Quelltext der Seite Klassifikation projektiver Ebenen

Die übliche '''Klassifikation projektiver Ebenen''' erfolgt in der [[Synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]] anhand der [[Gruppenoperation|Operation]] der jeweiligen ''[[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] ihrer [[Kollineation]]en''.
Die '''Lenz-Barlotti-Klassifikation''' klassifiziert die Ebenen durch Eigenschaften der Operation bestimmter Untergruppen ihrer Kollineationsgruppe, sie verfeinert dabei die '''Lenz-Klassifikation'''. Dazu wird bei beiden Klassifikationen als Merkmal die Reichhaltigkeit der Untergruppen der Kollineationsgruppe betrachtet, die aus ''zentral-axialen'' Kollineationen (ebenen, [[Projektive Perspektivität|projektiven Perspektivitäten]]) mit je einer festen Achse und einem festen Zentrum bestehen.

Dabei zeigt sich, dass die gröbere Klasseneinteilung nach Lenz in der Regel jeder Klasse von Ebenen eine für sie charakteristische Klasse von [[Ternärkörper]]n zuordnet: Der [[Projektives Koordinatensystem|Koordinatenbereich]] einer „höheren“ Lenz-Klasse erfüllt –&nbsp;bei geeigneter Wahl der [[Vollständiges Viereck|projektiven Punktbasis]] für die Koordinatisierung&nbsp;– stärkere [[Algebraische Struktur|algebraische]] Axiome als der einer niedrigeren.

Die Lenz-Barlotti-Klassifikation ist keine Klassifikation „bis auf Isomorphie“: Isomorphe projektive Ebenen gehören stets zur gleichen Klasse, aber Ebenen einer Klasse brauchen nicht zueinander isomorph zu sein. Die einzigen Ausnahmen sind die Lenz-Barlotti-Klassen IVa.3 und IVb.3: In diesen Klassen sind alle Vertreter jeweils zueinander isomorphe Ebenen der ''Ordnung''&nbsp;9.

== Geschichte ==
[[Hanfried Lenz]] entwickelte in den 1940er Jahren eine Klassifikation für projektive Ebenen, die ''Lenz-Klassifikation''.<ref>Benz 1990</ref> Dabei definierte er als charakteristisches Merkmal die später ebenfalls nach ihm benannte ''Lenz-Figur'' einer projektiven Ebene, eine Menge von [[Geordnetes Paar|Paaren]], die jeweils von einer ''Achse'' ([[Fixpunktgerade]]) und einem Punkt (dem ''Zentrum'') auf dieser Achse gebildet werden.<ref name="Lenz_1954">Lenz (1954)</ref> [[Adriano Barlotti]] erweiterte und verfeinerte diese Klassifikation in den 1950er Jahren dadurch, dass er für die charakteristische Figur auch Zentren außerhalb der Achse zuließ.<ref>Barlotti (1957)</ref> Damit wird aus der Lenz-Figur die Lenz-Barlotti-Figur.

[[Günter Pickert]] entwickelte in den 1960er Jahren eine formale Definition des klassischen Begriffes [[Schließungssatz]] mit dem sich auch „Spezialisierungen“ eines Schließungssatzes und affine Formen (Spezialisierungen mit einer ausgezeichneten, ''konstanten'' Geraden, der Ferngeraden) fassen und vergleichen lassen.<ref>Pickert (1975)</ref> Der für die Klassifikation projektiver Ebenen wichtige Schließungssatz ist der [[Satz von Desargues]], alle „Transitivitätseigenschaften“, die eine Lenz- oder Lenz-Barlotti-Klasse charakterisieren, sind der Gültigkeit einer Spezialisierung des desarguesschen Satzes zusammen mit der Nichtgültigkeit einer anderen seiner Spezialisierungen gleichwertig. Pickert konnte auch zeigen, dass die Gültigkeit jedes Schließungssatzes äquivalent zur Gültigkeit bestimmter algebraischer Axiome in einem ''geeignet gewählten'' Koordinatenternärkörper ist. Die Lenz-Barlotti-Klassifikation liefert insofern zugleich eine Klassifikation der Koordinatenternärkörper. Während aber die Klassen der algebraischen Axiome und der Schließungssätze prinzipiell unbeschränkt sind, liefert die Lenz-Barlotti-Klassifikation anhand der Automorphismengruppe der Ebene eine endliche Anzahl von Klassen.

== Definitionen ==
Im Folgenden sei <math>\mathcal{P}</math> eine [[Projektive Ebene#Projektive Ebenen als Inzidenzstruktur|projektive Ebene]] und zugleich die Menge der auf der Ebene liegenden projektiven Punkte und <math>\mathcal{G}</math> die Menge der Geraden der Ebene, <math>\Gamma</math> die Gruppe der [[Kollineation]]en der Ebene. Eine Kollineation <math>\kappa\in\Gamma</math> heißt <math>(a,Z)</math>''-Kollineation'', wenn sie die Achse <math>a</math> und das Zentrum <math>Z</math> hat, das heißt, wenn gilt:
# Für jeden Punkt <math>P\in a</math> ist <math>\kappa(P)=P</math> und
# Für jede Gerade <math>g</math>, die durch <math>Z</math> geht, ist <math>\kappa(g)=g</math>.
Mit <math>\Gamma_{(a,z)} < \Gamma</math> wird die Untergruppe der <math>(a,Z)</math>-Kollineationen der Ebene bezeichnet.
Die projektive Ebene heißt <math>(a,Z)</math>''-transitiv'', wenn die Gruppe <math>\Gamma_{(a,Z)}</math> für jede Gerade <math>h\in \mathcal{G}\setminus \lbrace a\rbrace</math> mit <math>Z\in h</math> [[Gruppenoperation#Transitive Gruppenoperation|transitiv]] auf <math>h\setminus \left( \lbrace Z \rbrace \cup (a \cap h) \right)</math> operiert.

=== Figuren ===
Die Menge
:<math>L(\mathcal{P})=\lbrace (a,Z)\in \mathcal{G}\times\mathcal{P}:\quad Z\in a \land \mathcal{P}\text{ ist } (a,Z)\text{-transitiv}\rbrace</math>
heißt ''Lenz-Figur'' von <math>\mathcal{P}</math>.

Die Menge
:<math>B(\mathcal{P})=\lbrace (a,Z)\in \mathcal{G}\times\mathcal{P}:\quad \mathcal{P}\text{ ist } (a,Z)\text{-transitiv}\rbrace</math>
heißt ''Lenz-Barlotti-Figur'' von <math>\mathcal{P}</math>.

=== Invarianz der Figuren ===
Sowohl die Lenz-Figur, als auch die Lenz-Barlotti-Figur sind invariant unter jeder Kollineation, das heißt konkret:

Ist <math>\mathcal{P}</math> eine projektive Ebene und <math>\kappa</math> eine beliebige Kollineation dieser Ebene, dann gilt<ref name="Lenz_1954" />
: <math>(a,Z)\in L(\mathcal{P})\Rightarrow (\kappa(a),\kappa(Z))\in L(\mathcal{P})\quad </math> und
: <math>(a,Z)\in B(\mathcal{P})\Rightarrow (\kappa(a),\kappa(Z))\in B(\mathcal{P})\quad </math>.

== Koordinatisierung der projektiven Ebene ==
[[Datei:Projective Plane Coordinates.svg|mini|Einführung von Koordinaten in einer beliebigen projektiven Ebene durch eine projektive Punktbasis (vollständiges Viereck)<math>(O,U,V,E)</math> (rot). Die Verbindungsgerade <math>UV</math> (hellblau) wird zur ''Ferngerade'' der Ebene.]]

Für Ebenen der Lenz-Klassen I bis IV ist die algebraische Struktur der Koordinatenternärkörper von der Wahl des projektiven Koordinatensystems abhängig und von der darauf beruhenden Definition der Ternärkonstruktion. Die im nächsten Abschnitt beschriebenen Lenz-Barlotti-Figuren werden mit Hilfe des hier beschriebenen Koordinatenbezugssystems angegeben. Dazu wird eine Koordinatendarstellung der Punkte mit abgekürzten Koordinaten auf der Ferngeraden eingeführt, vergleiche dazu die Abbildung rechts, die Koordinatisierung und die Bezeichnungen richten sich nach Prieß-Crampe,<ref name="PC" /> sie gehen auf [[Marshall Hall (Mathematiker)|Marshall Hall]]<ref>Hall (1943), Heyting (1963)(1980)</ref> zurück:
# Ein projektives Koordinatensystem wird durch ''geeignete'' Wahl eines [[Vollständiges Viereck|vollständigen Vierecks]] <math>(O,U,V,E)</math> ''auf der Lenz-Barlotti-Figur'' bestimmt.
# Der Punkt O wird zum Ursprung des ''affinen'' Koordinatensystems, <math>UV</math> ist die Ferngerade, die affinen Punkte auf <math>OE</math>, also die Punkte in <math>K:=OE\setminus UV</math> bilden den Ternärkörper.
# Der Punkt ''O'' wird zum neutralen Element der Addition und als Element von ''K'' mit 0 bezeichnet.
# Der Punkt ''E'' wird zum neutralen Element der Multiplikation und als Element von ''K'' mit 1 bezeichnet.
# Alle Elemente der affinen Gerade ''K'' haben als affine Koordinaten <math>(x,x), x\in K</math>
# Der Punkt mit den Koordinaten <math>(x,y)\in K^2</math> ist bestimmt als Schnittpunkt der Geraden <math>Vx</math> und <math>Uy</math>. Umgekehrt erhält man die Koordinaten eines affinen Punktes <math>P\not\in UV</math> als Schnittpunkte <math>x_P\in PV\cap OE</math> und <math>y_P\in PU\cap OE</math>.
: Spezialfälle:
:# Die affinen Punkte ''B'' auf der Geraden <math>OV</math>, also alle Punkte dieser Geraden außer ''V'', haben die Koordinaten <math>(0,b)</math>, wobei das Ternärkörperelement (''Koordinate'') <math>b\in K</math> als Schnittpunkt <math>b\in BV\cap OE</math> bestimmt ist. Dieser Spezialfall der Koordinatenkonstruktion ist in der Abbildung schwarz dargestellt.
:# Die affinen Punkte ''Y'' auf der Geraden <math>EV</math>, also alle Punkte dieser Geraden außer ''V'', haben die Koordinaten <math>(1,b)</math>, wobei die Koordinate <math>y\in K</math> als Schnittpunkt <math>y\in YV\cap OE</math> bestimmt ist. Dieser Spezialfall der Koordinatenkonstruktion ist in der Abbildung grün dargestellt.
:# Ein Punkt <math>Y\neq V</math> auf der Ferngeraden erhält die Koordinatendarstellung <math>(y)</math> wobei <math>y\in K</math> dadurch bestimmt ist, dass der Schnittpunkt <math>OY\cap EV</math> die affinen Koordinaten <math>(1,y)</math> hat. Der Punkt ''V'', dem auf diese Art keine Koordinate zugewiesen werden kann, erhält die Koordinatendarstellung <math>(\infty)</math>.

=== Ternärverknüpfung und Geradendarstellung ===
[[Datei:Ternary Construction Projective.svg|mini|Ternärkonstruktion in einer beliebigen projektiven Ebene für die Ternärkörperelemente, das sind die ''affinen Punkte''<math>x=(x,x)\in OE\setminus UV</math> der Geraden <math>OE</math>. Die Verbindungsgerade <math>UV</math> (hellblau) ist die ''Ferngerade'' der Ebene.]]
Die Ternärverknüpfung <math>(a,x,b)\mapsto T(a,x,b)</math> wird nun für <math>(a,x,b)\in K</math> so definiert, vergleiche die zweite Abbildung rechts:
# Zu <math>a\in K</math> wird der Fernpunkt <math>A=(a)\in UV\setminus \{V\}</math> konstruiert.
# Zu <math>b\in K</math> wird der Punkt <math>B=(0,b)\in OV\setminus \{V\}</math> konstruiert.
# Das Ergebnis <math>T=T(a,x,b)</math> ist bestimmt als die ''y''-Koordinate des Schnitts <math>xV\cap BA</math>, der in der Abbildung grün dargestellt ist.

Diese Ternärverknüpfung ist der im Artikel [[Ternärkörper]] beschriebenen affinen Definition äquivalent. Anders als dort beschrieben, werden hier die Geraden durch in der zweiten Koordinate ''y'' explizite Gleichungen (und zwei Sonderformen) dargestellt:
# Die Geraden <math>[a,b]</math> haben die explizite Geradengleichung <math>y=T(a,x,b)</math> für die affinen Punkte und den Fernpunkt <math>(a)</math>, als Beispiel in der Abbildung die grau dargestellte [[Verbindungsgerade]] <math>[a,b]=(0,b)(b)</math>. Dies sind alle Geraden der projektiven Ebene, außer denen durch <math>V=(\infty)</math>. Ein Spezialfall sind die Verbindungsgeraden <math>(0,b)U</math> mit der affinen Gleichung <math>y=T(0,x,b)=b</math> und dem Fernpunkt <math>U=(0)</math>.
# Die Geraden <math>[c]</math> durch ''V'', die <math>OE</math> in einem affinen Punkt <math>c=(c,c)</math> schneiden, haben die Gleichung <math>x=c</math> für die affinen Punkte und den Fernpunkt <math>V=(\infty)</math>. Ein Beispiel ist die Gerade <math>[x]</math> in der Abbildung.
# Die Ferngerade <math>UV=[\infty]</math> enthält genau die Punkte mit den Koordinaten <math>(a), a\in K\cup\{\infty \}</math>.

Im affinen Ausschnitt der Ebene sind Geraden genau dann parallel, wenn ihre projektive Fortsetzungen durch denselben Fernpunkt <math>(a),a\in K\cup \{\infty\}</math> gehen, daher gilt für die Parallelenscharen:
# Zwei Geraden <math>[a_1,b_1],[a_2,b_2]</math> sind genau dann parallel, wenn <math>a_1=a_2</math> ist. Diese Zahl ist die gemeinsame ''Steigung'' der zugehörigen Parallelenschar.
# Alle Geraden vom zweiten Typ <math>[c]</math> sind zueinander, aber zu keiner Geraden des ersten Typs parallel.

=== Konstruktion der zweistelligen Verknüpfungen ===
Auf jeder projektiven Ebene werden durch die Wahl eines Koordinatenbezugssystems <math>(O,U,V,E)</math> auch zwei zweistellige Verknüpfungen, eine Addition <math>x+b:=T(1,x,b)</math> und eine Multiplikation <math>a \cdot x=T(a,x,0)</math> auf der affinen Punktmenge <math>K=OE\setminus UV</math> festgelegt. Die oben beschriebene Ternärverknüpfung ist auf allen Ebenen außer denen der Lenz-Barlotti-Klasse I.1, also auf allen Ebenen über einem ''linearen'' Ternärkörper durch diese zweistelligen Verknüpfungen als <math>T(a,x,b)=a\cdot x+b</math> darstellbar.

In den Abbildungen unten sind diese Spezialfälle der Ternärverknüpfung dargestellt.
{| class="wikitable"
|-
| [[Datei:Addition Construction Projective.svg]]
| [[Datei:Multiplication Construction Projective.svg|mini]]
|-
| Addition <math>x+b=T(1,x,b)</math> in einer projektiven Ebene.
| Multiplikation <math>a \cdot x=T(a,x,0)</math> in einer projektiven Ebene.
|-
|}

== Die Klassen und ihre Eigenschaften ==
=== Lenz-Klassen ===
Lenz ordnet jeder Lenz-Figur eine Ordnungszahl in Form einer [[Römische Zahl|römischen Zahl]] zwischen I und VII zu. Eine Klasse mit einer höheren Klassenzahl erfüllt alle Eigenschaften der Klassen mit niedrigeren Zahlen, aber ihre Lenz-Figur ist eine ''echte'' Obermenge von Lenzfiguren der niedrigeren Klassen. Die Klassenzahl VI entfällt, da gezeigt wurde, dass keine projektive Ebene mit der entsprechenden Lenz-Figur existiert. Stattdessen hat bereits Lenz die Klasse IV in zwei Unterklassen IVa und IVb aufgeteilt, die dual zueinander sind.

Eine projektive Ebene <math>\mathcal{P}</math> hat genau eine der im Folgenden genannten Lenz-Figuren:<ref>{{Internetquelle |autor=Hauke Klein |url=http://www.math.uni-kiel.de/geometrie/klein/math/geometry/lenz.html |titel=Lenz types |titelerg=Geometry |hrsg=Universität Kiel |abruf=2011-01-17 |sprache=en |kommentar=Tabellarische Übersicht über die Lenz-Klassen}}</ref>

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|- class="hintergrundfarbe6"
! Lenz-Typ !! Lenz-Figur !! Koordinatenbereich
|-
| I
| <math>L(\mathcal{P})=\emptyset</math>
| [[Ternärkörper]]
|-
| II
| Es gibt eine Achse <math>a\in\mathcal{G} </math> und ein Zentrum <math>Z\in a</math> mit <math>L(\mathcal{P})=\lbrace (a,Z)\rbrace </math>
| [[kartesische Gruppe]]
|-
| III
| Es gibt eine Gerade <math>g\in\mathcal{G}</math> und einen Punkt <math>U\in\mathcal{P}\setminus g</math>, so dass
<math>L(\mathcal{P})=\lbrace (UZ,Z): Z\in g\rbrace</math> gilt.
| ''spezielle kartesische Gruppe'' (stets unendlich!)
|-
| IVa
| Es gibt eine Achse <math>a\in\mathcal{G}</math>, so dass <math>L(\mathcal{P})=\lbrace a \rbrace\times a</math> gilt.
| [[Quasikörper|Linksquasikörper]]
|-
| IVb
| Es gibt ein Zentrum <math>Z\in\mathcal{P}</math>, so dass <math>L(\mathcal{P})=\lbrace g\in\mathcal{G}: Z\in g\rbrace \times \lbrace Z\rbrace</math> gilt.
| Rechtsquasikörper<ref>Wenn man bei einer Ebene der Lenz-Klasse IVb von der dualen Ebene ausgeht, also bei der Konstruktion des Koordinatenbereichs anstelle der Punktmenge <math>\mathcal P</math> zunächst die Geradenmenge <math>\mathcal G</math> und ein geeignetes ''vollständiges Vierseit'' zugrunde legt, dann kann man dieses Vierseit so wählen, dass der Koordinatenbereich der erneut dualisierten Ebene ein Rechtsquasikörper ist.</ref>
|-
| V
| Es gibt eine Achse <math>a\in\mathcal{G}</math> und ein Zentrum <math>Z\in\mathcal{P}</math>, so dass
<math>L(\mathcal{P})=\left(\lbrace a \rbrace\times a \right)\cup \left(\lbrace g\in\mathcal{G}: Z\in g\rbrace \times \lbrace Z\rbrace\right)</math> gilt.
| [[Halbkörper (Geometrie)|Halbkörper]]
|-
| VII
| <math>L(\mathcal{P})=\lbrace (a,Z)\in\mathcal{G}\times\mathcal{P}: Z\in a \rbrace</math>
| [[Alternativkörper]]
|}

Ebenen, die mindestens den Lenz-Typ IVa haben, also zu einer der Klassen IVa, V oder VII gehören, werden auch als '''projektive Translationsebenen''' bezeichnet. Schlitzt man eine solche Ebene längs einer Achse, die zur Lenzfigur gehört, dann entsteht eine [[affine Translationsebene]]. Bei Ebenen der Lenz-Klassen IVb, V oder VII ist die duale Ebene eine ''projektive Translationsebene'' in diesem Sinn. Nur bei Ebenen der Lenz-Klasse VII ist die algebraische Struktur des Koordinatenbereichs unabhängig von der Wahl des [[Projektives Koordinatensystem|projektiven Koordinatensystems]], hier sind alle Koordinatenbereiche zueinander isomorphe Alternativkörper, siehe dazu [[Moufangebene]]. Für eine Ebene der Klasse V sind die Koordinatenbereiche zueinander [[Isotopie (Geometrie)|isotope]] Halbkörper. Bei den Klassen I bis IV sind die Koordinatenkörper zueinander isotope Ternärkörper und nur bei ''geeigneter'' Wahl des Koordinatensystems haben sie die in der Tabelle genannte „stärkst-mögliche“ algebraische Struktur.

=== Lenz-Barlotti-Klassen ===
Die Lenz-Barlotti-Klassifikation<ref name="PC" /><ref name="KleinBarlotti">{{Internetquelle |autor=Hauke Klein |url=http://www.math.uni-kiel.de/geometrie/klein/math/geometry/barlotti.html |titel=Lenz Barlotti |titelerg=Geometry |hrsg=Universität Kiel |abruf=2011-12-25 |sprache=en |kommentar=Tabellarische Übersicht über die Lenz-Barlotti-Klassen}}</ref> verfeinert die Lenz-Klassifikation, indem bei der Lenz-Barlotti-Figur auch zugelassen wird, dass das Zentrum nicht auf der Achse liegt. Die römischen Zahlen nach Lenz werden beibehalten, ihnen werden, durch einen Punkt getrennt, arabische Ziffern angefügt. Jede Lenz-Barlotti-Klasse ist eine Unterklasse der oben beschriebenen Lenz-Klassifikation. Damit zerfiel zum Beispiel die Klasse I von Lenz bei Barlotti ursprünglich in 8 Unterklassen (I.1 bis I.8), wobei sich später zeigte, dass keine Vertreter der Klassen I.5, I.7 und I.8 existieren. Die Lenz-Klasse V zerfällt als Einzige in der Lenz-Barlotti-Klassifikation nicht weiter, hier gilt <math>L(\mathcal{P})=B(\mathcal{P})</math>. Ansonsten stimmt die Lenz-Barlotti-Figur für die jeweils ''erste'' Lenz-Barlotti-Klasse mit der Lenz-Figur der entsprechenden übergeordneten Lenz-Klasse überein.

Eine projektive Ebene <math>\mathcal{P}</math> hat genau eine der im Folgenden genannten Lenz-Barlotti-Figuren:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|- class="hintergrundfarbe6"
! Lenz-Barlotti-Typ !! Lenz-Barlotti-Figur !! Ternärkörper ''K'' bezüglich <math>O,U,V,E</math>
|-
| I.1
| <math>B(\mathcal{P})=L(\mathcal{P})=\emptyset</math>
| keine zusätzlichen Eigenschaften
|-
| I.2
| <math>B(\mathcal{P})=\{ (U, OV)\}</math>
| ''K'' ist linear, Multiplikation ist assoziativ
|-
| I.3
| <math>B(\mathcal{P})=\{ (U, OV), (V,OU) \}</math>
| ''K'' ist linear, Multiplikation ist assoziativ, <math>a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c</math>
|-
| I.4
| <math>B(\mathcal{P})=\{ (U, OV), (V,OU), (O,UV) \}</math>
| ''K'' ist linear, Multiplikation ist assoziativ, beide Distributivgesetze
|-
| I.6
| <math>B(\mathcal{P})=\{ (X,\theta(X)): X\in UV,X\neq V\}</math>, wobei <math>\theta</math> eine bijektive Abbildung der Punkte von <math>UV\setminus\{ V\}</math> auf die Menge der Geraden durch ''V'' außer ''UV'' ist, in Koordinaten zum Beispiel <math>\theta((a))=[a]</math>.
| ''K'' ist linear, Multiplikation ist assoziativ, beide Distributivgesetze, weitere spezielle Eigenschaften
|-
| II.1
| <math>B(\mathcal{P})=L(\mathcal{P})=\{ (V, UV)\}</math>
| Kartesische Gruppe
|-
| II.2
| <math>B(\mathcal{P})=\{ (V, UV), (U,OV)\}</math>
| Kartesische Gruppe, assoziative Multiplikation
|-
| III.1
| <math>B(\mathcal{P})=\{ (X, XU): X\in OV \}</math>
| Kartesische Gruppe mit speziellen Eigenschaften
|-
| III.2
| <math>B(\mathcal{P})=\{ (X, XU): X\in OV \}\cup \{(U,OV\}</math>
| Kartesische Gruppe mit speziellen Eigenschaften, assoziative Multiplikation
|-
| IVa.1
| <math>B(\mathcal{P})=L(\mathcal{P})=\{ (X, UV): X\in UV \}</math>, Translationsebene
| Linksquasikörper: <math>a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c</math>
|-
| IVa.2
| <math>B(\mathcal{P})=\{ (U, g): g\ni V \}\cup \{ (V,h): h\ni U\} \{ (X,UV): X\in UV\}</math>
| (Links-)[[Fastkörper]]
|-
| IVa.3
| <math>B(\mathcal{P})=\{ (X, x): X\in UV,\theta(X)\in x \}</math>, wobei <math>\theta</math> eine involutorische, bijektive, fixpunktfreie Abbildung der Geraden ''UV'' auf sich ist
| eindeutig bestimmter Linksfastkörper mit 9 Elementen.
|-
| IVb.1
| Die Lenz-Barlotti-Figur ist dual zu der von Klasse IVa.1.
| Dual zu IVa.1.
|-
| IVb.2
| Die Lenz-Barlotti-Figur ist dual zu der von Klasse IVa.2.
| Dual zu IVa.2.
|-
| IVb.3
| Die Lenz-Barlotti-Figur ist dual zu der von Klasse IVa.3.
| Dual zu IVa.3.
|-
| V
| <math>B(\mathcal{P})=L(\mathcal{P})=\{ (X,UV): X\in UV\}\cup \{ (V,x): x\ni V\}</math>
| [[Halbkörper (Geometrie)|Halbkörper]]
|-
| VII.1
| <math>B(\mathcal{P})=L(\mathcal{P})=\lbrace (a,Z)\in\mathcal{G}\times\mathcal{P}: Z\in a \rbrace</math>
| [[Alternativkörper]]
|-
| VII.2
| <math>B(\mathcal{P})=\mathcal{G}\times\mathcal{P}</math>
| [[Schiefkörper]]
|}

== Modelle ==
In diesem Abschnitt findet sich eine Übersicht über heute bekannte Beispiele (Stand: 2011) für Ebenen, die Vertreter bestimmter Lenz-Barlotti-Klassen sind. Insbesondere über unendliche Ebenen, die in die Lenz-Klasse I fallen, ist recht wenig bekannt, endliche Modelle für diese „schwächsten“ Lenz-Barlotti-Klassen werden heute mit massivem Computereinsatz gesucht oder es wird auf diesem Wege versucht, deren Existenz zu widerlegen. Die folgende tabellarische Liste erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit!

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|- class="hintergrundfarbe6"
! Lenz-Klasse !! Lenz-Barlotti-Klasse !! endliche Modelle !! unendliche Modelle
|-
|rowspan="5" | I
| I.1
| ''„Hughes planes“'':<ref>Hughes (1957)</ref> Zu ungeraden Primzahlen <math>p</math> wird aus einem „echten“ [[Fastkörper]] der (geeigneten) Ordnung <math>p^{2n};\; n\geq 1</math> ein Ternärkörper gemacht. Auch eine der projektiven Ebenen der Ordnung 9, die keine Translationsebene ist, ist vom Hughes-Typ.
| ''Hilbertsche'' und ''Beltramische Liniensysteme''<ref name="PC">Prieß-Crampe V.5: ''Lenz-Barlotti-Klassifizierung angeordneter projektiver Ebenen''</ref><ref>Mohrmann (1922)</ref>
|-
| I.2
|rowspan="3" | unbekannt.<ref name="PickertAnhang">Bis zum Jahr 1975 waren keine Modelle bekannt. Pickert (1975), Anhang, 6: ''Die Lenz-Barlotti-Klassifizierung''</ref>
| Ein [[Archimedisches Axiom|archimedisch angeordneter]], linearer Ternärkörper <math>(\R,\oplus,\cdot,0,1)</math> mit der gewöhnlichen Multiplikation und einer abgewandelten Addition, der eine [[Ebene projektive Ebene|''ebene'']] I.2-Ebene koordinatisiert, wurde 1960 von Spencer<ref>Spencer (1960), S. 256</ref> angegeben.<ref name="PC" />
|-
| I.3
| Auf einem angeordneten, echten Fastkörper wird analog zur Konstruktion einer reellen Moultonebene mit einer Knickkonstante aus dem Zentrum des Fastkörpers eine Moulton-Ebenenmultiplikation eingeführt. Dann koordinatisiert der entstehende Ternärkörper eine ''ebene'' I.3-Ebene.<ref name="PC" />
|-
| I.4
| Ein archimedisch angeordneter, linearer Ternärkörper <math>(\R,\oplus,\cdot,0,1)</math> mit der gewöhnlichen Multiplikation und einer abgewandelten Addition, der eine ''ebene'' I.4-Ebene koordinatisiert, wurde 1957 von Salzmann<ref>Salzmann (1957)</ref> angegeben.<ref name="PC" />
|-
| I.6
| Existieren nicht!<ref name="Hering_221" />
| unbekannt<ref name="PickertAnhang" /><ref>Als André am 23. Januar 1964 seinen Artikel schrieb, war die Existenz dieser Klasse ungeklärt! Siehe dort S. 316</ref>
|-
|rowspan="2" | II
| II.1
| Walker-Planes, dies sind Ebenen der Ordnung <math>q^2</math>, wobei ''q'' eine geeignete, ungerade Primzahlpotenz ist.<ref>Johnson & Piper (1974)</ref>
|rowspan="2" |Für beide Lenz-Barlotti-Klassen II.1 und II.2 existieren unendliche Modelle, die sogar eine Anordnung zulassen. Siehe dazu die [[Kartesische Gruppe#Beispiele|Beispiele]] im Artikel [[Kartesische Gruppe]].
|-
| II.2
| Einige Beispiele der Ordnung <math>3^r,r\geq 4</math> finden sich in dem Artikel von Coulter und Mathews.<ref>Coulter & Mathews (1997)</ref>
|-
|rowspan="2" |III
| III.1
| Existieren nicht!<ref name="Hering_221">Hering und Kantor (1971), S. 221</ref>
| Analog zu III.2, aber die [[Moulton-Ebene]]n-Multiplikation wird auf einem angeordneten, nicht kommutativen (damit zwangsläufig unendlichen) ''Schief''körper <math>K</math> mit einer positiven Knickkonstanten definiert, die nicht im [[Zentrum (Algebra)|Zentrum]] <math>Z(K)</math> liegt.<ref name="Andre">André (1964)</ref> Siehe dazu auch die [[Kartesische Gruppe#Beispiele|Beispiele]] im Artikel [[Kartesische Gruppe]].
|-
| III.2
| Existieren nicht!<ref name="Hering_221" /><ref name="Yaqub">Yaqub (1967)</ref>
| [[Moulton-Ebene]]n vom reellen Typ aus einem (unendlichen) [[Angeordneter Körper|angeordneten Körper]].<ref name="Andre" />
|-
|rowspan="3" |IVa
| IVa.1
| Ebenen über endlichen Quasikörpern, die weder Fast- noch Halbkörper sind. Solche Quasikörper sind zum Beispiel die in [[Quasikörper#Quasikörper endlicher Moulton-Ebenen]] beschriebenen, aus endlichen Körpern ungerader Primzahlpotenzordnung <math>p^r,r\geq 3</math> konstruierten, sofern der die Multiplikation definierende Körperautomorphismus nicht involutorisch ist.
| Unendliche Andrésche Quasikörper.<ref name="André 1954">André (1954)</ref> Es existiert kein Modell, das eine archimedische Anordnung zulässt.<ref name="PC" />
|-
| IVa.2
| Ebenen über endlichen Fastkörpern, die keine Halbkörper sind. Solche Fastkörper sind zum Beispiel die in [[Quasikörper#Quasikörper endlicher Moulton-Ebenen]] beschriebenen, aus endlichen Körpern ungerader Primzahlpotenzordnung <math>p^r > 9,r\geq 2</math> konstruierten, sofern der die Multiplikation definierende Körperautomorphismus involutorisch ist.
| Unendliche Andrésche Fastkörper.<ref name="André 1954" /> Es existiert kein Modell, das eine archimedische Anordnung zulässt.<ref name="PC" />
|-
| IVa.3
| Es existiert bis auf Isomorphie genau ein Modell: Die [[Ternärkörper#Beispiele der Ordnung 9|projektive, nichtdesarguesche Translationsebene der Ordnung 9]]<ref name="KleinBarlotti" />
| Existieren nicht!<ref name="PC" /><ref name="KleinBarlotti" />
|-
|rowspan="3" |IVb
| IVb.1
| Dual zu IVa.1
| Dual zu IVa.1
|-
| VIb.2
| Dual zu IVa.2
| Dual zu IVa.2
|-
| IVb.3
| Es existiert bis auf Isomorphie genau ein Modell: Die duale Ebene zu der Ebene vom Typ IVa.3<ref name="KleinBarlotti" />
| Existieren nicht!<ref name="PC" /><ref name="KleinBarlotti" />
|-
| V
| V
| Unendlich viele Modelle: Für jede Primzahlpotenz <math>p^r\geq 16,r\geq 3</math> existiert ein „echter“ endlicher Halbkörper, siehe [[Halbkörper (Geometrie)#Halbkörpermodelle|Halbkörpermodelle]]. Die projektive Ebene über einem solchen Körper gehört stets zur Klasse V.
| Unendlich viele Modelle über „echten“ unendlichen Halbkörpern. Beispiele für solche Halbkörper, die sogar eine Anordnung zulassen, lassen sich aus verallgemeinerten formalen Potenzreihen gewinnen. Keine Klasse-V Ebene lässt eine ''archimedische'' Anordnung zu.<ref name="PC" />
|-
|rowspan="2" |VII
| VII.1
| Existieren nicht! (→ Siehe [[Moufangebene]]!)
| <math>\mathbb{P}^2(\mathbb{O})</math> über den [[Oktave (Mathematik)|reellen Oktonionen]] und Ebenen über entsprechend aus [[Formal reeller Körper|formal reellen Körpern]] konstruierten Alternativkörpern. Es existiert kein Modell, das eine Anordnung zulässt.<ref name="PC" />
|-
| VII.2
| Zu jeder Primzahlpotenzordnung (außer <math>p^0=1</math>) existiert bis auf Isomorphie genau ein Modell: Die [[Satz von Pappos|pappussche Ebene]] <math>\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_{p^r});\; r\geq 1</math> über dem [[Endlicher Körper|endlichen Körper]] <math>\mathbb{F}_{p^r}</math>
| Zu jedem unendlichen Schiefkörper <math>K</math> existiert bis auf Isomorphie genau ein Modell: Die unendliche desarguessche Ebene <math>\mathbb{P}^2(K)</math> über <math>K</math>
|}

== Literatur ==
=== Zur Geschichte des Begriffes und Übersichtsartikel ===
* {{Literatur
   |Autor=Adriano Barlotti
   |Titel=Le possibili configurazioni del sistema delle coppie punto-retta (A ,a) per cui un piano grafico risulta (A ,a)-transitivo
   |Sammelwerk=Bolletino Unione Matematica Italiana
   |Band=12
   |Datum=1957
   |Seiten=212–226
   |Sprache=it}}
* {{Literatur
   |Autor=Walter Benz
   |Titel=Ein Jahrhundert Mathematik, 1890-1990
   |TitelErg=Festschrift zum Jubiläum der [[Deutsche Mathematiker-Vereinigung|DMV]]
   |Verlag=Vieweg
   |Ort=Braunschweig
   |Datum=1990
   |ISBN=3-528-06326-2}}
* {{Literatur
   |Autor=Marshall Hall
   |Titel=Projective Planes
   |Sammelwerk=Transactions of the American Mathematical Society
   |Nummer=54
   |Datum=1943
   |Seiten=229–277
   |Sprache=en}}
* {{Literatur
   |Autor=A. Heyting
   |Titel=Axiomatic Projective Geometry
   |Auflage=2
   |Verlag=North Holland Publishing Company
   |Ort=Amsterdam
   |Datum=1980
   |Sprache=en
   |JahrEA=1963}}
* {{Literatur
   |Autor=Hanfried Lenz
   |Titel=Kleiner desarguesscher Satz und Dualität in projektiven Ebenen
   |Sammelwerk=Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung
   |Band=Band 57
   |Verlag=Teubner
   |Datum=1955
   |Seiten=20–31
   |Online=https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN37721857X_0057
   |Abruf=2011-06-10}}<!-- vgl. https://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN37721857X_0057 -->
* {{Literatur
   |Autor=Charles Weibel
   |Titel=Survey of Non-Desarguesian Planes
   |Sammelwerk=Notices of the [[American Mathematical Society]]
   |Band=54
   |Verlag=American Mathematical Society
   |Datum=2007-11
   |Seiten=1294–1303
   |Sprache=en
   |Online=[https://www.ams.org/notices/200710/tx071001294p.pdf Volltext]
   |Format=PDF
   |KBytes=702
   |Abruf=2011-12-25}}

=== Originalartikel, in denen Modelle oder deren Nichtexistenz erwiesen werden ===
* {{Literatur
   |Autor=Johannes André
   |Titel=Über nicht-Desarguessche Ebenen mit transitiver Translationsgruppe
   |Sammelwerk=Mathematische Zeitschrift
   |Band=Volume 60
   |Datum=1954
   |Seiten=156–186}}
* {{Literatur
   |Autor=Johannes André
   |Titel=Über projektive Ebenen vom Lenz-Barlotti-Typ III 2
   |Sammelwerk=Mathematische Zeitschrift
   |Band=Volume 84
   |Nummer=3
   |Datum=1964
   |Seiten=316–328
   |DOI=10.1007/BF01112588}}
* {{Literatur
   |Autor=Robert S. Coulter, Rex W. Mathews
   |Titel=Planar functions and planes of Lenz-Barlotti-Class 2
   |Sammelwerk=Designs, Codes and Cryptography
   |Band=10
   |Nummer=2
   |Datum=1997-02
   |Seiten=167–184
   |Sprache=en
   |DOI=10.1023/A:1008292303803}}
* {{Literatur
   |Autor=N.L. Johnson, F.C. Piper
   |Titel=On planes of Lenz-Barlotti class II-1
   |Sammelwerk=Bull. London Math. Soc.
   |Band=6
   |Datum=1974
   |Seiten=152–154
   |Sprache=en
   |Online=[http://blms.oxfordjournals.org/search?fulltext=On+planes+of+Lenz-Barlotti+class+II-1&submit=yes&x=0&y=0 oxfordjournals.org]
   |Abruf=2012-12-30}}
* {{Literatur
   |Autor=Christoph H. Hering, William M. Kantor
   |Titel=On the Lenz-Barlotti classification of projective planes
   |Sammelwerk=Archiv der Mathematik
   |Band=22
   |Nummer=1
   |Datum=1971
   |Seiten=221–224
   |Sprache=en
   |DOI=10.1007/BF01222566}}
* {{Literatur
   |Autor=D. R. Hughes
   |Titel=A class of non-Desarguesian projective planes
   |Sammelwerk=Canadian Journal of Mathematics
   |Band=Volume 9
   |Verlag=American Mathematical Society
   |Datum=1957
   |ISSN=0008-414X
   |Seiten=378–388
   |Sprache=en
   |Online=[http://www.cms.math.ca/cjm/v9/p378 Volltext]
   |Format=PDF
   |KBytes=1000
   |Abruf=2012-04-09
   |DOI=10.4153/CJM-1957-045-0}}
* {{Literatur
   |Autor=H. Mohrmann
   |Titel=Hilbertsche und Beltramische Liniensysteme
   |Sammelwerk=Mathematische Annalen
   |Band=85
   |Datum=1922
   |Seiten=177–183}}
* {{Literatur
   |Autor=Helmut Salzmann
   |Titel=Topologische projektive Ebenen
   |Sammelwerk=Mathematische Zeitschrift
   |Band=71
   |Nummer=1
   |Verlag=Springer
   |Datum=1959
   |Seiten=408–413
   |DOI=10.1007/BF01181412}}
* {{Literatur
   |Autor=Jill C. D. Spencer
   |Titel=On the Lenz-Barlotti Classification of Projective Planes
   |Sammelwerk=The Quarterly Journal of Mathematics
   |Band=11
   |Nummer=1
   |Verlag=Oxford Journals
   |Ort=Oxford
   |Datum=1960
   |Seiten=241–257
   |Sprache=en
   |DOI=10.1093/qmath/11.1.241}}
* {{Literatur
   |Autor=J. C. D. S. Yaqub
   |Titel=The non-existence of finite projective planes of Lenz-Barlotti class III.2
   |Sammelwerk=Archiv der Mathematik
   |Band=18
   |Nummer=3
   |Verlag=American Mathematical Society
   |Datum=1967
   |Seiten=308–312
   |Sprache=en
   |DOI=10.1007/BF01900639}}

=== Lehrbücher ===
* {{Literatur
   |Autor=[[Peter Dembowski]]
   |Titel=Finite geometries
   |Reihe=Classics in mathematics
   |Verlag=Springer
   |Ort=Berlin / Heidelberg / New York
   |Datum=1997
   |ISBN=3-540-61786-8
   |Sprache=en
   |JahrEA=1968}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Günter Pickert]]
   |Titel=Projektive Ebenen
   |Auflage=2.
   |Verlag=Springer
   |Ort=Berlin / Heidelberg / New York
   |Datum=1975
   |ISBN=3-540-07280-2}}
* {{Literatur
   |Autor=Sibylla Prieß-Crampe
   |Titel=Angeordnete Strukturen
   |TitelErg=Gruppen, Körper, projektive Ebenen
   |Reihe=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete
   |BandReihe=98
   |Verlag=Springer
   |Ort=Berlin / Heidelberg / New York
   |Datum=1983
   |ISBN=3-540-11646-X}}

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

[[Kategorie:Endliche Geometrie]]
[[Kategorie:Synthetische Geometrie]]