Quelltext der Seite Kegel (Topologie)

In dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] ist ein '''Kegel über einem Raum''' eine bestimmte aus diesem konstruierte Punktmenge, die in natürlicher Weise selbst wieder einen [[Topologischer Raum|topologischen Raum]] bildet. Im [[euklidischer Raum|euklidischen]] Fall ist dieser tatsächlich [[homöomorph]] zu einem [[Geometrie|geometrischen]] [[Kegel (Geometrie)|Kegel]], im Allgemeinen ist die topologische Definition jedoch umfassender. Hauptsächlich werden Kegel über topologischen Räumen in der [[algebraische Topologie|algebraischen Topologie]] betrachtet.

== Definition ==
[[Datei:Cone.svg|rechts|250px|mini|Kegel über einem Kreis. Der ursprüngliche Raum ist blau, der zusammengeschlagene Endpunkt grün gefärbt.]]
Sei <math>X</math> ein topologischer Raum. Der ''Kegel über <math>X</math>'' ist definiert als die Menge

:<math>CX := (X \times [0;1]) / (X \times \{1\})</math>

versehen mit der [[Quotiententopologie]] bezüglich der ''kanonischen Projektion''.<ref>Allen Hatcher: ''Algebraic topology.'' 9, Cambridge University Press, Cambridge 2002, zitiert nach: [http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html math.cornell.edu] Aufgerufen am 2. Juli 2012.</ref>

Die Bezeichnung <math>C</math> stammt dabei vom lateinischen Wort ''conus'' für Kegel.

Ausführlich bedeutet das:

Es seien <math>X</math> ein topologischer Raum und <math>[0;1] \subset \R</math> das [[reelle Zahlen|reelle]] [[Intervall (Mathematik)|Einheitsintervall]] mit der [[Teilraumtopologie]]. Sei weiter auf dem [[Produkttopologie|Produkt]] <math>X \times [0;1]</math> dieser beiden Räume durch 
:<math>x \sim y :\Leftrightarrow x = y \lor x,y \in (X \times \{1\})</math> 
eine [[Äquivalenzrelation]] erklärt. Setze nun 
:<math>CX = (X \times [0;1]) / (X \times \{1\}) := (X \times [0;1]) / \sim</math>
als den [[Faktorraum]] und betrachte die kanonische Projektion 
:<math>p \colon X \times [0;1] \to CX;x \mapsto [x]_\sim</math>.

Eine Teilmenge <math>U \subseteq CX</math> soll nun genau dann [[Offene Menge|offen]] heißen, wenn ihr [[Urbild (Mathematik)|Urbild]] <math>p^{-1}(U)</math> offen in <math>X \times [0;1]</math> ist.
Das System dieser offenen Mengen bildet tatsächlich eine [[Topologischer Raum#Definition|Topologie]] auf <math>CX</math>, der so entstehende Raum ist der ''Kegel über <math>X</math>''.

Anschaulich gesprochen wird die Deckfläche des [[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]]s <math>X \times [0;1]</math> zu einem einzigen Punkt zusammengeschlagen.<ref>Klaus Jänich: ''Topologie.'' 8. Aufl., 51f., Springer, Berlin 2008.</ref>

== Eigenschaften ==
*Jeder topologische Raum lässt sich als [[Unterraum#Topologischer Raum|Teilraum]] seines Kegels auffassen, indem man <math>X</math> mit <math>X \times \{1\}</math> identifiziert.

*Der Kegel eines nicht-leeren Raumes ist stets [[Zusammenziehbarer Raum|zusammenziehbar]], vermöge der [[Homotopie]] <math>h_t([x;s]_\sim) = [(x;(1-t)s)]_\sim</math>.
**Zusammen mit der ersten Eigenschaft ergibt sich eine kanonische [[Einbettung (Mathematik)|Einbettung]] eines beliebigen (nicht-leeren) in einen zusammenziehbaren Raum, was die Bedeutung des Kegels in der algebraischen Topologie begründet.

*Der Kegel über einem topologischen Raum ist zu dem [[Abbildungskegel]] der [[Identische Abbildung|Identität]] dieses Raumes homöomorph.

*Jeder Kegel ist [[Zusammenhängender Raum#Wegzusammenhängend|wegzusammenhängend]], also insbesondere auch [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängend]].

*Lässt sich <math>X</math> in einen [[Euklidischer Raum|Euklidischen Raum]] einbetten, so ist <math>CX</math> zu einem geometrischen Kegel homöomorph.
**Besondere Bedeutung hat hier der Fall, dass <math>X</math> eine zusammenhängende, [[Kompakter Raum|kompakte]] [[Teilmenge]] des <math>\R^2</math> ist (siehe [[#Beispiele|Beispiele]]).

*Ist <math>X</math> allgemeiner kompakt und [[Hausdorffsch]], so entspricht sein Kegel der [[Vereinigungsmenge|Vereinigung]] aller [[Strecke (Geometrie)|Strecke]]n von Punkten <math>x \in X</math> zu einer gemeinsamen Spitze.

*Ist <math>X</math> ein [[CW-Komplex]], so auch <math>CX</math>.

== Beispiele ==
*Der Kegel über einem <math>n</math>-[[Simplex (Mathematik)|Simplex]] ist ein <math>n+1</math>-Simplex.
**Für einen Punkt <math>x \in \R^n</math> ist insbesondere <math>C\{x\}</math> eine [[Strecke (Geometrie)|Strecke]], <math>C(C\{x\})</math> ein [[Dreieck]] und <math>C(C(C\{x\}))</math> ein [[Tetraeder]].
*Der Kegel über einem [[Polygon]] <math>P</math> entspricht der [[Pyramide (Geometrie)|Pyramide]] mit Grundfläche <math>P</math>
*Der topologische Kegel über einem ausgefüllten [[Kreis]] ist der klassische Kreiskegel (siehe [[#Definition|Abbildung]]).
*Der topologische Kegel über einer Kreislinie ist die Mantelfläche eines Kreiskegels; diese wiederum ist [[homöomorph|topologisch äquivalent]] zum Vollkreis, indem man anschaulich gesprochen die Spitze eindrückt.
**Allgemein gilt die Homöomorphie <math>C S^{n-1} \cong D^n</math>.

== Reduzierter Kegel ==
Sei nun <math>(X;x_0)</math> ein [[Punktierter topologischer Raum|punktierter Raum]], so ist der '''reduzierte Kegel''' über <math>X</math> definiert als
:<math>C_*X = X\times [0,1] / (X\times \left\{0\right\}) \cup (\left\{x_0\right\}\times [0,1])</math>
mit der Quotiententopologie.<ref>Lothar Tschampel: ''Topologie 2: Bezüge zur Algebra.'' Buch-MAT 3.B, 1. Aufl., Buch-X-Verlag, Berlin 2011.</ref>

Mit <math>[(x_0;0)]_\sim</math> als Basispunkt wird <math>C_*X</math> selbst wieder zu einem punktierten Raum und die oben erwähnte Inklusion <math>x \mapsto [(x;1)]_\sim</math> zu einer basispunkterhaltenden Einbettung.

Der reduzierte Kegel ist gleich dem [[Reduzierter Abbildungskegel|reduzierten Abbildungskegel]] der Identität.

== Kegelfunktor ==

In der [[Kategorientheorie]] induziert die Zuordnung <math>X \mapsto CX</math> einen [[Kategorientheorie#Funktor|Endofunktor]] <math>C:\mathbf{Top}\to\mathbf {Top}</math> auf der Kategorie <math>\mathbf{Top}</math> der topologischen Räume.

Dieser ordnet außerdem jeder [[Stetige Funktion|stetigen Abbildung]] <math>f \in \operatorname{Mor}(X;Y)</math> diejenige Abbildung <math>C(f) \in \operatorname{Mor}(CX;CY)</math> zu, die durch <math>[(x;t)]_{\sim_{CX}} \mapsto [(f(x);t)]_{\sim_{CY}}</math> erklärt wird.<ref>Roman Goebel: ''Continuity of the cone functor.'' in: ''Topology and its applications.'' 132, S.&nbsp;235–250, 2003, zitiert nach: [https://wiki.helsinki.fi/download/attachments/33885362/Preprint324.ps wiki.helsinki.fi] Aufgerufen am 4. Juli 2012.</ref>

Das Gleiche gilt für <math>X \mapsto C_*X</math> in der Kategorie <math>\mathbf{Top*}</math> der punktierten topologischen Räume.

'''Hinweis:''' Die hier verwendete Notation sollte nicht mit dem Abbildungskegel <math>Cf</math> für stetiges <math>f</math> oder dem [[Funktionenraum]]  <math>\mathcal C(X)</math> ''aller'' stetigen Abbildungen auf einem topologischen Raum <math>X</math> verwechselt werden.

== Siehe auch ==
* [[Einhängung]]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Algebraische Topologie}}

[[Kategorie:Algebraische Topologie]]
[[Kategorie:Kategorientheorie]]
[[Kategorie:Topologischer Raum]]