Quelltext der Seite Gleichung von Bienaymé

Die '''Gleichung von Bienaymé''', '''Bienaymé-Gleichung'''<ref> Klenke: ''Wahrscheinlichkeitstheorie.'' 2013, S. 106. </ref> oder '''Formel von Bienaymé'''<ref> Meintrup, Schäffler: ''Stochastik.'' 2005, S. 129. </ref> ist eine [[Gleichung]] aus der [[Stochastik]]. Sie erlaubt die Berechnung der [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] einer Summe von Zufallsvariablen und besagt insbesondere, dass sie sich bei [[unkorreliert]]en (und demnach auch bei [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen]]) additiv verhält. Die Varianz der Summe unkorrelierter Zufallsvariablen ist also die Summe der Varianzen der Zufallsvariablen.

Die Gleichung ist nach dem französischen Mathematiker [[Irénée-Jules Bienaymé]] (1796–1878) benannt, der sie 1853 zeigte.<ref> Georgii: ''Stochastik.'' 2009, S. 109. </ref> Sie wird unter anderem zur Ermittlung des Fehlers von [[Monte-Carlo-Simulation]]en verwendet und ein wichtiges Hilfsmittel zur Umformung von Gleichungen in der Stochastik. So liefert sie beispielsweise in Kombination mit der [[Tschebyscheff-Ungleichung]] eine erste Version des [[Schwaches Gesetz der großen Zahlen|schwachen Gesetzes der großen Zahlen]].

== Aussage ==
Gegeben seien quadratintegrierbare Zufallsvariablen <math> X_1, \ldots, X_n </math>, es gelte also <math>\operatorname{E}(|X_i|^2) < \infty</math> für <math> i=1, \dots, n </math>. Des Weiteren sei <math> \operatorname{Var}(X) </math> die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] der Zufallsvariable <math> X </math> und <math> \operatorname{Cov}(X,Y) </math> die [[Kovarianz (Stochastik)|Kovarianz]] von <math> X </math> und <math> Y </math>.

Die Gleichung von Bienaymé wird in der Literatur nicht einheitlich formuliert. In ihrer allgemeineren Version besagt sie, dass
:<math> \operatorname{Var}\left( \sum_{i=1}^n X_i \right)=\sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i)+\sum_{i,j=1 \atop i \neq j}^n \operatorname{Cov}(X_i,X_j)=\sum_{i,j=1}^n\operatorname{Cov}(X_i,X_j)</math>

gilt.<ref> Klenke: ''Wahrscheinlichkeitstheorie.'' 2013, S. 106. </ref>

Spezieller gilt: Sind die <math> X_n </math> paarweise [[unkorreliert]], also <math> \operatorname{Cov}(X_i,X_j)=0 </math> für alle  <math> i,j \in \{1,\dots, n\} </math> mit <math>i \neq j</math>, so gilt
:<math> \operatorname{Var} \left( \sum_{i=1}^n X_i \right) = \sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i) </math>.<ref> Meintrup, Schäffler: ''Stochastik.'' 2005, S. 129. </ref>

Insbesondere gilt dies dann auch für Summen [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|stochastisch unabhängiger]] Zufallsvariablen, denn aus Unabhängigkeit und Integrierbarkeit folgt die Unkorreliertheit der Zufallsvariablen.<ref name="gronbach7">{{Literatur|Autor=Müller-Gronbach, Novak, Ritter|Titel=Monte Carlo-Algorithmen|Seiten=7}}</ref>

== Beispiele ==

=== Würfel ===
Sind beispielsweise <math>X</math> die Augenzahl eines vierseitigen, <math>Y</math> die Augenzahl eines sechsseitigen und <math>Z</math> die Augenzahl eines achtseitigen fairen [[Spielwürfel|Würfels]]. Die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en der drei Würfel sind [[diskrete Gleichverteilung]]en, wodurch sich für die Varianzen der Augenzahlen der einzelnen Würfel

:<math>\operatorname{Var}(X) = \tfrac{5}{4}, \operatorname{Var}(Y) = \tfrac{35}{12}</math> &nbsp; und &nbsp; <math>\operatorname{Var}(Z) = \tfrac{21}{4}</math>

ergibt. Nach der Gleichung von Bienaymé beträgt die Varianz der Augensumme <math>X+Y+Z</math> der drei Würfel

:<math>\operatorname{Var}(X+Y+Z) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y) + \operatorname{Var}(Z) = \tfrac{5}{4} + \tfrac{35}{12} + \tfrac{21}{4} = \tfrac{113}{12} \approx 9{,}42</math> (da die Würfel unkorreliert sind).

Somit ergibt sich als [[Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] der Augensumme ein Wert von etwa <math>3{,}07</math>.

=== Wienerprozess ===
{{Hauptartikel|Wienerprozess}}
[[Datei:Wienerprozess.png|mini|hochkant=1.7|Zwei Beispiele für [[Pfad (Stochastik)|Pfade]] eines Standard-Wienerprozesses. Die grau schraffierte Fläche markiert die Standardabweichung <math>\pm \sqrt{\text{Var}(W_t)}=\pm\sqrt{t}</math>.]]
Betrachtet man den Wienerprozess, so ist dieser durch das stochastische Integral <math>W_t=W_0 +\int_0^t dW</math> gegeben.
Die [[Wienerprozess#Gaußsche Irrfahrt|Gaußsche Irrfahrt]] kann (nach dem [[Satz von Donsker]]) benutzt werden um den Wienerprozess zu approximieren:
::<math> W_{N\Delta t} \approx W_0 + \sqrt{\Delta t}\sum_{i=1}^N Z_i </math>,

wobei <math> Z_1, \; Z_2, \; Z_3\ldots </math> unabhängige, standardnormalverteilte Zufallszahlen sind. Hierbei wird das Integral diskretisiert und <math>dW \approx \sqrt{\Delta t} Z</math> benutzt.

Die Gleichung von Bienayme liefert für <math>Var(W_{N\Delta t})= \Delta t N</math>.

[[Datei:Estimated and expected variance of cumulative sum.png|mini|Geschätzte Varianz der kumulativen Summe eines [[Zufallsprozess]]es, dessen Zufallsvariablen [[Unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen|iid]] normalverteilt sind. Die [[Stichprobenvarianz]] ist über 300 [[Realisierung (Stochastik)|Realisierungen]] berechnet.]]

== Beweis ==

Die quadratische Integrierbarkeit stellt zunächst sicher, dass alle auftretenden [[Erwartungswert]]e und Varianzen endlich sind. Aufgrund der [[Erwartungswert#Linearität|Linearität des Erwartungswertes]] ist
:<math> \operatorname{E}\left( \sum_{i=1}^n X_i \right) = \sum_{i=1}^n \operatorname E ( X_i) </math>.

Somit folgt
:<math> \sum_{i=1}^n X_i - \operatorname{E}\left( \sum_{i=1}^n X_i \right) = \sum_{i=1}^n \left( X_i- \operatorname E (X_i) \right)</math>

Nach Definition der Varianz als <math> \operatorname{Var}(X)=\operatorname{E}\left(\left(X-\operatorname{E}(X)\right)^2\right) </math> folgt durch ausmultiplizieren
:<math> \operatorname{E}\left(  \left( \sum_{i=1}^n \left( X_i- \operatorname E (X_i) \right) \right)^2 \right) = \sum_{i,j=1 }^n \operatorname{E}\left((X_i- \operatorname E (X_i))(X_j- \operatorname E (X_j))\right) = \sum_{i,j=1 }^n \operatorname{Cov}(X_i,X_j)</math>,

wobei der letzte Schritt durch einsetzen der Definition der Kovarianz folgt. Da aber für <math> i=j </math> folgt, dass <math> \operatorname{Cov}(X_i,X_j) = \operatorname{Var}(X_i) </math>, werden diese Terme in eine separate Summe geschrieben und die Gleichung von Bienaymé folgt.

Die zweite Fassung folgt direkt aus der ersten, da aus Unkorreliertheit per Definition <math> \operatorname{Cov}(X_i,X_j) =0 </math> folgt und die eine Summe wegfällt.

== Folgerungen ==

Eine wichtige Folgerung der Gleichung von Bienaymé besteht für Folgen [[unabhängig und identisch verteilt]]er Zufallsvariablen <math>X_1, X_2, \ldots</math>, die alle die Varianz <math>\sigma^2</math> aufweisen. Die Varianz des [[Arithmetisches Mittel|arithmetischen Mittels]] <math>\overline{X}_n</math> der ersten <math>n</math> Folgenglieder

:<math>\operatorname{Var}(\overline{X}_n) = \operatorname{Var}\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \operatorname{Var} ( X_i ) = \frac{\sigma^2}{n}</math>

verhält sich demnach [[umgekehrt proportional]] zu <math>n</math>.<ref name="gronbach29">{{Literatur|Autor=Müller-Gronbach, Novak, Ritter|Titel=Monte Carlo-Algorithmen|Seiten=29}}</ref> Zusammen mit der [[Tschebyscheff-Ungleichung]] ergibt sich daraus, dass die Folge dem [[Schwaches Gesetz der großen Zahlen|schwachen Gesetz der großen Zahlen]] genügt, also dass die Mittelwerte [[Stochastische Konvergenz|stochastisch]] gegen den Erwartungswert konvergieren.

Der [[Standardfehler#Standardfehler des arithmetischen Mittels|Standardfehler des arithmetischen Mittels]]

:<math>\sigma(\overline{X}_n) = \sqrt{\operatorname{Var}(\overline{X}_n)} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>

zeigt, dass das arithmetische Mittel als [[erwartungstreue]]r [[Schätzfunktion|Schätzer]] für einen unbekannten Erwartungswert eine Rate von <math>\tfrac{1}{\sqrt{n}}</math> aufweist. Aus diesem Grund besitzt der Fehler von klassischen [[Monte-Carlo-Simulation]]en eine [[Konvergenzgeschwindigkeit]] von <math>\tfrac12</math>.<ref name="gronbach29" />

Im Zusammenhang mit zufälligen [[Messabweichung]]en ergibt sich aus der Gleichung von Bienaymé im Fall unkorrelierter fehlerbehafteter Größen das [[Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz|gaußsche Fehlerfortpflanzungsgesetz]].

== Verallgemeinerung ==

Die Gleichung von Bienaymé kann auch auf [[Gewichtete Summe|gewichtete Summen]] von Zufallsvariablen verallgemeinert werden. Sind dazu <math>a_1, \ldots , a_n</math> reelle Gewichtsfaktoren, dann gilt für die Varianz der gewichteten Summe <math>a_1 X_1 + \cdots + a_n X_n</math> der Zufallszahlen <math>X_1, \ldots , X_n</math> die Darstellung
:<math>\operatorname{Var}\left( \sum_{i=1}^n a_i X_i \right) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_ia_j \operatorname{Cov}(X_i,X_j) = \mathbf{a}^T\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{a}</math>
mit dem transponierten Vektor <math> \mathbf{a}^T =(a_1,\dots, a_n)</math> und der [[Kovarianzmatrix]] <math>\boldsymbol{\Sigma}</math> des Zufallsvektors <math>(X_1,\dots,X_n)^T</math>.
Für paarweise unkorrelierte Zufallsvariablen spezialisiert sich diese Gleichung zu
:<math>\operatorname{Var}\left( \sum_{i=1}^n a_i X_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i^2 \operatorname{Var} ( X_i )</math>.

Für die Summe von zwei Zufallsvariablen <math>X</math> und <math>Y</math> ergibt sich daraus
:<math>\operatorname{Var}\left( X + Y \right) =  \operatorname{Var} (X) + 2 \operatorname{Cov}(X,Y) + \operatorname{Var} (Y)</math>
und für die Differenz
:<math>\operatorname{Var}\left( X - Y \right) =  \operatorname{Var}(X) - 2 \operatorname{Cov}(X,Y) + \operatorname{Var} (Y)\;.</math>

Für zwei unkorrelierte Zufallsvariablen <math>X</math> und <math>Y</math> ist definitionsgemäß <math>\operatorname{Cov}(X,Y) = 0</math>. Damit ergibt sich, dass für zwei unkorrelierte Zufallsvariablen die Summe ebenso wie die Differenz gleich der Summe ihrer Varianzen ist, das heißt, es gilt in diesem Fall
:<math>\operatorname{Var}\left( X + Y \right) = \operatorname{Var}\left( X - Y \right) = \operatorname{Var} (X) + \operatorname{Var} (Y)</math>.

Falls die Zahl der Summanden selbst eine Zufallsvariablen ist, siehe [[Blackwell-Girshick-Gleichung]].

== Siehe auch ==
* [[Panjer-Rekursion]]

== Literatur ==

* {{Literatur|Autor=[[Thomas Müller-Gronbach]], [[Erich Novak]], [[Klaus Ritter (Mathematiker, 1961)|Klaus Ritter]]|Titel=Monte Carlo-Algorithmen|Verlag=Springer|Jahr=2012|ISBN=978-3-540-89140-6}}
* {{Literatur|Autor=[[Achim Klenke]]|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2013|ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}}
* {{Literatur|Autor=David Meintrup, [[Stefan Schäffler]]|Titel=Stochastik|TitelErg=Theorie und Anwendungen|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg New York|Jahr=2005|ISBN=978-3-540-21676-6|DOI=10.1007/b137972}}
* {{Literatur|Autor=[[Hans-Otto Georgii]]|Titel=Stochastik|TitelErg=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik|Auflage=4.|Verlag=Walter de Gruyter|Ort=Berlin|Jahr=2009|ISBN=978-3-11-021526-7 |DOI=10.1515/9783110215274}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Gleichung Von Bienayme}}
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Bienayme]]