Quelltext der Seite Gerbe (Stack)

Der Begriff '''Gerbe''' wird in der algebraischen [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] für eine bestimmte Art von [[Stack (Kategorientheorie)|Stacks]] über einem topologischen Raum verwendet. Teilweise werden aber auch Spezialfälle solcher Gerben vereinfachend als Gerben bezeichnet, zum Beispiel [[Bündelgerbe]]n oder [[Hitchin-Gerbe]]n. Eine wichtige Charakterisierung von Gerben ist ihr Band.

''Definition:'' Eine Gerbe über einem topologischen Raum <math>X</math> ist ein [[Stack (Kategorientheorie)|Stack]] <math>\mathcal{G}</math> über <math>X</math> in der 2-Kategorie <math>\mathfrak{Grpd}</math> der [[Gruppoid (Kategorientheorie)|Gruppoide]], der die folgenden zwei Gerbenaxiome erfüllt:
* Es gibt ein Objekt <math>j \colon U \to X</math> in <math>\mathfrak{Cov}(X)</math> mit <math>\mathcal{G}(U)  \neq \emptyset</math>.
* Für jedes Objekt <math>j \colon U \to X</math> in <math>\mathfrak{Cov}(X)</math> und je zwei Objekte <math>A</math>,<math>B</math> in <math>\mathcal{G}(U)</math> gibt es einen Morphismus <math>i \colon V \to U</math> in <math>\mathfrak{Cov}(X)</math> und einen Morphismus <math>\mathcal{G}(i)(A) \to \mathcal{G}(i)(B)</math> in <math>\mathcal{G}(V)</math>.
Das erste Axiom fordert also, dass <math>\mathcal{G}</math> nicht-trivial ist, während das zweite Axiom eine gewisse Transitivitätsbedingung darstellt.

[[Kategorie:Algebraische Topologie]]