobei <math> f </math> die Wahrscheinlichkeitsdichte von oben ist.

Es gilt<ref>{{cite book |last1=Grimmett |first1=Geoffry R.  |last2=Stirzaker |first2=David R.  | year=1982| title=Probability and Random Processes |publisher=Clarendon Press| location= Oxford|isbn =0-19-853185-0 |language=en}}</ref>
:<math> P(N(t)=n) = P(S_n \leq t)-P(S_{n+1} \leq t) = F_n(t)-F_{n+1}(t) </math>

Mit obiger Notation sehen wir, dass folgende Integralgleichung erfüllt ist.
:<math>
\begin{matrix}
P(N(t)=n) &=& \int_{0}^{t} P(N(s)=n-1) f(t-s) ds \\
\end{matrix}
</math>

'''Beweis'''

:Wir gehen von <math>  P(N(t)=n) = F_n(t)-F_{n+1}(t)</math> aus und ersetzen <math>  F_n(t)=\int_{0}^{t} F_{n-1}(s) f(t-s) ds</math> und  <math> F_{n-1}(t)=\int_{0}^{t} F_{n-2}(s) f(t-s) ds </math> ein und erhalten
::<math>  P(N(t)=n) = \int_{0}^{t} F_{n-1}(s) f(t-s) ds - \int_{0}^{t} F_{n-2}(s) f(t-s) ds</math>
: Nach Zusammenfassen der Integrale und unter Beachtung von <math> F_{n-1}(s)-F_{n-2}(s)=P(N(s)=n-1) </math> folgt die Behauptung.

Die eben dargestellte Integralgleichung dient als Ausgangspunkt einer Theorie von [[Zählprozess |Zählprozessen]], deren Wartezeiten nicht [[Exponentialverteilung | exponentialverteilt]] sind.<ref>{{cite journal |last1=Winkelmann |first1=Rainer  |year=1995|title=Duration Dependence and Dispersion in Count Data|journal=Journal of Business &amp; Economic Statistics |pages=467–474|volume=13(4) |language=en}}</ref><ref>{{cite journal |last1=McShane |first1=Blake |last2=Adrian |first2=Moshe |last3=Bradlow |first3=Eric T. |last4=Fader |first4=Peter S.  |year=2008|title=Count Models Based On Weibull Interarrival Times|journal=Journal of Business &amp; Economic Statistics |pages=369–378|volume=26(3) |language=en}}</ref> Sie ist somit eine Basis für die Generalisierung der Theorie der [[Poissonprozess]]e.

Die mittlere Anzahl der Erneuerungen im Zeitintervall <math>(0,t)</math> heißt ''Erneuerungsfunktion'' und wird mit <math>m</math> bezeichnet. Es gilt
:<math>
m(t)=E[N(t)] = \sum_{n=1}^\infty n\left[F_n(t)-F_{n+1}(t)\right]=\sum_{n=1}^\infty F_n(t) \,
</math>

== Einzelnachweise ==
<references/>
[[Kategorie:Stochastischer Prozess]]