Quelltext der Seite Gieseking-Konstante

Die '''Gieseking-Konstante''' ist eine [[mathematische Konstante]], die das maximale [[Volumen]] [[Hyperbolische Geometrie|hyperbolischer]] Tetraeder angibt.<ref>Adams: ''The newest inductee in the number hall of fame''. 1998 (englisch)</ref><ref>[[John Willard Milnor|John W. Milnor]]: [http://www.ams.org/bull/1982-06-01/S0273-0979-1982-14958-8/home.html ''Hyperbolic geometry: The first 150 years''.] In: ''Bulletin of the AMS'', 6, Januar 1982, S. 9–24 (englisch; [http://www.zentralblatt-math.org/zbmath/search/?q=an%3A0486.01006 Zentralblatt-Rezension]; „This works out as 1.0149416....“ auf S. 20)</ref> Sie ist nach [[Hugo Gieseking]] (1887–1915) benannt, der 1912 aus einem solchen Tetraeder durch Verschmelzung von Seitenflächen die [[Gieseking-Mannigfaltigkeit]] konstruierte.<ref>[[Hugo Gieseking]]: [http://name.umdl.umich.edu/ABR1814.0001.001 ''Analytische Untersuchungen über topologische Gruppen''.] L. Wiegand, Hilchenbach 1912 (Inaugural-Dissertation an der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster; mit Lebenslauf bis 1911; [http://www.emis.de/cgi-bin/JFM-item?43.0202.03 Jahrbuch-Rezension])</ref> [[Colin Adams]] konnte 1987 nachweisen, dass die Gieseking-Mannigfaltigkeit die eindeutige nichtkompakte hyperbolische 3-[[Mannigfaltigkeit]] mit minimalem Volumen ist.<ref>Colin C. Adams: [http://www.ams.org/journals/proc/1987-100-04/S0002-9939-1987-0894423-8/ ''The noncompact hyperbolic 3-manifold of minimal volume''.] In: ''Proceedings of the AMS'', 100, August 1987, S. 601–606 (englisch; [http://www.zentralblatt-math.org/zbmath/search/?q=an%3A0634.57008 Zentralblatt-Rezension]; „''v'' = 1.01494....“ auf S. 602)</ref> Die Gieseking-Konstante wird nach [[Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski|Nikolai Lobatschewski]] auch '''Lobatschewski-Konstante''' genannt.<ref>Steven R. Finch: {{Webarchiv |url=http://www.people.fas.harvard.edu/~sfinch/csolve/hyp.pdf |wayback=20150919160427 |text=''Volumes of Hyperbolic 3-Manifolds''. |format=PDF; 366&nbsp;kB }} 5. September 2004, S. 4 (englisch)</ref>

== Definition ==

Die Gieseking-Konstante ist definiert als

: <math>G = \int_0^{2 \pi / 3} \ln \left(2 \cos \tfrac t2 \right) {\mathrm d}t = 1,01494 \; 16064 \; 09653 \; 62502 \; 12025 \; 54274 \; 52028 \; 59416 \; 89307 \; 53029 \; \ldots</math>

(siehe die {{OEIS|A143298}}).

Die Gieseking-Konstante kann auch über eine Reihenentwicklung definiert werden:

: <math>G = \frac{3\sqrt{3}}{4} \left(\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(3k+1)^2}-\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(3k+2)^2} \right) = \frac{3\sqrt{3}}{4} \left( 1 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} - \frac{1}{5^2} + \frac{1}{7^2} - \frac{1}{8^2} \pm \ldots \right)</math>.
Beide Definitionen sind zueinander identisch.

== Weitere Darstellungen ==

=== Funktionaldarstellungen ===
Alternative Schreibweisen der Gieseking-Konstante sind

: <math>G = {\rm Cl_2} \left(\frac13 \pi\right)</math>,

wobei <math>{\rm Cl_2}</math> die [[Clausen-Funktion]] ist,

: <math>G = \frac1{36} i \left( \pi^2 - 36 {\rm Li_2}(-(-1)^{2/3}) \right) = \frac12 i \left( {\rm Li_2}((-1)^{2/3}) - {\rm Li_2}((-1)^{1/3}) \right)</math>,

wobei <math>{\rm Li_2}</math> der (klassische) [[Dilogarithmus]] ist,

: <math>G= D\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)</math>,

wobei <math>D</math> der [[Dilogarithmus#Bloch-Wigner-Dilogarithmus|Bloch-Wigner-Dilogarithmus]] ist,

: <math>G=3\Lambda\left(\frac{\pi}{3}\right)</math>,

wobei <math>\Lambda</math> die [[Lobatschewski-Funktion]] ist, und

: <math>G = \frac{\psi_{1}(\tfrac{1}{3}) - \psi_{1}(\tfrac{2}{3})}{4\sqrt{3}}</math>,

wobei <math>\psi_1</math> die [[Trigamma-Funktion]] ist.

=== Integraldarstellungen ===
Folgendes Integral entsteht durch Substitution aus der gezeigten Integraldefinition:
: <math>G = \int_{0}^{1} \frac{2}{\sqrt{(1+x)(3-x)}}\ln\biggl(\frac{1}{1-x}\biggr) \mathrm{d}x</math>
Durch weitere Substitution entsteht die nun folgende Identität:
: <math>G = \int_{0}^{1} \frac{8\operatorname{artanh}(x)}{(1+x)\sqrt{(1+3x)(3+x)}} \,\mathrm{d}x</math>
Dieses Integral resultiert aus der Definition der Gieseking-Konstante über ihre Reihenentwicklung:
: <math>G = \frac{3\,\sqrt{3}}{4} \int_{0}^{\infty} \frac{x \exp(x)}{\exp(2x) + \exp(x) + 1} \,\mathrm{d}x</math>
Eine weitere Integraldarstellung kann mit Hilfe der sogenannten [[Abel-Plana-Summenformel]] hervorgebracht werden:
: <math>G = \frac{13\,\sqrt{3}}{32} + \frac{9\,\sqrt{3}}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{x\exp(-\pi x)}{\sinh(\pi x)} \biggl[\frac{1}{(9x^2+1)^2} - \frac{2}{(9x^2+4)^2}\biggr] \mathrm{d}x</math>

=== Summendarstellungen ===
Mit den [[Mittlerer Binomialkoeffizient|Mittleren Binomialkoeffizienten]] kann folgende Summenreihe über die Gieseking-Konstante aufgestellt werden:
: <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3 \operatorname{CBC}(n)} = \frac{2 \,\pi}{3} \,G - \frac{4}{3}\,\zeta(3)</math>
So ist der Mittlere Binomialkoeffizient definiert:

: <math>\operatorname{CBC}(n) = {2n \choose n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2} =\frac{\Pi(2n)}{\Pi(n)^2}</math>
: <math>\operatorname{CBC}(n) = \prod_{m = 1}^{\infty} \bigl[ \bigl(1 + \frac{n}{m}\bigr)^2 \bigl(1 + \frac{2n}{m}\bigr)^{-1} \bigr]</math>

Die beiden nun genannten Formeln stimmen miteinander überein.

== Literatur ==
* Colin C. Adams: ''The newest inductee in the number hall of fame'', Mathematics Magazine 71, Dezember 1998, S. 341–349 (englisch; [http://www.zentralblatt-math.org/zbmath/search/?q=an%3A1024.51024 Zentralblatt-Rezension])
* Steven R. Finch: ''Mathematical constants''. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, [http://books.google.de/books?id=DL5iVYNoEa0C&pg=PA233 S. 233] (englisch; Finchs Webseite zum Buch mit Errata und Addenda: [http://www.people.fas.harvard.edu/~sfinch/ ''Mathematical Constants''.])

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=GiesekingsConstant |title=Gieseking’s Constant}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Synthetische Geometrie]]