Quelltext der Seite Hilbert-Matrix

Die '''Hilbert-Matrix''' der Ordnung <math>n \ge 1</math> ist folgende quadratische, [[Symmetrische Matrix|symmetrische]], [[Definitheit|positiv definite]] [[Matrix (Mathematik)|Matrix]]:

:<math>H_n = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \cdots & \frac{1}{n} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \cdots & \frac{1}{n+1} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \cdots & \frac{1}{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{1}{n} & \frac{1}{n+1} & \frac{1}{n+2} & \cdots & \frac{1}{2n-1} \end{pmatrix}</math>,
die einzelnen Komponenten sind also durch <math>h_{ij} = \frac{1}{i+j-1}</math> gegeben. Dem historischen Zugang entspricht die Integraldarstellung
:<math>h_{ij} = \int_{0}^{1} x^{i+j-2} \, dx</math>.

Sie wurde vom deutschen Mathematiker [[David Hilbert]] 1894 im Zusammenhang mit der Theorie der [[Legendre-Polynom]]e definiert. Da die Matrix positiv definit ist, existiert ihre [[Inverse Matrix|Inverse]], d.&nbsp;h. jedes [[lineares Gleichungssystem|lineare Gleichungssystem]] mit diesen Koeffizienten ist eindeutig lösbar. Die Hilbert-Matrix bzw. das betreffende Gleichungssystem ist jedoch vergleichsweise schlecht [[Kondition (Mathematik)|konditioniert]], und zwar umso schlechter, je größer <math>n</math> ist. Die [[Kondition (Mathematik)|Konditionszahl]] wächst exponentiell mit <math>n</math>; die Konditionszahl von <math> H_3 </math> ist 526,16 ([[Frobeniusnorm]]), diejenige von <math> H_4 </math> 15.613,8. Das heißt, dass bei der Berechnung der Inversen (der Auflösung des Gleichungssystems) immer größere Zahlen auftreten, je größer <math>n</math> ist. Daher ist die Hilbert-Matrix ein klassischer ''Testfall'' für Computer-Programme zur Inversion von Matrizen bzw. Auflösung linearer Gleichungssysteme, z.&nbsp;B. mit dem [[Gaußsches Eliminationsverfahren|Gauß-Verfahren]], [[LR-Zerlegung]], [[Cholesky-Zerlegung]] usw. Alle Komponenten der inversen Matrix sind [[ganze Zahl]]en mit alternierenden [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]].

Die Komponenten der Inversen der Hilbert-Matrix können durch geschlossene Formeln direkt berechnet werden:

:<math>(H^{-1}_n)_{i, j}\ =\ \frac{(-1)^{i+j}}{(i+j-1)}\ \frac{(n+i-1)! (n+j-1)!}{((i-1)!(j-1)!)^2(n-i)!(n-j)!} </math>,

was man auch durch [[Binomialkoeffizient]]en ausdrücken kann:	
		
:<math>(H^{-1}_n)_{i, j}\ =\ (-1)^{i+j}(i+j-1){n+i-1 \choose n-j}{n+j-1 \choose n-i}{i+j-2 \choose i-1}^2</math>.

Im Spezialfall <math>i=j=1</math> reduziert sich das zu:

:<math>(H^{-1}_n)_{1, 1}\ =\ n^2</math>.

Dass die Inverse der Hilbert-Matrix exakt berechnet werden kann, ist besonders nützlich, wenn z.&nbsp;B. bei einem Test das Ergebnis der numerischen Inversion einer Hilbert-Matrix mit einer LR- oder Cholesky-Zerlegung, die naturgemäß durch Rundungsfehler beeinträchtigt ist, beurteilt werden soll.

== Determinante ==
Die [[Determinante (Mathematik)|Determinante]] der Inversen der Hilbert-Matrix kann ebenfalls mit Hilfe folgender Formel exakt berechnet werden:
:<math> \det H^{-1}_n = \prod_{k=1}^{n-1}(2k+1){2k \choose k}^2</math>
Als Determinante der Hilbert-Matrix ergibt sich somit der Reziprokwert der Inversen mit <math> \det H_n = (\det H^{-1}_n)^{-1}</math>. Die Determinanten der Inversen für <math>1 \le n \le 5</math> lauten damit 1, 12, 2160, 6048000 und 266716800000 ({{OEIS|A005249}}).

== Zahlenbeispiele für Inverse ==

Aus obigen Formeln ergibt sich für die (exakte) Inverse in den Fällen <math>n=2,3,4,5</math>:

:<math>H_2^{-1}\ =\ \begin{pmatrix} 4 & -6 \\ -6 & 12 \end{pmatrix} </math>,

:<math>H_3^{-1}\ =\ \begin{pmatrix} 9 & -36 & 30 \\ -36 & 192 & -180 \\ 30 & -180 & 180 \end{pmatrix} </math>,

:<math>H_4^{-1}\ =\ \begin{pmatrix} 16 & -120 & 240 & -140 \\ -120 & 1200 & -2700 & 1680 \\ 240 & -2700 & 6480 & -4200 \\ -140 & 1680 & -4200 & 2800 \end{pmatrix} </math>,

:<math>H_5^{-1}\ =\ \begin{pmatrix} 25 & -300 & 1050 & -1400 & 630 \\ -300 & 4800 & -18900 & 26880 & -12600 \\ 1050 & -18900 & 79380 & -117600 & 56700 \\ -1400 & 26880 & -117600 & 179200 & -88200 \\ 630 & -12600 & 56700 & -88200 & 44100 \end{pmatrix} </math>.

Für eigenes Experimentieren mit Hilbert- (und natürlich auch mit allen anderen) Matrizen sind moderne Mathematik-Software-Pakete wie [[MATLAB]], [[Maple (Software)|Maple]], [[GNU Octave]] oder [[Mathematica]] nützlich. Z.&nbsp;B. mit Mathematica kann die letzte Inverse durch folgenden Befehl berechnet werden:

''Inverse für <math>n=5</math> berechnen:''
  In[1] := '''<nowiki>Inverse[HilbertMatrix[5]]</nowiki>//TraditionalForm'''

Die schlechte Kondition der Hilbert-Matrix bedeutet praktisch, dass die Zeilen- (und folglich auch die Spalten-) Vektoren ''fast'' [[lineare Unabhängigkeit|linear abhängig]] sind. Geometrisch äußert sich das u.&nbsp;a. darin, dass die Winkel zwischen den Zeilenvektoren sehr klein sind, und zwar zwischen den letzten Zeilenvektoren jeweils am kleinsten; so ist z.&nbsp;B. der Winkel zwischen dem letzten und dem vorletzten Zeilenvektor von <math> H_4 </math> kleiner als 3° (im Bogenmaß: kleiner als <math> \frac {\pi}{60} \ </math>). Bei größeren <math> n </math> sind die Winkel entsprechend noch kleiner. Der Winkel zwischen dem ersten Zeilenvektor von <math> H_3 </math> und der Ebene, die von den beiden anderen Zeilenvektoren aufgespannt wird, ist etwas kleiner als 1,3°, die entsprechenden Winkel für die beiden anderen Zeilenvektoren sind noch kleiner; auch diese Winkel sind bei größeren <math> n </math> noch kleiner.

== Literatur ==
* [[David Hilbert]]: ''Ein Beitrag zur Theorie des Legendreschen Polynoms.'' In: ''[[Acta Mathematica]].'' Bd. 18, 1894, S. 155–159, [https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02418278 Volltext].
* [[Gene H. Golub]], Charles F. Van Loan: ''Matrix computations.'' 3rd edition (Nachdruck). Johns Hopkins University Press, Baltimore MD u. a. 1996, ISBN 0-80185414-8 (in englischer Sprache).

{{SORTIERUNG:Hilbertmatrix}}
[[Kategorie:Matrix]]
[[Kategorie:Numerische lineare Algebra]]
[[Kategorie:David Hilbert als Namensgeber]]