Quelltext der Seite Kegelfunktion

Die '''Kegelfunktionen''' sind spezielle [[Zugeordnete Legendrepolynome|Kugelfunktionen]], die von [[Gustav Ferdinand Mehler]] 1868 als Lösung des Problems der Potentialbestimmung von auf einer [[Kegel (Geometrie)|Kegelfläche]] verteilten [[Elektrische Ladung|elektrischen Ladungen]] eingeführt wurden.

== Definition ==
Die ursprünglich von Mehler eingeführten Funktionen <math>K^\mu (x)</math> sind durch Kugelfunktionen darstellbar, und zwar [[zugeordnete Legendrepolynome]] erster und zweiter Art mit einem speziellen komplexen Index:

: <math>P^\mu_{-(1/2)+i\lambda}(x)</math> und <math>Q^\mu_{-(1/2)+i\lambda}(x)</math>.

Dabei ist <math>\lambda</math> reell und <math>\mu</math> beliebig.
Entsprechend werden heute diese beiden speziellen Legendrefunktionen als Kegelfunktionen bezeichnet.
Speziell gilt mit <math>x= \cos (\theta)</math> und <math>\mu =0</math>:

: <math> P_{-(1/2)+i\lambda}( \cos \theta ) = \frac{2}{\pi} \int_0^{\theta} \frac { \cosh ( \lambda t )} {\sqrt{2 (\cos t - \cos \theta)}} dt </math>
:<math> Q_{-(1/2) \mp i \lambda}(\cos \theta) =\pm i \sinh \lambda \pi \int_0^{\infty} \frac {\cos ( \lambda t)}{\sqrt {2 (\cosh t + \cos \theta )}} dt + \int_0^{\infty} \frac {\cosh ( \lambda t)}{\sqrt{2 (\cosh t - \cos \theta )}} dt </math>

== Literatur ==
* Abramowitz, Stegun: ''Handbook of Mathematical Functions''. Dover 1972, S. 337 (Abschnitt 8.12)
* G. F. Mehler: ''Über die Vertheilung der statischen Elektricität in einem von zwei Kugelkalotten begrenzten Körper''. In: ''Journal für die reine und angewandte Mathematik'', Band 68, 1868, S. 134, [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN243919689_0068 Online]
* G. F. Mehler: ''Über eine mit den Kugel- und Cylinderfunctionen verwandte Function und ihre Anwendung in der Theorie der Elektricitätsvertheilung''. In: ''Mathematische Annalen'', Band 18, 1881, S. 161, [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0018 Online]
* [[Carl Gottfried Neumann]]: ''Über die Mehler’schen Kegelfunctionen und deren Anwendung auf elektrostatische Probleme''. In: ''Mathematische Annalen'', Band 18, 1881, S. 195, [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0018 Online]
* G. Leonhardt: ''Integraleigenschaften der adjungirten Kegelfunctionen''. In: ''Mathematische Annalen'', Band 19, 1882, S. 578, [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0019 Online]

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=ConicalFunction |title=Conical Function}}

[[Kategorie:Elektrostatik]]
[[Kategorie:Analysis]]