Quelltext der Seite Kernsatz von Schwartz

Der '''Kernsatz von Schwartz''' (oder '''Satz vom Kern''') ist eine wichtige mathematische Aussage im Bereich der [[Distribution (Mathematik)|Distributionentheorie]], welche ein Teilgebiet der [[Funktionalanalysis]] ist. Sie wurde von dem Mathematiker [[Laurent Schwartz]] im Jahr 1952 bewiesen. Diese Aussage wird jedoch nicht auf Grund ihrer Wichtigkeit Kernsatz genannt, sondern weil es sich um eine Aussage über [[Integralkern|Integralkerne]] handelt. Diese hier behandelten Integralkerne werden '''Schwartz-Kerne''' genannt.

== Einleitung ==
Mit jeder Funktion <math>K \in C(X_1 \times X_2)</math> kann man einen [[Integraloperator]] <math>A : C_c(X_2) \to C(X_1)</math> durch
:<math>A(\phi)(x_1) = \int_{X_2} K(x_1,x_2)\phi(x_2)\mathrm{d} x_2</math> 
definieren. Das Symbol <math>C_c</math> bezeichnet die [[Stetige Funktion mit kompaktem Träger|stetigen Funktionen mit kompaktem Träger]]. Außerdem gilt die Identität 
:<math>\langle A(\phi) , \psi\rangle = K(\psi \otimes \phi)</math>
für alle <math>\psi \in C_c^\infty(X_1)</math> und <math>\phi \in C_c^\infty(X_2)</math>, wobei <math>K(\psi \otimes \phi)</math> hier als <math>L^2</math>-Skalarprodukt zu verstehen und das [[Tensorprodukt]] zweier Funktionen durch 
:<math>(\psi \otimes \phi)(x_1,x_2) := \psi(x_1) \phi(x_2).</math>
definiert ist. Im Folgenden soll diese Idee auf die [[Distribution (Mathematik)|Distributionentheorie]] erweitert werden. Sei dazu also <math>K \in \mathcal{D}'(X_1 \times X_2)</math> und <math>\phi \in C_c^\infty(X_2)</math>. Außerdem darf <math>A(\phi)</math> wieder eine Distribution sein.

== Kernsatz von Schwartz ==
Jede Distribution <math>K \in \mathcal{D}'(X_1 \times X_2)</math> definiert eine [[lineare Abbildung]] <math>A : C_c^\infty(X_2) \to \mathcal{D}'(X_1)</math>, welche der Identität
:<math>\langle A(\phi) , \psi\rangle = K(\psi \otimes \phi)</math>
genügt und bezüglich der [[schwach-*-Topologie]] stetig ist. Das heißt, falls <math>\phi_j \to 0</math> ein Nullfolge ist, so ist auch <math>A(\phi_j) \to 0</math> eine Nullfolge in <math>\mathcal{D}'(X_1).</math> 

Umgekehrt gibt es zu jeder linearen Abbildung <math>A : C_c^\infty(X_2) \to \mathcal{D}'(X_1)</math> genau eine Distribution <math>K</math>, so dass <math>\langle A (\phi) , \psi\rangle = K(\psi \otimes \phi)</math> gilt.

Diese Distribution <math>K</math> heißt Schwartz-Kern.

== Beispiele ==
* Der [[Identitätsabbildung|Identitätsoperator]] <math>I: C_c^\infty(X) \to C_c^\infty(X)</math> besitzt als Schwartz-Kern das [[Delta-Distribution|Dirac-Delta]] <math>K(x,y)=\delta(x-y)</math>.

== Literatur ==
* [[Lars Hörmander]]: ''The Analysis of Linear Partial Differential Operators.'' Band 1: ''Distribution Theory and Fourier Analysis.'' Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (''Grundlehren der mathematischen Wissenschaften'' 256).

[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Schwartz, Kernsatz von]]
[[Kategorie:Distributionentheorie]]